5. Pn Junction Electrostatics 5.1 Preliminaries 5.1.1 Junction terminology/Idealized profiles 5.1.2 Poisson’s equation 5.1.3 Qualitative solution 5.1.4 The built-in potential (Vbi) 5.1.5 The depletion approximation 5.2 Quantitative electrostatic relationships 5.2.1 Assumption /definitions 5.2.2 Step junction with VA=0 5.2.3 Step junction with VA≠0 5.2.4 Examination/Extrapolation of results 5.2.5 Linearly Graded Junctions 5.3 Summary

5.1.1 Idealized Profiles Uniform 하게 n-도핑된 반도체 내부로 p-dopant 로 확산시키면, NA>ND인 표면 근처는 p형이며 ND>NA인 영역은 n형이다. 두 영역을 구분하는 junction은 ND-NA=0인 반도체의 접합면에서 발생한다. 그림 5.1(b)에서와 같이 net doping 농도 ND-NA 의 양은 위치에 따라서 달라지며, doping profile이라고 불린다.

Idealized Doping Profiles - Step junction: Shallow diffusion or ion-implantation - Linearly grades junction More appropriate for deep diffusion

5.1.2 Poisson’s Equation 어느 지점의 potential 또는 가 그 지점에서의 전체 charge density와 관련이 있는Poisson 방정식은 정전변수에 대한 해를 얻는 데 중요하며, 반도체 해석에서 아래와 같다. 1차원 문제에서 Poisson 방정식은

Ks = 반도체 유전상수 Ε0 = 진공에서의 유전율 저항률 ρ = 전하밀도(charge/cm3)로 도펀트가 전부 이온화되었다는 가정하에서 반도체내에서 전하밀도는 ρ는 1차원 문제에서 d /dx에 비례한다. vs x의 그래프의 slope 로 부터 ρ를 구할 수 있다.

5.1.3 정량적 해 포텐셜의 일반적인 함수형태, 전기장, 다이오드안의 전하밀도를 결정하기 위해 1차원적 계단형 접합과 평형상태를 가정하자. 그림 5.3. pn 접합 다이오드에 대한 평형상태의 에너지밴드 (a) 금속학적 접합으로부터 멀리 떨어진 반도체영역에 대한 계단 형 junction profile과 에너지밴드 (b) 페르미 준위

접합전 페르미준위 일치시킴 접합후

에너지벤드 전위차 전계 공간전하밀도

그림 5.4. Electrostatic variables in a pn junction under equilibrium conditions (a) equilibrium energy band diagram, (b) Electrostatic potential, (c) Electric field, (d) charge density. 그림 5.5는 개념적 pn접합형성과 그와 관련된 전하재분포. (a) 분리된 p형영역과 n형영역. (b) 전자들과 정공들이 p형영역과 n형영역을 결합시킨 순간 접합의 반대편으로 확산된다. (c) 전하재분포가 완성되고 평형상태가 재성립된다. (d) 앞서 유도된 위치에 대한 전하밀도( - 정공들, - 이온화된 억셉터들, - 전자, - 이온화된 도너들)

접합전 전하공핍개시 공간전하영역 (SCR)형성 전하밀도분포도

5.1.4 내부전위(Vbi) 내부전위(Vbi)란 평형상태에서 공핍영역에 걸쳐서 발생하는 전압강하이다. 평형상태의 공핍영역의 끝은 접합의 p형쪽의 -xp와 n형쪽의 xn에서 일어난다(그림 5.4b). 공핍영역 x에 관하여 적분하면

평형상태에서 식 (5.6)의 에 대해 풀 때 Einstein 관계식을 이용하면, 식 (5.7)을 식 (5.5)에 대입하고 적분을 하면

ND와 NA가 n형쪽 도핑농도와 p형쪽 도핑농도일 때, nondegenerate 도핑된 계단형 접합의 경우에 대해서, 그러므로 Vbi는 아래와 같이 표현된다.

Vbi와 Eg 사이의 관계는 에너지대역도에 기초를 둔 또 다른 Vbi유도에 의해 잘 설명된다. 그림 5 Vbi와 Eg 사이의 관계는 에너지대역도에 기초를 둔 또 다른 Vbi유도에 의해 잘 설명된다. 그림 5.4(a)와 (b)를 참고하여 또는

Nondegenerate한 상태에서 도핑된 다이오드에 대해 Vbi<EG/q가 되므로, (Ei-EF)p-side와 (EF-Ei)n-side 모두 EG/2보다 작다. 더욱이 nondegenerate하게 도핑된 계단형 접합의 평형상태에서 (from 2.38)

5.1.5 The Depletion Approximation 1차원 Poisson 방정식은 ND-NA를 안다고 할 때 아래 식과 같이 나타낼 수 있다. x의 함수로서 ρ를 표현하기 위해 x에 대한 의 미분방정식을 풀고 결과적으로 x에 대한 V를 얻는다.

Two depletion approximations (1) 캐리어농도는 metallugical junction 양쪽 -xp<x<xn 영역에서 순도핑농도와 비교하여 무시되는 것으로 가정한다. (2) 공핍영역밖의 전하밀도는 0으로 간주 한다. Under the depletion approximation, 1차원 Poisson 방정식은 아래와 같다. (그림5.6참조)

5.2 정량적 정전관계 5.2.1 가 정 / 정 의 1차원 디바이스로 가정한다. 모든 variables이 x 만의 함수로 가정. 2) x=0은 p-n 접합 경계에 위치된다. 3) 다이오드의 끝은 "ohmic“ contact로 되어 있으며, 여기에서 떨어지는 전압은 무시한다. (그림 5.8 참조)

5.2.2 Step Junction with VA=0 ρ에 대한 해 : 평형상태에서의 계단형 접합에 대해서 알아보자. 설명을 위한 도핑단면도인 그림 5.9(a)에서 NA는 ND보다 크다.그림 5.9(b)에서 요약된 것처럼, 공핍근사화를 이용하면 전하밀도의 해는

불순물농도 공간전하밀도 전계 전위차

에 대한 해 : 전하밀도의 해를 Poisson 방정식에 대입하면 방정식은 전기장에 대하여 =0은 공핍영역 외부 모든 곳에서 =0이다. 는 공핍영역의 끝에서 0이므로 x=-xp과 x=xn에서 =0이다. 이 조건은 (5.17a)와 (5.17b) 미분방정식에 대한 경계조건들이 된다. P-side에 대해서 적분하면

또는 n형쪽에서도 유사하게 공핍영역안에서 전기장은 언제나 음이고 위치에 따라 선형적 변화를 보인다. 전기장은 x=0에서 연속적인 것으로 여겨진다

전기장에 대한 (5.19)와 (5.21)의 표현이 x=0에서 같다는 전기장의 연속성으로부터 아래의 식을 얻을 수 있다. 그림 5.9(b)에서 계단형 접합 x에 대한 ρ그래프에서 전하의 평형은 접합의 p형쪽과 n형쪽의 사각형 면적이 같아야 된다. 즉, qNAxp=qNDxn이어야 한다. 그러므로 식 (5.22)는 공핍영역 안에서 총전하는 합해져서 0이 되어야 한다는 사실을 증명한다.

V에 대한 해 : E=-dV/dx 이므로, 정전위는 다음을 풀어서 얻어진다. 임의의 기준 포텐셜이 x=-xp에서 0으로 하고 평형상태에서 공핍영역에 걸친 전압강하가 Vbi라는 것을 기억할 때, 식 (5.23a)와 (5.23b)는 각각 경계조건은

변수를 분리하고 공핍영역 끝에서부터 임의의 점 x까지 적분하면 공핍영역의 p형쪽에 대해 접합의 n형에서도 유사하게

x에 대한 V의 의존성은 본래 접합의 p형에서 오목한 굴곡이고 n형쪽에서 볼록한 굴곡을 갖는 정방형이다.

xn과 xp에 대한 해 : xn과 xp는 식 (5.22)를 이용하여 식 (5.29)에서 xp를 소거시키고 xn에 대해 풀면 위 식으로 부터 depletion width를 구할 수 있다.