셈, 수의 체계 1 그리스 (대수의 기하학적 계산) (a+b)2 = a2 + 2ab + b2 (a-b)2 = a2 –2ab + b2 음수 실수: 무리수의 발견 Hippasus (I pp. 37) a b a b

피타고라스 triple X2 + y2 = z2 x=2st, y=s2 – t2, z=s2 + t2, s> t, gcd(s,t)=1, s,t중하나는 홀, 다른하나는 짝 (Euclide Elements)

소수 소수란 자기 자신과 1외에 약수가 없는 수 유클리드: (1) 소수가 mn을 나누면 그소수는 m 또는 n을 나눈다. (2) 모든 자연수는 소수이거나 소수들의 유일한 곱으로 나타난다. (Euclidean Algorithm) (3) 무한히 많은 소수가 존재한다. (소수에 관해서는 소수암호에서 더자세히 다룸)

정수 Diophantus (200-284) Arithmetica 13 권 130여문제 및 여러 가지 다항식의 정수 또는 유리수 해 구하는 방법 ax2 + bx = c, ax2 = bx + c and ax2 + c = bx. y + z = 10, yz = 9. find x to make 10x + 9 and 5x + 4 both squares (x = 28). 10 = (1745041/505521)2+(1651225/505521)2 +(1658944/505521)2

Fibonacci (Leonardo Pisaro) 1170-1250; 북아프리카에서 교육; 많은 여행 Liber abaci (1202), Practica geometriae (1220), Flos (1225), Liber quadratorum. Fibonacci sequence 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, there is no x, y such that x2 + y2 and x2 - y2 are both squares and x4 - y4 cannot be a square. Pythagorian triples a2+b2= c2

페르마 (Fermat) 1601-1665 Bachet's translation of Diophantus's Arithmetica 편지 Descartes, Pascal, Mersenne, Huygens Perfect number, amicable number n이 소수이면 2n-1은 2n의배수 n이 소수이고 p가 2n-1를 나누는 소수이면 p-1은 n의 배수이다 a p-1 = 1 (mod) p, 1< a < p

페르마가 다룬 문제들 N= x2 + y2 (a2 + b2)(x2 + y2)=(ax by)2 + (ay ∓ bx)2 Every prime of form 4m+1 is a sum of two squares (2= 1+ 1) Diophantian problems x3+y3=z3, x2+2=y3, x2+4=y3

수학적 귀납법 (Mathematical Induction) Method of descent 1+3+5+…+(2n-1) = n2 모든 n 증명하자. 1=12 1+3+5+…+(2n-1) = n2 1+3+5+ …+(2n-1)+(2n+1) = n2+(2n+1) = (n+1)2

X4 + y4 = z4 x2+ y2 = z2, u2 = xy/2 X2 + Y2 = Z2, U2 = XY/2 → X12 + Y12 = Z12, U12=X1Y1/2, Z1 < Z z> Z > Z_1 > Z_2 ….

오일라(Euler) 1707-7183 Bernoullis Jacob, Nicholas, Daniel Goldbach 2 2n-1 prime (Fermat) Multiplicative group Fxp 4m-3 not a sum of two squares x n+ y n = z n n=3,4 eix= cos x + i sin x.

Euler x2= Ay3 + By2 + Cy + D elliptic function Elliptic integral 오일러함수 (s)= (1/ns) = (1 - p-s)-1 continued fraction

다른 문제들 Goldbach 예상 2보다 큰 모든 짝수는 두개의 소수의 합으로 쓰여질수 있다. (10억까지 보임) 쌍둥이 소수 예상 3, 5; 11,13; 17, 19; 1,000,000,000,061, 1,000,000,000,063 다오판타인 문제는 현대수학에서 해결하지 못하는 여러가지 문제를 주고있다. 아직도 해결하고 있는 중이다. 컴퓨터로는 모두 해결 할 수 없다 (Matijasevic 1970, Hilbert 10번문제 1900)

가우스 Disguisitiones Arithmetica (1801) 법산술 (modular arithmetic) 7+6 =1 (mod 12), 7/5 = 11 (mod 12) 소수인 경우 나눗셈은 항상 가능하다. M= Ax2 + Bxy + Cy2 인 모든수 x,y를 찾는 방법을 제시 (D = b2 – 4ac) Quadratic congruences x2 mod p = q

가우스 유수문제 A + B√-d 6 = 2*3 = (1+ √-5)* (1- √-5) Heegner 1952, Stark, Baker 1967 h(d)=k 인 최대수 d가 존재한다 (가우스) Hecke, Heilbronn (1934)

Fermat’s Last theorem((2)10장) Fermat's Last Theorem states that xn + yn = zn has no non-zero integer solutions for x, y and z when n > 2. I have discovered a truly remarkable proof which this margin is too small to contain.

History of Fermat’s last theorem the area of a right triangle cannot be a square. Fermat N=4 Euler n=3, 4 Sophie Germain n < 100, 197 중요 케이스 Legendre, Dirichlet, Kummer, Liouville (2) page 371 그림

Solution Falting for every n > 2 there are at most a finite number of coprime integers x, y, z with xn + yn = zn. Taniyama-Shimura Conjecture x2= Ay3 + By2 + Cy + D (f(x))2= Ag(z)3 + Bg(z)2 + Cg(z) + D

Solution Frey, Ribet 페르마의 정리의 반예는 Taniyama-Shimura 예상에 반예를 준다. Wiles 위 예상의 증명 (반안전 타원곡선경우)