2.6 직교벡터의 덧셈과 뺄셈 예제 Given: A = Axi + Ayj + AZk and B = Bxi + Byj + BZk 벡터 덧셈 합력 R = A + B = (Ax + Bx)i + (Ay + By )j + (AZ + BZ) k 벡터 뺄셈 합력 R = A - B = (Ax - Bx)i + (Ay - By )j + (AZ - BZ) k

공점력계(Concurrent Force Systems) 2.6 직교벡터의 덧셈과 뺄셈 공점력계(Concurrent Force Systems) - 합력은 시스템의 모든 힘들의 벡터합이다. FR = ∑F = ∑Fxi + ∑Fyj + ∑Fzk 여기서 ∑Fx , ∑Fy 및 ∑Fz 는 시스템의 각 힘의 x, y 및 z 또는 i, j 및 k 성분의 대수적 합을 나타낸다.

2.6 직교벡터의 덧셈과 뺄셈 Tie-down rope 가 활주로의 지지점 O 에서 가하는 힘, F 의 방향은 로프를 따라간다. 각도 α, β 와 γ 는 x, y 와 z축에 대해 측정할 수 있다.

2.6 직교벡터의 덧셈과 뺄셈 각도들의 여현값들은 로프의 방향으로 작용하는 단위벡터 u 를 형성한다. 힘 F 의 크기는 F 이며 F = Fu = Fcosαi + Fcosβj + Fcosγk

2.6 직교벡터의 덧셈과 뺄셈 Example 2.8 Express the force F as Cartesian vector

2.6 직교벡터의 덧셈과 뺄셈 해 두 방향각이 주어졌으므로 세 번째 각은 다음에 의해 구해진다. 두가지 가능성이 있다 또는

2.6 직교벡터의 덧셈과 뺄셈 Solution 검토해보면 Fx 가 +x 방향에 있으므로 α = 60° F = 200N이며 F = Fcosαi + Fcosβj + Fcosγk = (200cos60°N)i + (200cos60°N)j + (200cos45°N)k = {100.0i + 100.0j + 141.4k}N 검산:

2.6 직교벡터의 덧셈과 뺄셈 Example 2.9 링에 걸리는 합력의 크기와 좌표방향각을 구하라.

2.6 직교벡터의 덧셈과 뺄셈 Solution 합력 FR = ∑F = F1 + F2 = {60j + 80k}kN + {50i - 100j + 100k}kN = {50j -40k + 180k}kN FR 의 크기는

2.6 직교벡터의 덧셈과 뺄셈 해 Unit vector acting in the direction of FR uFR = FR /FR = (50/191.0)i + (40/191.0)j + (180/191.0)k = 0.1617i - 0.2094j + 0.9422k So that cosα = 0.2617 α = 74.8° cos β = -0.2094 β = 102° cosγ = 0.9422 γ = 19.6° *주: uFR 의 j 성분이 음수이므로 β > 90°

2.6 직교벡터의 덧셈과 뺄셈 예제 2.10 Express the force F1 as a Cartesian vector.

2.6 직교벡터의 덧셈과 뺄셈 Solution The angles of 60° and 45° are not coordinate direction angles. By two successive applications of parallelogram law,

2.6 직교벡터의 덧셈과 뺄셈 해 By trigonometry, F1z = 100sin60 °kN = 86.6kN F’ = 100cos60 °kN = 50kN F1x = 50cos45 °kN = 35.4kN F1y = 50sin45 °kN = 35.4kN F1y 의 방향은 –j에 의해 정의된다. 그러므로 F1 = {35.4i – 35.4j + 86.6k}kN

2.6 직교벡터의 덧셈과 뺄셈 해 검산하면: F1 방향으로 작용하는 단위벡터 u1 = F1 /F1 = (35.4/100)i - (35.4/100)j + (86.6/100)k = 0.354i - 0.354j + 0.866k

2.6 직교벡터의 덧셈과 뺄셈 해 α1 = cos-1(0.354) = 69.3° β1 = cos-1(-0.354) = 111° 동일한 방법으로, F2 = {106i + 184j - 212k}kN

2.6 직교벡터의 덧셈과 뺄셈 Example 2.11 Two forces act on the hook. Specify the coordinate direction angles of F2, so that the resultant force FR acts along the positive y axis and has a magnitude of 800N.

2.6 직교벡터의 덧셈과 뺄셈 Solution Cartesian vector form FR = F1 + F2 View Free Body Diagram Solution Cartesian vector form FR = F1 + F2 F1 = F1cosα1i + F1cosβ1j + F1cosγ1k = (300cos45°N)i + (300cos60°N)j + (300cos120°N)k = {212.1i + 150j - 150k}N F2 = F2xi + F2yj + F2zk

2.6 직교벡터의 덧셈과 뺄셈 Solution FR 의 크기는 800N 이며 +j 방향으로 작용하므로 FR = F1 + F2 800j = 212.1i + 150j - 150k + F2xi + F2yj + F2zk 800j = (212.1 + F2x)i + (150 + F2y)j + (- 50 + F2z)k 이 식을 만족시키기 위해서는 양변의 항들이 같아야 한다.

2.6 직교벡터의 덧셈과 뺄셈 Solution 따라서, 0 = 212.1 + F2x F2x = -212.1N 800 = 150 + F2y F2y = 650N 0 = -150 + F2z F2z = 150N F2 와 성분들의 크기를 알고 있으므로, α1 = cos-1(-212.1/700) = 108° β1 = cos-1(650/700) = 21.8° γ1 = cos-1(150/700) = 77.6°

2.7 위치벡터(position vector) x,y,z 좌표 - 오른손 좌표계 - 양의 z 축은 물체의 높이나 지점의 고도를 측정할 때처럼 위쪽방향을 향한다. - 점은 원점 O에 대해 상대적으로 측정된다.

2.7 위치벡터 x,y,z 좌표 예: 점 A에 대해, x축을 따라서 xA = +4m , y 축을 따라서 yA = -6m 이고 z 축을 따라서 zA = -6m 이다. 따라서, A (4, 2, -6) 마찬가지로, B (0, 2, 0) 이며 C (6, -1, 4)

2.7 위치벡터 위치벡터 - 위치벡터 r은 공간 중에 한 점의 다른 점에 대한 상대위치를 나타내는 고정 벡터이다. 예: 만일 r이 원점 O 에서 점 P (x, y, z) 까지 뻗는다면 , 직교 벡터 형태로 r = xi + yj + zk 이다.

2.7 위치벡터 Position Vector 세 성분의 머리에서 꼬리의 벡터합을 주목하라. 원점 O에서 시작하여, +i 방향으로 x, +j 방향으로 y 그리고 +k 방향으로 z 만큼 이동하면 점 P (x, y, z)에 도달한다.

2.7 위치벡터 위치멕터 - 점 A에서 점 까지를위치 벡터로 나타낼수 있다. - 이 벡터는 r 이나 rAB로 표현 벡터합으로 rA + r = rB r을 구하면 r = rB – rA = (xB – xA)i + (yB – yA)j + (zB –zA)k 또는 r = (xB – xA)i + (yB – yA)j + (zB –zA)k

2.7 위치벡터 위치벡터 - 양의 벡터 r 의 i, j, k 성분들은 꼬리 좌표 A (xA, yA, zA) 를 취하여 머리 좌표 B (xB, yB, zB)에서 빼서 구한다. 세 성분들의 머리에서 꼬리 벡터의 합을 주목하라.

2.7 위치벡터 케이블 AB 의 길이와 방향은 x, y, z 축을 사용하여 A와 B를 측정하여 구한다. 그러면 위치 벡터 r 이 수립된다. r의 크기가 케이블의 길이를 나타낸다.

2.7 위치벡터 각도 α, β와 γ 는 케이블의 방향을 나타낸다. 단위벡터는, u = r/r

2.7 위치벡터 Example 2.12 탄성고무줄이 점 A 와 B에 부착되어있다.

2.7 위치벡터 해 위치벡터 r = [-2m – 1m]i + [2m – 0]j + [3m – (-3m)]k View Free Body Diagram 해 위치벡터 r = [-2m – 1m]i + [2m – 0]j + [3m – (-3m)]k = {-3i + 2j + 6k}m 크기 = 고무줄의 길이 r 방향의 단위 벡터 u = r /r = -3/7i + 2/7j + 6/7k

2.7 위치벡터 해 α = cos-1(-3/7) = 115° β = cos-1(2/7) = 73.4°

2.8 선을 따라 작용하는 힘벡터 3D 문제에서, F의 방향은 작용선이 지나는2 점으로 정해진다. F = F u = F (r/r) F 는 길이의 단위 (m)를 갖는 r과 달리 힘(N)의단위를 가지는 것을 주의하라.

2.8 선을 따라 작용하는 힘벡터 체인을 따라 작용하는 힘F 는 다음에 의해 직교 벡터로 표현할수 있다. - x, y, z 을 설정한다. - 체인의 길이방향으로 위치벡터 r을 구한다.

2.8 선을 따라 작용하는 힘벡터 단위벡터, u = r/r 는 체인과 힘의 방향을 정의한다. F = Fu로 표시할 수 있다.

2.8 선을 따라 작용하는 힘벡터 예제 2.13 한 사람이 350N 의 힘으로 줄을 당기고있다. 지지점 A에 작용하는힘을 직교벡터로 나타내고 그 방향을 결정하라.

2.8 선을 따라 작용하는 힘벡터 해 줄의 양끝점좌표는 A (0m, 0m, 7.5m) 와 B (3m, -2m, 1.5m)이다. r = (3m – 0m)i + (-2m – 0m)j + (1.5m – 7.5m)k = {3i – 2j – 6k}m 크기 = 줄 AB의 길이 단위벡터, u = r /r = 3/7i - 2/7j - 6/7k

2.8 선을 따라 작용하는 힘벡터 해 힘 F 의 크기는350N, 방향은 u에 의해 정의된다. F = Fu = 350N(3/7i - 2/7j - 6/7k) = {150i - 100j - 300k} N α = cos-1(3/7) = 64.6° β = cos-1(-2/7) = 107° γ = cos-1(-6/7) = 149°

2.8 선을 따라 작용하는 힘벡터 예제 2.14 원판이 케이블 AB에 의해 부분적으로 지지된다. 후크에 작용하는 케이블 힘이 A에서 F = 500N이라면, F 를 직교벡터로 나타내라.

2.8 선을 따라 작용하는 힘벡터 해 케이블의 끝점들은 (0m, 0m, 2m) 와 B r = (1.707m – 0m)i + (0.707m – 0m)j + (0m – 2m)k = {1.707i + 0.707j - 2k}m 크기 = 케이블 AB의 길이

2.8 선을 따라 작용하는 힘벡터 해 단위 벡터, u = r /r = (1.707/2.723)i + (0.707/2.723)j – (2/2.723)k = 0.6269i + 0.2597j – 0.7345k F에 대해, F = Fu = 500N(0.6269i + 0.2597j – 0.7345k) = {313i - 130j - 367k} N

2.8 선을 따라 작용하는 힘벡터 해 검토하면 γ = 137° 임을 보이고 그림위에 이각도를 표시하라.

2.8 선을 따라 작용하는 힘벡터 예제 2.15 지붕이 케이블로 지지되고 있다. 만일 케이블이 벽에 후크점 A 에서 FAB = 100N과 FAC = 120N 의 힘을 가한다면 A에서의 합력의 크기를 구하라.

2.8 선을 따라 작용하는 힘벡터 해 rAB = (4m – 0m)i + (0m – 0m)j + (0m – 4m)k View Free Body Diagram 해 rAB = (4m – 0m)i + (0m – 0m)j + (0m – 4m)k = {4i – 4k}m FAB = 100N (rAB/r AB) = 100N {(4/5.66)i - (4/5.66)k} = {70.7i - 70.7k} N

2.8 선을 따라 작용하는 힘벡터 해 rAC = (4m – 0m)i + (2m – 0m)j + (0m – 4m)k = {4i + 2j – 4k}m FAC = 120N (rAB/r AB) = 120N {(4/6)i + (2/6)j - (4/6)k} = {80i + 40j – 80k} N

2.8 선을 따라 작용하는 힘벡터 해 FR = FAB + FAC = {70.7i - 70.7k} N + {80i + 40j – 80k} N = {150.7i + 40j – 150.7k} N Magnitude of FR

2.9 벡터의 내적 벡터 A와 B의 내적은 A·B (A dot B라고 읽음)로 표현된다. A·B = AB cosθ where 0°≤ θ ≤180° 결과가 스칼라이므로 스칼라적(scalar product) 이라고도 불린다.

2.9 벡터의 내적 연산법칙 1. 교환법칙 A·B = B·A 2. 스칼라를 곱하기 a(A·B) = (aA)·B = A·(aB) = (A·B)a 3. 분배법칙 A·(B + D) = (A·B) + (A·D)

2.9 벡터의 내적 직교벡터 - 직교단위벡터의 내적 예: i·i = (1)(1)cos0° = 1 and i·j = (1)(1)cos90° = 0 - 마찬가지로 i·i = 1 j·j = 1 k·k = 1 i·j = 0 i·k = 1 j·k = 1

2.9 벡터의 내적 직교벡터 공식 - 두 벡터 A 와 B의 내적은 A·B = (Axi + Ayj + Azk)· (Bxi + Byj + Bzk) = AxBx(i·i) + AxBy(i·j) + AxBz(i·k) + AyBx(j·i) + AyBy(j·j) + AyBz(j·k) + AzBx(k·i) + AzBy(k·j) + AzBz(k·k) = AxBx + AyBy + AzBz 주: 결과는 스칼라이므로, 결과에 단위벡터가 들어가지않도록 조심하라.

2.9 벡터의 내적 응용 - 두 벡터 사이 또는 교차하는 선 사이의 각도 θ = cos-1 [(A·B)/(AB)] 0°≤ θ ≤180° 주: 만일 A·B = 0, cos-10= 90°, A는 B에 수직이다.

2.9 벡터의 내적 응용 - 벡터의 한 직선에 평행한 성분과 수직인 성분 - 직선 aa’ 에 평행하거나 동일선상의 A의 성분은 A║ (직선에 대한 A의 투영) 로 정의한다. A║ = A cos θ - 만일 직선의 방향이 단위 벡터 u (u = 1)로 정의되면, A║ = A cos θ = A·u

2.9 벡터의 내적 응용 -만일A║ 가 양이면, A║ 는 u 와 동일한 방향 센스를 갖는다. A║ = A cos θ u = (A·u)u

2.9 벡터의 내적 응용 직선 aa’ 에 수직인 A 의 성분 1. A = A║ + A┴ 이므로 A┴ = A - A║ 2. θ = cos-1 [(A·u)/(A)] 따라서 A┴ = Asinθ 3. 만일A║를 알면 , 피타고라스 정리에 의해

2.9 벡터의 내적 로프와 보 A 사이의 각도 θ 에 대해, - 보 방향의 단위벡터, uA = rA/rA - 로프 방향 단위 벡터, ur=rr/rr - 각도 θ = cos-1 (rA.rr/rArr) = cos-1 (uA· ur)

2.9 벡터의 내적 보 A 에 대한 힘의 투영 - 보의 방향을 정의하면 uA = rA/rA - 직교벡터로 나타낸 힘 vector F = F(rr/rr) = Fur - 내적 F║ = F║·uA

2.9 벡터의 내적 예제 2.16 구조물이 수평힘F = {300j} N을 받고 있다. 이 힘의 부재 AB에 평행한 성분과 수직성분을 구하라.

2.9 벡터의 내적 해 이다. 따라서

2.9 벡터의 내적 해 결과가 야의 스칼라이므로, FAB 는 uB 와 동일한 센스를 갖는다.직교 벡터로 표현하면 수직 성분은

2.9 벡터의 내적 해 크기는 벡터 F┴ 또는 피타고라스 정리로부터 구할 수 있다.

2.9 벡터의 내적 예제 2.17 파이프에 800N이 걸린다. F 와 파이프의 BA 부분 사이의 각도 θ와 BA 에 평행하고 수직인 F 의 성분들을 구하라.

2.9 벡터의 내적 해 각도 θ에 대해 rBA = {-2i - 2j + 1k}m rBC = {- 3j + 1k}m 따라서, View Free Body Diagram 해 각도 θ에 대해 rBA = {-2i - 2j + 1k}m rBC = {- 3j + 1k}m 따라서,

2.9 벡터의 내적 해 F의 성분들

2.9 벡터의 내적 해 삼각법으로 검사하면, 크기는 F┴로부터 구한다.

2.9 벡터의 내적 해 크기는 F┴ 나 피타고라스 정리로부터 구한다.

요약 평행사변형 법칙 두 벡터의 덧셈 측면들은 성분들을, 합력은 평행사변형의 대각선을 이룬다. 합력을 구하기 위해서는 삼각법에 의해 머리-꼬리 합을 사용한다. 크기와 방향을 구하기 위해서는 정현법칙과 여현법칙을 사용한다.

요약 직교 벡터 벡터 F는 직교 벡터의 형태로 표현된다. F = Fxi + Fyj + Fzk F의 크기는 u = (Fx/F)i + (Fy/F)j + (Fz/F)k

요약 직교 벡터 힘 및 위치 벡터 u 의 성분들은 cosα, cosβ 와 cosγ를 나타낸다. 이 각도들은 다음의 관계를 갖는다. cos2α + cos2β + cos2γ = 1 힘 및 위치 벡터 위치 벡터는 두점 사이에 방향을 갖는다. 꼬리에서 머리로 x, y 및 z 축을 따라 움직인 거리와 방향으로 결정된다.

요약 힘과 위치 벡터 내적 두 점을 통한 작용선에 대해, 위치 벡터와 동일한 u의 방향으로 작용한다. 직교좌표 형태의 F는 F = Fu = F(r/r) 내적 두 벡터 A 와 B 사이의 내적은 A·B = AB cosθ

요약 내적 두 벡터 A and B 사이의 내적(벡터는직교벡터의 형태로 표현됨) A·B = AxBx + AyBy + AzBz 두 벡터의 꼬리사이의 각도는 θ = cos-1 [(A·B)/(AB)] 축에 투영된 A 의 성분은 단위 벡터u 로 정의한다. A = A cos θ = A·u

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