Chapter 9 정현파와 페이저

9.1 개요 □ 완전응답 = 고유응답 + 강제응답 : 고유응답은 전원과 관계없이 정해지는 응답 강제응답은 회로에 인가되는 전원과 관계 있음 - 전원이 직류이면 강제응답도 직류 - 전원이 지수전원이면 강제응답도 지수함수 - 입력이 정현파이면 강제응답도 정현파임 □ 정현파 강제함수는 매우 중요한 입력전원임 1. 자연현상에서 많이 볼 수 있음 2. 정현파 신호는 발생과 전송이 쉽다 3. 정현파는 수학적으로 용이하게 풀 수 있음 4. 주기신호는 정현파의 합으로 표현할 수 있음

□ 정현적인 전류 또는 전압에 의해 동작하는 회로 를 교류회로라 함 : □ 정현파 전원을 인가했을 때의 응답을 구함 □ 고유응답은 4 후에 소멸되므로 강제응답만을 고려할 것임 □ 이 응답을 정현파 정상상태응답이라고 함 □ 페이저와 정현파의 기본적인 사항을 알아본 후 1. 임피던스와 어드미턴스 개념 2. 교류회로에서 키르히호프의 법칙 성립여부

9.2 정현파 □ 정현파 전압은 그림 9.2-1

정현파는 매 T초마다 정현적으로 반복됨 : T를 정현파의 주기라고 함 주파수는 주기의 역수로 표현하며 시간당 사이클의 수로 정의함 :

정현파의 더 일반적인 표현식은 여기서 는 위상각 또는 위상(phase)이라 하며 도(degree)로 표현함 :

어떤 소자에 걸리는 전압이 다른 소자에 걸리는 전압이 다음과 같다면

그림에서 실선의 정현파는 점선의 정현파보다 최대치와 최소치에 도달하는 시간이 빠름 → 이를 실선의 정현파는 점선의 정현파보다 라디안 앞선다(lead)라고 함 : → 다르게 표현하면 점선의 정현파은 점선의 정현파보다 라디안 뒤진다(lag)라고 함 :

이상(out-of-phase)이라 함 동상(in-phase)라 함 정현파의 위상 이 양(+)이면 왼쪽으로 즉, 앞으 로 이동한 것이고, 음(-)이면 오른쪽으로, 뒤로 이동한 것임

정현(sin) 또는 여현(cos)으로 표시되어야 함 진폭은 양의 값을 가져야 함 예를 들어 전압 가 전류 보다 30-(-20)=50도 앞선다 또는 전류 는 전압 보다 50도 뒤진다 □ 두 정현파의 위상을 비교하기 위한 조건 : 두 개의 정현파는 같은 주파수이어야 함 정현(sin) 또는 여현(cos)으로 표시되어야 함 진폭은 양의 값을 가져야 함

□ sin과 cos의 상호 변환 관계 : 그림 9.2-3

예를 들어 주파수가 동일함으로 크기를 비교할 수 있음 : 크기는 양의 값을 가지므로 cos을 sin으로 바꾸면

◆ 예제9.2-1 정현파 전압이 다음과 같을 때 진폭, 위상, 주기 및 주파수를 구하라 ◆ 예제9.2-1 정현파 전압이 다음과 같을 때 진폭, 위상, 주기 및 주파수를 구하라 ◇ 풀이 진폭 : 위상 : 주기 : 주파수 :

◆ 예제9.2-2 소자에 걸리는 전압과 이 소자에 흐르는 전류가 다음과 같을 때 전압과 전류 사이의 위상관계를 구하라. ◆ 예제9.2-2 소자에 걸리는 전압과 이 소자에 흐르는 전류가 다음과 같을 때 전압과 전류 사이의 위상관계를 구하라. ◇ 풀이

□ 두 정현파의 합 : 그림 9.2-4

◆ 예제9.2-3 어떤 소자에 흐르는 전류가 다음과 같을 때 정현파 의 진폭과 위상을 구하라. ◆ 예제9.2-3 어떤 소자에 흐르는 전류가 다음과 같을 때 정현파 의 진폭과 위상을 구하라. ◇ 풀이

◆ 연습문제 9-1 정현파 전압이 일 때 진폭, 위상, 각주파수, 주기 및 주파수를 구하라. ◆ 연습문제 9-1 정현파 전압이 일 때 진폭, 위상, 각주파수, 주기 및 주파수를 구하라. 답 : ◆ 연습문제 9-2 정현파 전압이 일 때 다음 값을 구하라. (a) 진동 주기 (b) 전류와의 위상관계 답 : (b) 전압이 전류보다 100도 앞선다

◆ 연습문제 9-3 정현파 전압이 이고 전류 값이 다음 같을 때 전압보다 뒤지는 각을 구하라. ◆ 연습문제 9-3 정현파 전압이 이고 전류 값이 다음 같을 때 전압보다 뒤지는 각을 구하라. 답 : ◆ 연습문제 9-4 다음 정현파의 진폭과 위상을 구하라. 답 :

9.3 페이저 페이저(phasor) : 정현파 전원에 의하여 동작 하는 회로해석을 간단히 하기 위해 사용 페이저는 정현파의 위상과 크기를 나타낸 복소수임 : 페이저는 다음과 같이 표현할 수 있음 1) 직각좌표함수 형식 2) 삼각함수 형식 3) 지수함수 형식 4) 극좌표 형식

□ 복소수를 나타내는 방법 : 1. 직각좌표형식 : 2. 삼각함수형식 :

3. 지수함수형식 : 4. 극좌표형식 :

◆ 예제9.3-1 복소수 A=4+j3을 삼각함수형식, 지수함수형식, 극좌표형식으로 표현하라. ◇ 풀이

◆ 예제9.3-2 복소수 A=-5-j12를 극좌표형식으로 표현하라. ◇ 풀이

□ 정현파의 페이저 표현 : 정현파 전압은 위 식은 다음과 같이 나타낼 수 있음 : 정현파 전압의 페이저(phasor)표현은

정현파 전류의 페이저(phasor)표현은 를 시간영역표시, 를 주파수영역 표시라고 함 페이저 변환 : 시간영역 를 주파수영역 로 변환하는 과정 : 시간영역의 cos함수로부터 크기와 위상각을 기록함

□ 시간영역에서 주파수영역으로 변환하는 과정 : 1. 시간영역의 정현파 함수를 cos형태로 표현함 2 □ 시간영역에서 주파수영역으로 변환하는 과정 : 1. 시간영역의 정현파 함수를 cos형태로 표현함 2. 오일러 공식을 사용하여 cos을 복소수로 표현 3. 실수를 의미하는 Re를 제거함 4. 를 생략함 예를 들면 ◆ 크기와 위상만을 사용하여 표현하면 됨

□ 주파수영역을 시간영역으로 변환하는 과정 : 1. 주파수영역의 페이저를 지수함수형식으로 표현 2. 생략한 를 곱함 3 □ 주파수영역을 시간영역으로 변환하는 과정 : 1. 주파수영역의 페이저를 지수함수형식으로 표현 2. 생략한 를 곱함 3. 실수부를 취하는 연산자 Re를 첨가함 4. 오일러 공식에 의하여 시간영역으로 표현함 예를 들면 ◆ 페이저 표현에 를 첨가하여 표현함

◆ 예제9.3-3 다음의 정현파를 페이저 형태로 변환하라.

◆ 예제9.3-4 다음의 주파수영역 값을 시간영역으로 변환하라. ◇ 풀이

◆ 연습문제 9-5 다음 값을 계산하여 직각좌표형식으로 표현하라. 답 : ◆ 연습문제 9-6 다음 값을 계산하여 극좌표형식으로 표현하라. 답 :

◆ 연습문제 9-7 다음의 전류들을 페이저로 표시하라. 답 : ◆ 연습문제 9-8 다음의 페이저를 시간함수로 표시하라. 답 :

9.4 R, L과 C소자에 대한 페이저 관계 R, L 및 C소자의 페이저 전압과 페이저 전류 사이의 관계에 대해 알아봄 1. 저항에 대한 페이저 전압과 페이저 전류 관계 : 저항에 대한 시간영역에서의 전압-전류관계는 이 저항에 흐르는 전류가 다음과 같다면 전압은

이 전압을 페이저로 표현하면 전류의 페이저 표현은 주파수영역에서 저항의 전압-전류관계는

전압과 전류의 위상각이 같음 : 이를 동상 (in phase)이라 함 그림 10.4-2는 전압과 전류의 위상관계를 나타냄 : 그림 9.4-2 전압과 전류의 위상각이 같음 : 이를 동상 (in phase)이라 함

◆ 예제9.4-1 아래 회로에서 전압 일 때 전류를 구하라. 그림 9.4-3 ◇ 풀이

2. 인덕터에 대한 페이저 전압과 페이저 전류 : 시간영역에서 전압-전류 관계는 인덕터 L에 흐르는 전류가 다음과 같다면 전압은 다음과 같이 표현됨 :

이 전압을 페이저로 표현하면 전류의 페이저 표현은 주파수영역에서 인덕터의 전압-전류관계는

그림 9.4-5는 전압과 전류의 위상관계를 나타냄 : 인덕터의 경우 전압과 전류에는 90도의 위상 차가 있음 : 전류가 전압보다 위상이 90도 늦음

◆ 예제9.4-2 그림 9.4-4에서 전압이 일 때 2H의 인덕터에 흐르는 전류를 구하라. ◇ 풀이

3. 커패시터에 대한 페이저 전압과 페이저 전류 : 시간영역에서 전압-전류 관계는 커패시터 C의 양단 전압이 다음과 같다면 전류는 다음과 같이 표현됨 :

주파수영역에서 커패시터의 전압-전류관계는 이 전류를 페이저로 표현하면 전압의 페이저 표현은 주파수영역에서 커패시터의 전압-전류관계는

그림 9.4-7는 전압과 전류의 위상관계를 나타냄 : 커패시터의 경우 전압과 전류에는 90도의 위상 차가 있음 : 전류가 전압보다 위상이 90도 앞섬

◆ 예제9.4-3 그림 9.4-6에서 전압이 일 때 1mF의 커패시터에 흐르는 전류를 구하라. ◇ 풀이

◆ 연습문제 9-10 C=0.4uF인 커패시터에 전압 이 인가된다면 이 커패시터에 흐르는 전류를 구하라. ◆ 연습문제 9-9 소자에 흐르는 전류는 일 때 정상상태 전압 을 구하라. (1) 3kΩ의 저항 (2) L=40mH인 인덕터 (3) C=4uF인 커패시터 답 : ◆ 연습문제 9-10 C=0.4uF인 커패시터에 전압 이 인가된다면 이 커패시터에 흐르는 전류를 구하라. 답 :

◆ 연습문제 9-11 2H인 인덕터에 전압 을 인가된 경우 인덕터에 흐르는 전류를 구하라. 답 : ◆ 연습문제 9-12 어떤 소자에 대한 전압과 전류가 그림9.4-8과 같을 때 무슨 소자인가. 그림 9.4-8 답 : 인덕터

9.5 임피던스와 어드미턴스 3개의 수동소자에 대한 전압-전류관계는 페이저 전압 대 페이저 전류의 비로 표현하면

임피던스는 다음과 같이 정의함 : 임피던스는 저항회로 저항의 역할과 유사함 : 임피던스는 회로에 흐르는 정현파 전류를 저지 하는 작용함 임피던스를 직각좌표형식으로 표현하면 R을 저항성분, X를 리액턴스 성분이라 함 X가 양(+)이면 유도성 리액턴스이고 X가 음(-) 이면 용량성 리액턴스가 됨 :

임피던스를 극좌표형식으로 표현하면 그림 9.5-1

저항, 인덕터, 커패시터의 임피던스는 주파수의 두 극한값에 대해 1. (직류전원일 경우) : 즉, 인덕터는 단락회로로 동작하고 커패시터는 개방회로로 동작함

(예, 고주파일 경우) : 인덕터는 고주파에 대해 개방회로이고, 커패시터는 단락회로임 ◆ 예제9.5-1 전압과 전류가 다음과 같을 때 임피던스를 직각좌 표형식과 극좌표형식으로 표현하라. ◇ 풀이

임피던스의 역을 어드미턴스라 하며 어드미턴스를 직각좌표형식으로 표현하면 G를 컨덕턴스라고, B를 서셉턴스라고 함 □ 어드미턴스 : 임피던스의 역을 어드미턴스라 하며 어드미턴스를 직각좌표형식으로 표현하면 G를 컨덕턴스라고, B를 서셉턴스라고 함

저항, 인덕터, 커패시터의 어드미턴스는 어드미턴스의 극좌표형식은

◆ 예제9.5-2 임피던스가 다음과 같을 때 어드미턴스를 직각좌 표형식과 극좌표형식으로 표현하라. ◇ 풀이

◆ 연습문제 9-13 일 때 1mH인덕터와 50uF 커패 시터의 임피던스를 구하라. 답 : ◆ 연습문제 9-14 Z=4-j3 일 때 어드미턴스를 구하라. 답 : Y=0.16+j0.12

◆ 연습문제 9-15 그림 9.5-3(a)의 시간영역을 주파수영역으로 표현하라. 답 :

◆ 연습문제 9-16 그림 9.5-4(a)의 시간영역을 주파수영역으로 표현하라. 답 :

9.6 페이저를 이용한 키르히호프의 법칙 키르히호프의 전압법칙과 전류법칙은 페이저 에서도 성립함 : 시간영역에서 KVL은 주파수영역에서 다음과 같이 표현됨 : 같은 방법으로 페이저 전류에 대한 KVL은

저항회로에 적용되었던 모든 해석기법이 페이 저 전류와 전압에 대해 적용됨 : 1. 전압분배 및 전류분배 KVL과 KCL 모두 주파수영역에서 성립함 저항회로에 적용되었던 모든 해석기법이 페이 저 전류와 전압에 대해 적용됨 : 1. 전압분배 및 전류분배 2. 마디전압해석 및 메시전류 해석 3. 중첩의 원리, 전원변환, 테브냉 정리 등등 □ 임피던스의 직렬연결 : 3개의 임피던스가 직렬 연결된 경우

입력단자에서 본 등가 임피던스는 N=2이면 등가임피던스는

회로에 흐르는 전류는 각 임피던스에 걸리는 전압은

□ 임피던스의 병렬연결 : 3개의 임피던스가 병렬 연결된 경우

입력단자에서 본 등가 임피턴스는 N=2일 경우 등가임피던스는 그림 9.6-3

각 임피더스에 흐르는 전류는 이것은 저항에서의 전류분배와 동일함 :

◆ 예제9.6-1 일 때 입력 임피던스를 구하라. 그림 9.6-4 ◇ 풀이

◆ 예제9.6-2 그림 9.6-5의 회로에서 값들이 다음과 같을 때 정상상태 전류 i를 구하라. 그림 9.6-7 ◇ 풀이

◆ 예제9.6-3 그림 9.6-7의 회로에서 값들이 다음과 같을 때 정상상태 전압 v를 구하라. ◇ 풀이

◆ 예제9.6-4 그림 9.6-9의 회로에서 값들이 다음과 같을 때 정상상태 전압 를 구하라. ◆ 예제9.6-4 그림 9.6-9의 회로에서 값들이 다음과 같을 때 정상상태 전압 를 구하라. 그림 9.6-9 ◇ 풀이

◆ 연습문제 9-17 그림 9.6-10의 회로에서 일 때 입력 임피던스를 구하라. ◆ 연습문제 9-17 그림 9.6-10의 회로에서 일 때 입력 임피던스를 구하라. 그림 10.6-10 답 :

◆ 연습문제 9-18 그림 9.6-12의 회로에서 일 때 정상상태 전류 i 와 각 소자에 걸리는 정상상태 전압을 구하라. 답 :

◆ 연습문제 9-19 그림 9.6-13의 회로에서 정상상태 전류 와 전압 를 구하라. ◆ 연습문제 9-19 그림 9.6-13의 회로에서 정상상태 전류 와 전압 를 구하라. 그림 9.6-13 답 :

◆ 연습문제 9-20 그림 9. 6-14의 회로에서 다음 값을 구하라. 1. 정상상태 전류 2. 정상상태 전압 3 ◆ 연습문제 9-20 그림 9.6-14의 회로에서 다음 값을 구하라. 1. 정상상태 전류 2. 정상상태 전압 3. 정상상태 전압 그림 9.6-14 답 :

◆ 문제 1 정현파 전압이 아래와 같은 같을 때 진폭, 위상, 주기 및 주파수를 구하라. ◆ 문제 1 정현파 전압이 아래와 같은 같을 때 진폭, 위상, 주기 및 주파수를 구하라. ◆ 문제 2 아래와 같은 두 개의 정현파가 있을 경우 위상각을 구하고, 어느 정현파가 앞선 상태인가를 구하라. ◆ 문제 3 아래 복소수를 직각좌표형식으로 표현하라.

◆ 문제 6 두 개의 정현파가 아래와 같이 표현될 때 두 정현파의 합을 구하라. ◆ 문제 4 아래의 정현파를 페이저로 변환하라. ◆ 문제 5 아래의 페이저를 정현파로 변환하라. ◆ 문제 6 두 개의 정현파가 아래와 같이 표현될 때 두 정현파의 합을 구하라.

◆ 문제 7 일 때 아래 회로에서 입력 임피던스를 구하라. ◆ 문제 7 일 때 아래 회로에서 입력 임피던스를 구하라. ◆ 문제 8 아래 회로에서 등가 임피던스를 구하라.

◆ 문제 9 일 때 아래 각 회로에서 입력 어드미턴스를 구하라. ◆ 문제 9 일 때 아래 각 회로에서 입력 어드미턴스를 구하라. ◆ 문제 10 아래 회로에서 전압 와 전류 를 구하라.

◆ 문제 11 아래 회로에서 전압 를 구하라. ◆ 문제 12 아래 회로에서 전류 와 를 구하라.

◆ 문제 14 아래 회로에서 다음 값들을 구하라. ◆ 문제 13 아래 회로에서 다음 값들을 구하라. ◆ 문제 13 아래 회로에서 다음 값들을 구하라. 1. 입력전원에서 바라본 등가 임피던스 2. 정상상태 전류 3. 각 소자의 정상상태 전압 ◆ 문제 14 아래 회로에서 다음 값들을 구하라. 1. 입력전원에서 바라본 등가 임피던스 2. 정상상태 전류 3. 인덕터 정상상태 전압

◆ 문제 16 ◆ 문제 15 아래 회로에서 다음 값들을 구하라. ◆ 문제 15 아래 회로에서 다음 값들을 구하라. 1. 입력전원에서 바라본 등가 임피던스 2. 정상상태 전류 3. 커패시터 정상상태 전압 ◆ 문제 16 아래 회로에서 다음 값들을 구하라. 1. 입력전원에서 바라본 등가 임피던스 2. 정상상태 전류 3. 3Ω 저항의 정상상태 전압