1. 정지유체내의 임의 점에 작용하는 압력은 모든 방향에 대하여 동일한 값을 갖는다는 것을 증명하라

Presentation on theme: "1. 정지유체내의 임의 점에 작용하는 압력은 모든 방향에 대하여 동일한 값을 갖는다는 것을 증명하라"— Presentation transcript:

1 1. 정지유체내의 임의 점에 작용하는 압력은 모든 방향에 대하여 동일한 값을 갖는다는 것을 증명하라

2 이러한 사실을 입증하기 위하여 정지유체내의 한 점 (x,y)에서 단위 폭을 갖는 쐐기모양의 자유물체를 택하여 이것에 대한 힘의 평형을 생각하여 본다(그림). 이 경우 전단력은 작용하지 않고, 다만 수직표면력과 중력만이 작용하므로. x와 y 방향의 운동 방정식 은 각각 다음과 같이 표시된다. 여기서, px, py, ps 는 각각 세 면에 작용하는 평균압력이고, r는 유체의 비중량, p는 밀도, ax, ay 는 가속도의 x, y 성분이다. ɵ 를 그대로 유지하면서 경사면을 점 (x, y)에 접근 시키는 방법으로 자유물체의 크기 를 0으로 축소시켜 극한을 취하고 기하학적 관계인 를 고려하면 방정식은 다음과 같이 간략화 된다. 두 번째 식의 마지막 항은 高位(고위)의 無限小(무한소)이므로 무시할 수 있다. δy와δx로 나눈 다음 두 방정식을 조합하면 다음 관계를 얻는다. ɵ 를 임의의 각으로 택하였으므로 위의 식은 정지유체 내에서 한 점에 작용하는 압력은 모든 방향에서 같음을 증명해 주고 있다

3 2. 압력에 대한 식을 다음의 2가지 방법으로 설명하라
2. 압력에 대한 식을 다음의 2가지 방법으로 설명하라. 1) 오일러 방정식을 유도하여 압력식을 설명하는 방법 2) 물의 무게로부터 압력식을 유도하는 방법

4 그림 2. 2 정지유체내의 요소에 작용하는 힘은 표면력(surface force)과 체적력(body force)으로 구성된다(그림 2.2). 체적력으로서 중력만이 작용한다고 가정할 때, 연직 상방향을 y축으로 택하면 체적력은 y방향으로 가 작용한다. 중심 (x, y, z)에서의 압력을 p라 할 때 y축에 수직하고 원점에 가장 가까운 면에 작용하는 힘은 근사적으로 이고 반대 면에 작용하는 힘은 이다. 여기서 δy/2는 중심으로부터 y축에 수직하는 면까지의 거리이다. y방향으로 작용하는 힘을 합하면 다음과 같다. x와 z방향에 대해서는, 이 방향의 체적력성분이 존재하지 않으므로

5 그러므로 그림2. 2의 요소에 작용하는 힘 벡터 δF는 다음과 같다. 로 양변을 나누고, 요소의 크기를 0으로 접근시키면 (2
그러므로 그림2.2의 요소에 작용하는 힘 벡터 δF는 다음과 같다. 로 양변을 나누고, 요소의 크기를 0으로 접근시키면 (2.2.1) 와 같이 표시된다. 이 값은 한 점에서 단위부피당 작용하는 결과력을 의미하며, 정지유체 중에서는 그 크기가 0이 되어야 한다. 괄호안의 양은 구배(gradient)로서 ∇로 표기하고 del이라고 부르며, 벡터 미분 연산자로서 다음과 같다. (2.2.2) 그리고 p의 음기울기 -∇p는 압력에 의해 단위체적에 작용하는 표면력의 벡터장 f이다. (2.2.3) 결국 압력변화에 관한 정역학법칙은 다음과 같이 된다. (2.2.4) 운동하고 있는 비점성 유체나, 혹은 유체 내 모든 점에서 전단응력이 0이 되도록 흐르는 유체에 Newton의 운동 제 2법칙은 다음과 같이 표시된다. (2.2.5) 여기서, a는 유체요소의 가속도이다. 는 중력이 체적력만으로써 작용할 때 유체에 작용하는 결과 력이다. 식(2.2.4)를 성분별로 나누어 표시하면 아래의 식이 된다. (2.2.6)

6 수평방향의 압력변화를 나타내는 편미분계수는 일종의 Pascal의 원리를 나타낸 것이다
수평방향의 압력변화를 나타내는 편미분계수는 일종의 Pascal의 원리를 나타낸 것이다. 즉, 연속되어 있는 정지유체 내에서 같은 높이에 있는 두 점에서의 압력은 같다는 것을 말해준다. p는 y만의 함 수이므로 다음과 같다. (2.2.7) 이 간단한 미분방정식은 압축성, 비압축성유체 모두에 적용되는 것으로, 유체내의 압력변화는 비중량 과 높이의 변화에 관계됨을 보여주고 있다. 균질, 비압축성유체에서는 가 상수이므로 식 (2.2.7)을 적분하고 적분상수를 c라 하면 아래의 식과 같 이 된다. 압력변화에 관한 정수역학적 법칙은 흔히 다음 형태로 쓰고 있다. (2.2.8) 여기서 는 자유표면으로부터 수직하향 깊이이고 는 자유표면에서의 압력보다 증가된 압력의 크기를 나타낸다. 이 압력은 정수압력(hydrostatic pressure) 이라 말한다. 식 (2.2.8)은 윗면이 자유표면과 일 치하고 높이가 인 액체기둥을 자유물체로 택하여 평형방정식을 적용함으로써 유도할 수도 있다.

7 2) 물의 무게로부터 압력식을 유도하는 방법 물에 잠겨있는 물체에 작용하는 수직력은 물체 상부에 위치한 물의 무게와 같다
2) 물의 무게로부터 압력식을 유도하는 방법 물에 잠겨있는 물체에 작용하는 수직력은 물체 상부에 위치한 물의 무게와 같다. 물체 가 잠겨있는 수심을 h, 물체의 수평단면적을 A라고 하면 물의 무게는 다음과 같다. 압력은 단위면적당 수직력이므로 위의 식을 단면적 A로 나누면 압력에 대한 식은 다음 과 같다.

8 3. 표준대기에서 압력식을 유도하라.

9 한 유체가 등온 하에서 정지 상태에 있는 완전기체라 할 때 식 (1. 6. 2)로부터 다음의 식을 얻을 수 있다. (2. 2
한 유체가 등온 하에서 정지 상태에 있는 완전기체라 할 때 식 (1.6.2)로부터 다음의 식을 얻을 수 있다. (2.2.9) 식 (2.2.7)에서 의 값을 로 대체하고, 식 (2.2.7)과 식 (2.2.9)로부터 를 소거하면 아래 식을 얻 을 수 있다. (2.2.10) 만일 의 단위로서 를 사용하면 임을 명심하여야 한 다. 에서 로 놓고 이 적분한계에 대하여 정적분을 하면 다음과 같다. (2.2.11) 여기서 ln은 자연대수이다. 그러므로 (2.2.12) 이 식은 등온 기체 내에서 고도에 따른 압력 변화를 나타내는 방정식이다. 대기는 흔히 다음과 같이 일정한 온도기울기를 갖는다고 가정한다. (2.2.13)

10 표준대기에서는 성층권에 이르기까지 (-0. 00651 K/m)이다
표준대기에서는 성층권에 이르기까지 ( K/m)이다. 완전기체 의 법칙으로부터, 밀도는 압력과 고도의 항으로 표시될 수 있다. (2.2.14) [식 (2.2.7)]에 대입하고, 변수 분리하여 적분하면 p를 y의 항으로 표현할 수 있 다.

11 4. Explain the theory and relevant equation of micromanometer.

12 매우 작은 압력차나 큰 압력차를 정밀하게 측정하기 위하여 만들어진 몇 가지 종류가 시 판되고 있다
매우 작은 압력차나 큰 압력차를 정밀하게 측정하기 위하여 만들어진 몇 가지 종류가 시 판되고 있다. 어떤 것은 액주계의 두 경계 사이의 를 정밀하게 측정할 수 있도록 고안된 것이 있다. 즉, 두 관을 가로지르는 이 장착된 작은 현미경이 있어 두 경계 면의 를 버니어 (vernier)로 정밀하게 읽을 수 있도록 되어 있다. 현미경은 피니언(pinion)과 스크류에 의하 여 상하로 움직일 수 있는 랙(rack)에 설치되어 있어, 의 위치를 정확하게 조절하 수 있도 록 되어 있다. Figure 2.8 Micromanometer using two gage liquids. 그림 2.8 두 액채를 사용한 미차 액주계. 서로 혼합되지 않는 두 개의 액체가 들어 있어 작은 압력자는 계기내 유체의 큰 액위차 R(그림 2.8)로 증폭시킬 수 있다. 무거운 계기액을 U자관의 0-0 면까지 채운 다음, 다시 가 벼운 계기액을 양쪽 관에 첨가하여 큰 리저버(reservoir)의 1-1면까지 채운다. 측정하고자 하는 압력을 C와 D에 연결하면 측정하려는 기체 또는 액체가 1-1면 상부로 주입될 것이 다. C에서의 압력이 D보다 약간 높다고 가정하면 경계요면은 그림 2.8과 같이 변할 것이 다. 각 리저버에서 배제된 체적과 같아야 하므로

13 액주계가 된다. 여기서 A와 a는 각각 리저버와 U자관의 단면적이다
액주계가 된다. 여기서 A와 a는 각각 리저버와 U자관의 단면적이다. C점을 출발점으로 하 여 방정식을 세우면, 단위면적당 힘의 단위로 와 같이 쓸 수 있다. 여기서 는 그림 2.8에 표시한 계기액의 비중량이다. y에 관 한 식을 대입하고 정리하면 괄호 안의 삽은 특정한 미압계와 측정유체에 대하여 상수이므로 압력차는 R에 정비례하 게 된다.기체의 미소압력차틀 측정하기 위하여 경사미단계(inclined manometer)가 흔히 사 용된다(그림 2.9). A와 B가 개방되었을 때 경사액주를 움직여 눈금이 0이 되도록 조절한다. 같은 압력차에서도 경사관의 변위가 수직관의 변위보다 훨씬 크므로 좀더 정확하게 눈금 을 읽을 수 있다.

14 그림 2. 9 작은 관에서는 표면장력으로 인한 모세관상승이 일어난다
그림 2.9 작은 관에서는 표면장력으로 인한 모세관상승이 일어난다. U자관을 사용할 예 각관에서 의 경계요면을 동일하게 해 주던 표면장책효과는 서로 상쇄된다. 지름 0.5in이상의 관에서 는 모세관상승을 무시할 수 있다.

15 5. 다음과 같이 간단한 면적들에 대한 관성모멘트를 구하라.

16 1)직사각형 2) 삼각형

17 (1)x축에 대한 단면 2차 모우먼트( ) (2) 도심축 X에 대한 단면 2차 모우먼트( ) 3) 원

18 지름이 d 라고 하면 4) 반원

19 원의 경우 반원의 도심에 대한 2차 모우먼트

20 6. 경사진 면에 대하여 x, y축에 대한 압력중심을 유도하라.

21 그림 2. 11 경사면의 한쪽 면에 작용하는 액체의 힘을 얻기 위한 기호 표시
합력의 작용선은 좌표( )로 도시된 압력중심(pressure center)이라 불리우는 평면상 의 점을 관통한다(그림 2.11). 수평면과는 달리 경사면에서의 압력중심은 도심과 일치하 지 않는다. 압력중심을 구하기 위하여 합력의 모멘트 를 분포력의 x축 및 y축에 관한 모멘트 합과 각각 같게 놓는다. (2.5.3) (2.5.4)

22 식 (2.5.3)에서 면적소의 크기는 다. 압력중심의 좌표에 관하여 각각 풀면 압력중심 은 다음 식으로 계산된다. (2.5.5) (2.5.6) 많은 응용문제에서 식(2.5.5)와 식(2.5.6)은 도형적분을 이용하여 편리하게 계산할 수 가 있다. 간단한 도형에 대해서는 다음과 같이 일반 공식으로 변환하여 사용하는 것이 편리 하다. (2.5.7) (2.5.8) 또는

23 도심축 혹은 중 어느 하나가 작용면의 대칭축이 될 때는 가 0으로 되어 압 력중심은 인 직선 위에 놓이게 된다
도심축 혹은 중 어느 하나가 작용면의 대칭축이 될 때는 가 0으로 되어 압 력중심은 인 직선 위에 놓이게 된다. 그러나 대칭이 아닐 경우에는 는 음 또는 양의 값을 가질 수 있으므로 압력중심은 직선 의 좌우 어느 쪽에든 위치할 수 있 다. 식(2.5.2)와 식(2.5.6)으로부터 를 구하는 공식을 얻는다. (2.5.9) 관성모멘트의 평행축 정리는 다음과 같다. 여기서 는 수평 도심축에 관한 면적의 2차 관성 모멘트이다. 식(2.5.9)로부터 를 소 거하면 다음과 같다. (2.5.10) 혹은 (2.5.11) 는 항상 양의 값을 갖는다. 따라서 도 항상 양의 값을 가지므로 압력중심은 항상 평면의 도심 아래쪽에 존재한다. 와 도 작용면상에서 잰 거리이다.

24 7. 압력프리즘을 이용하여 합력의 크기와 작용점을 구하는 방법을 설명하라.

25 평면에 작용하는 합력과 작용선을 구하는 또 하나의 방법으로서 압력프리즘의 개념을 이 용하는 방법이 있다
평면에 작용하는 합력과 작용선을 구하는 또 하나의 방법으로서 압력프리즘의 개념을 이 용하는 방법이 있다. 압력프리즘이란 주어진 작용면을 밑면으로 하고, 평면의 임의점에서 의 높이를 압력 로 하는 프리즘형 부피를 말한다. 여기서, h는 밑면의 임의면으로부 터 자유표면까지의 연직거리이다(그림 2.13). (실제로 자유표면이 존재하지 않을 때는 h를 정의하기 위하여 가상자유표면을 사용할 수 있다.) 그림 2.13 압력프리즘 그림에서 rh의 크기 를 적절한 척도로 하여 그 연결선이 OM이 되도록 한다. 이때 면적 에 작용하는 힘은 (2.5.12) 가 되어 압력프리즘의 한 부피비와 같게 된다. 이식을 적분하면 가 된다. 이는, 즉 압 력프리즘의 부피가 평면의 한쪽 면에 작용하는 합력과 같다는 것을 의미한다. 식 (2.5.5)와 식 (2.5.6)으로부터 (2.5.13)

26 여기서 는 압력프리즘의 체심(centroid)]까지의 거리를 나타낸다. 따라서 합력의 작 용선은 압력프리즘의 체심을 통과한다
여기서 는 압력프리즘의 체심(centroid)]까지의 거리를 나타낸다. 따라서 합력의 작 용선은 압력프리즘의 체심을 통과한다. 몇 가지 간단한 도형에 대해서는 압력프리즘 방 법이 적분이나 공식을 이용하는 것보다 훨씬 편리하다. 예를 들어, 한 모서리가 자유표면 과 일치하는 직사각형 평면에서는 쐐기모양(wedge-shaped)의 프리즘을 형성하고, 그 체심 은 밑면으로부터 1/3 높이에 있다. 따라서 압력중심은 밑변으로부터 1/3 높이에 존재한다.

27 8. 인터넷에서 직교좌표계, 원기둥좌표계, 구좌표계 등이 정의에 대한 정보를 검색하여 설명하라.

28 직교좌표계 : 직교 좌표계(直交 座標系, Rectangular coordinate system)는 수학에서 평면 또 는 공간 안의 임의의 점을 나타내는 수의 짝이다. 보통 2차원 또는 3차원 좌표계를 많이 사용하나, 4차원 이상의 좌표계가 쓰이는 경우도 있다. 처음 직교 좌표계의 개념을 확립한 프랑스의 수학자 데카르트의 이름에서 따서 데카르트 좌표계(Cartesian coordinate system) 라고 부르기도 한다. 원기둥좌표계 : 원통 좌표계(Cylindrical Polar Coordinates)는 평면 극좌표로 (0,0)을 제외한 xy 평면 전체를 일대일 대응시킬 수 있으므로, 여기에 z축을 더하여, 3차원 공간을 표현할 수 있다. 평면 극좌표계의 r, θ, 그리고 z로 이루어지는 이 좌표계를 원통 좌표계라고 한다. 원통 좌표계 란 이름이 붙은 이유는, 세 좌표 중에 r이 고정되고, θ, z가 임의의 값을 취할 수 있을 때의 자취가 원통이기 때문이다. 원통 좌표계의 특이점은 z축 위의 점들이다. 세 가지의 원통 좌표계의 좌표들은 다음과 같은 공식으로 데카르트 좌표로 변환될 수 있 다.

29 구좌표계 : 구면 좌표계(Spherical Polar Coordinates)는 원점에서의 거리 r, z축 양의 방향과 이루는 각 θ, xy 평면으로의 사영이 x축 양의 방향과 이루는 각 φ, 이 세 가지 변수 r, θ, φ로 이루어지 는 좌표계이다. 특이점은 r=0 이거나, θ=nπ(단, n은 자연수)를 만족하는 모든 (r,θ,φ)이며, 직교 좌표계에선 각각 (x,y,z)=(0,0,0), z축에 해당한다. 구면 좌표계는 r을 고정시켰을 때의 자취가 원점을 중심으로 하는 구이기 때문에 붙여진 이름이다. 구면 좌표계의 r은 원점과의 거리인 반면 원통 좌표계의 r은 z축과의 거리이다. 따라서 이 를 구분하기 위해 원통 좌표계의 반지름을 r대신 ρ를 써서 표기하기도 한다. 원통 좌표계 의 θ는 구면 좌표계의 θ가 아닌, φ와 일치한다. 또한 이 좌표계는 지구의 지도에 사용되는 위도, 경도와 비슷하다. 위도 δ는 φ의 여각이며(δ = 90° − φ), 경도 은 = θ − 180°와 같이 정의된다. 세가지의 구면 좌표계의 좌표들은 다음과 같은 공식으로 직교 좌표로 변환될 수 있다.

30 9. 다음 그림과 선형등가속도 운동을 가지는 유체에 대하여 자유수표면에 대한 식을 유도하라.

31 y를 연직축, x축을 수평축으로 설정하여 가속도 a가 xy평면에 놓이도록[그림 2
y를 연직축, x축을 수평축으로 설정하여 가속도 a가 xy평면에 놓이도록[그림 2.33(a)] 그리 고 z축을 a에 수직하게 택하여 이 방향의 가속도성분이 존재하지 않도록 직교좌표계를 설정하고 식 (2.2.5)를 이 경우에 적용하면 (오일러방정식) (2.2.5) 압력기울기 는 와 의 벡터합으로 된다. 그림 2.33(b)에 이 관계를 도시하여 놓았 다. 의 방향은 p의 변화가 최대인 방향을 향하므로 에 수직인 방향에서는 압력의 변화가 없다. 따라서 자유표면을 포함하여 모든 등압면은 에 수직이어야 한다. x,y,z에 따른 p , 즉 p=p(x,y,z)의 변화에 관한 편리한 로그식을 얻기 위하여 식 (2.2.5)를 성분 형으 로 표현하면 혹은 p는 점 x,y,z의 함수이므로, 전미분은 이다. 편미분 값들을 대입하면 (2.9.1) 를 얻는다. 비압축성유체에 대하여 적분하면

32 가 된다. 적분상수 c의 값을 구하기 위하여 x=0, y=0에서 를 대입하면 적분상수 가 된다. 따라서 (2. 9
가 된다. 적분상수 c의 값을 구하기 위하여 x=0, y=0에서 를 대입하면 적분상수 가 된다. 따라서 (2.9.2) 가속되는 유체가 자유표면을 가질 때 자유표면의 방정식은 식 (2.9.2)에서 p=0로 놓으면 얻어진다. 식 (2.9.2)를 에 관하여 풀면 (2.9.3) 이다. 등압선(p=상수)의 기울기는 이고 자유표면이 나란하다. 자유표면이 y축과 만나는 점은

33 10. 다음 그림과 같이 밑면 6. 6, 높이 2인 밀폐상자에 액체가 절반이 차 있다. 상자는 인 선형등가속도로 가속되고 있다
10. 다음 그림과 같이 밑면 6*6, 높이 2인 밀폐상자에 액체가 절반이 차 있다. 상자는 인 선형등가속도로 가속되고 있다. 밑면에서의 압력변화를 나타내는 방정식을 유도하라.

34 자유표면의 기울기는 따라서 자유표면은 그림과 같이 위치한다. 0을 원점으로 택하면 식(2. 9. 2)는 가 된다
자유표면의 기울기는 따라서 자유표면은 그림과 같이 위치한다. 0을 원점으로 택하면 식(2.9.2)는 가 된다. y=0, x=4.5 에서 p=0이므로 , 따라서 y=0으로 하여 밑면의 방정식을 구하 면

35 11. 다음 그림과 같이 연직축에 대하여 회전 운동을 하는 유체에 대하여 자유 수표면에 대한 식을 유도하라.

36 (a)의 좌표계에서 r방향 단위 벡터를 i, 연직 상방의 단위벡터를 j 그리고 회전축을 y로 취 하고 식(2. 2
(a)의 좌표계에서 r방향 단위 벡터를 i, 연직 상방의 단위벡터를 j 그리고 회전축을 y로 취 하고 식(2.2.5)를 적용하면 유체 속에서의 압력변화를 얻을 수 있다. (2.2.5) 일정각속도w 에 대하여, 임의의 유체입자 P는 회전축을 향하는 가속도 을 갖는다. 즉, 이다. 와 의 벡터합은 압력기울기 가 된다[그림 2.36(b)]. 유체내의 한 점에서 압력기울기에 수직한 방향의 압력변화는 없으므로 점 P를 자유표면 상의 점으로 택하면 자유표면도 에 수직한다. 식 (2.2.5)를 전개하면 다음과 같다. 여기서, 는 z축(또는 접선방향)을 따르는 단위벡터이다. 그러므로 p는 y와 r만의 함수이므로 전미분 dp는 이다. 와 의 값을 대입하면 다음을 얻는다. (2.9.4) 액체의 경우(r≈상수)에는 적분하여

37 을 얻는다. 여기서, c는 적분상수이다. 원점(r=0, y=0)에서의 압력을 로 놓으면 그리고 다음과 같다. (2. 9
을 얻는다. 여기서, c는 적분상수이다. 원점(r=0, y=0)에서의 압력을 로 놓으면 그리고 다음과 같다. (2.9.5) 인 한 특정수평면(y=0)을 택하고, 식 (2.9.5)에 이 관계를 적용하고 양변을 r로 나누면 다음과 같다.

38 12. 비중 1. 2인 액체가 연직축에 대하여 200 rpm으로 회전하고 있다
12. 비중 1.2인 액체가 연직축에 대하여 200 rpm으로 회전하고 있다. 축으로부터 1m 거리에 있는 어느 점 A에서의 압력이 70 kPa이다. 점 A보다 2m 높고, 축에서 1.5m 떨어진 점 B에서의 압력은 얼마인가?

39 두 점에 대하여 식 (2.9.5)를 적응하면 , 이다. 첫째 식에서 둘째 식 을 빼고 수치를 대입하면 따라서 자유표면이 없거나 부분적으로 노출된 자유표면을 갖는 용기가 어느 연직축에 대해 등속 회전운동 할 때는 가상 자유표면을 설정할 수 있다. 가상 자유표면은 식(2.9.6)으로 주어지 는 회전포물면이다. 임의점에서 가상 자유표면까지의 거리는 그 점에서의 압력수두가 된 다.