제7장 미분법칙과 비교정태분석

미분법칙과 비교정태분석 일변수함수에 관한 미분법칙 상수함수의 미분법칙(constant function rule) 상수함수 y=k, 즉 f(x)=k의 도함수는 항상 0임. - 즉, x의 모든 값에 대하여 0임. - 다음과 같은 형태로도 표시함. - 고정비용 FC=f(Q)=1,200 : 0의 기울기를 갖는 수평선 dy dx dk dx = =0 또는 f(x)=0 d dx d dx d dx y= f(x)= k=0 d dQ d dQ FC= 1200=0

미분법칙과 비교정태분석 일변수함수에 관한 미분법칙 멱함수의 미분법칙(power function rule) 멱함수 y=f(x)=xn의 도함수는 nxn-1임. - y=x3의 도함수 : - y[=f(x)]=x의 도함수 : - y=x0의 도함수 : d dx xn=nxn-1 또는 f(x)=nxn-1 dy dx d dx = x3=3x2 d dx f(x)= x=1(x)0=1 d dx x0=0(x-1)=0

미분법칙과 비교정태분석 일변수함수에 관한 미분법칙 멱함수의 미분법칙(power function rule) : 멱함수 y=f(x)=xn의 도함수는 nxn-1임. - y=1/x3(y=x-3)의 도함수 : - y=√ (y=x1/2)의 도함수 : = = d dx x-3=-3x-4 (=-3/x4) d dx 1 2 x x1/2= x-1/2 1 2√ √ 2x x x

미분법칙과 비교정태분석 일변수함수에 관한 미분법칙 멱함수의 미분법칙(power function rule) 도함수들은 그 자체가 독립변수 x의 함수임. - 예를 들어, 도함수 dy/dx=3x2 또는 f(x)=3x2이므로 다음과 같이 x의 값이 변하면 도함수의 값도 변함. f(1)=3(1)2=3 f(2)=3(2)2=12 - 도함수의 값 f(1), f(2) 등을 구할 때, 중요한 점은 우선 함수 f(x)를 미분하여 도함수 f(x)를 얻고, 그 다음에 x의 특정한 값을 f(x)에 대입해야 함.

cxn=cnxn-1 또는 f(x)=cnxn-1 미분법칙과 비교정태분석 일변수함수에 관한 미분법칙 멱함수의 미분법칙의 일반화 f(x)=cxn과 같이 멱함수에 상수 c가 곱해진 경우 - 이때 도함수는 - y[=f(x)]=2x일 때, 도함수는 dy/dx=2(1)x1-1=2(1)x0=1 - f(x)=4x3일 때, 도함수는 f(x)=4(3)x3-1=12x2 - f(x)=3x-2일 때, 도함수는 f(x)=3(-2)x-2-1=-6x-3 d dx cxn=cnxn-1 또는 f(x)=cnxn-1

미분법칙과 비교정태분석 동일변수를 둘 이상 갖는 함수들의 미분법칙 동일변수 x를 갖는 두 미분가능한 함수 f(x)와 g(x)가 있음. 합과 차의 미분법칙(sum-difference rule) 두 함수 합(차)의 도함수는 두 함수 도함수의 합(차)임. - 함수 y=14x3으로부터 도함수 dy/dx=42x2을 구할 수 있음. 이는 14x3=5x3+9x3이므로, y는 두 함수 f(x)=5x3과 g(x)=9x3의 합으로 볼 수 있음. d dx d dx d dx [f(x)g(x)]= f(x) g(x)=f(x)g(x) d dx d dx d dx (5x3+9x3)= 5x3+ 9x3=15x2+27x2=42x2

미분법칙과 비교정태분석 동일변수를 둘 이상 갖는 함수들의 미분법칙 합과 차의 미분법칙(sum-difference rule) 다항함수는 멱함수들의 합(차)에 불과함. - 예 : = (ax2+bx+c)=2ax+b - 예 : (7x4+2x3-3x+37)=28x3+6x2-3+0=28x3+6x2-3 - 변수에 곱해지는 상수(계수)는 미분과정에서 남지만, 가법적으로 주어지는 상수(상수항)는 미분하면 0이 되어 없어짐. dy dx d dx d dx

미분법칙과 비교정태분석 동일변수를 둘 이상 갖는 함수들의 미분법칙 합과 차의 미분법칙(sum-difference rule) - 경제학에서 기업의 고정비용(FC)은 한계비용(MC)에 영향을 미치지 못함. C=Q3-4Q2+10Q+75 여기서 한계비용함수는 차분몫 ⊿C/⊿Q의 극한임. 즉, 비용함수의 도함수(=한계비용)는 다음과 같음. (=MC)=3Q2-8Q+10 - FC인 상수항 75는 dC/dQ 도출 과정에서 없어짐. dC dQ

미분법칙과 비교정태분석 동일변수를 둘 이상 갖는 함수들의 미분법칙 총함수(total function)와 한계함수(marginal function) - 일반적으로 원시함수 y=f(x)가 총함수를 나타내면, 그 도함수 dy/dx는 한계함수가 됨. - 즉, 한계함수는 주어진 x값에서 총함수의 기울기임. (총함수곡선상의 한 점에서 접선의 기울기를 나타냄.)

미분법칙과 비교정태분석 동일변수를 둘 이상 갖는 함수들의 미분법칙 총함수(total function)와 한계함수(marginal function)

미분법칙과 비교정태분석 동일변수를 둘 이상 갖는 함수들의 미분법칙 총함수(total function)와 한계함수(marginal function) - [그림 7.1](a)에서 일정한 기울기를 갖는 선형총함수는 상수인 한계함수를 가짐(수평형태의 기울기). - [그림 7.1](b)처럼 기울기가 변하는 비선형총함수는 곡선으로 된 한계함수를 가짐. 한계함수는 총함수의 기울기가 음(양)일 때 가로축의 아래(위)에 위치함. - [그림 7.1](c)처럼 매끄럽지 않은 총함수는 한계함수, 즉 도함수에 틈(불연속성)이 생김.

미분법칙과 비교정태분석 동일변수를 둘 이상 갖는 함수들의 미분법칙 총함수(total function)와 한계함수(marginal function) - 원시함수가 매끄럽다는 것은 그 도함수의 연속성과 연결할 수 있음. - 특히, 어떤 함수가 모든 점에서 매끄럽다(그리고 미분가능하다)는 대신, 연속도함수를 갖는 함수로, 이러한 함수를 연속미분가능함수(continuously differentiable function)라고 함.

미분법칙과 비교정태분석 동일변수를 둘 이상 갖는 함수들의 미분법칙 곱의 미분법칙(product rule) - 두 (미분가능한) 함수의 곱의 도함수는 첫 번째 함수에 두 번째 함수의 도함수를 곱한 것과 두 번째 함수에 첫 번째 함수의 도함수를 곱한 것을 합한 것과 같음 (그 순서를 바꿔도 무방함). [f(x)g(x)]=f(x) g(x)+g(x) f(x) =f(x)g(x)+g(x)f(x) [=f(x)g(x)+g(x)f(x)] d dx d dx d dx

미분법칙과 비교정태분석 동일변수를 둘 이상 갖는 함수들의 미분법칙 곱의 미분법칙(product rule) - y=(2x+3)(3x2)의 도함수? 우선, f(x)=2x+3 및 g(x)=3x2이라고 하면, f(x)=2 및 g(x)=6x임. 따라서 도함수는 다음과 같음. [(2x+3)(3x2)]=(2x+3)(6x)+(2)(3x2)=18x2+18x 이 식은 다항함수의 도함수로도 확인할 수 있음. f(x)g(x)=(2x+3)(3x2)=6x3+9x2 이를 미분하면 도함수는 18x2+18x d dx

미분법칙과 비교정태분석 동일변수를 둘 이상 갖는 함수들의 미분법칙 곱의 미분법칙(product rule) - 함수가 셋인 경우로 확장하면, 다음과 같음. [f(x)g(x)h(x)]=f(x)g(x)h(x)+f(x)g(x)h(x) +f(x)g(x)h(x) 세 함수의 곱의 도함수는 두 번째와 세 번째 함수의 곱에 첫 번째 함수의 도함수를 곱한 것 더하기 첫 번째와 세 번째 함수의 곱에 두 번째 함수의 도함수를 곱한 것 더하기 첫 번째와 두 번째 함수의 곱에 세 번째 함수의 도함수를 곱한 것 d dx

미분법칙과 비교정태분석 동일변수를 둘 이상 갖는 함수들의 미분법칙 곱의 미분법칙(product rule) - y=x(x2-1)(x3-x2+1)일 때 도함수? 우선, f(x)=x, g(x)=x2-1, h(x)=x3-x2+1이라고 하면, f(x)=1, g(x)=2x, h(x)=3x2-2x임. 따라서 도함수는 =1(x2-1)(x3-x2+1)+x(2x)(x3-x2+1)+x(x2-1)(3x2-2x) dy dx

미분법칙과 비교정태분석 동일변수를 둘 이상 갖는 함수들의 미분법칙 평균수입함수로부터 한계수입함수 구하기 - 이윤(profit : )=총수입(TR)-총비용(TC) =TR-TC=PQ-TC - 평균수입(average revenue : AR)=f(Q) AR(=P)=TR/Q (단위 산출량당 평균수입)=15-Q - 총수입(TR)ARQ(=PQ)=(15-Q)Q=15Q-Q2 - 한계수입(marginal revenue : MR) : 총수입(TR) 미분 MR =f(Q)1+Qf(Q)=f(Q)+Qf(Q)=AR+Qf(Q) dTR dQ

미분법칙과 비교정태분석 동일변수를 둘 이상 갖는 함수들의 미분법칙 평균수입함수로부터 한계수입함수 구하기 - MR-AR=MR-f(Q)=Qf(Q) 이로부터, MR과 AR은 항상 Qf(Q)만큼 차이가 발생 - 여기서 산출량 Q는 비음(non-negative, 즉 Q0)임. - f(Q)[=AR]는 Q에 관해서 그려진 평균수입곡선의 (접선의) 기울기임(0). - 평균수입(AR)과 가격(P)은 서로 같음. AR[=f(Q)]  P TR Q PQ Q

미분법칙과 비교정태분석 동일변수를 둘 이상 갖는 함수들의 미분법칙 평균수입함수로부터 한계수입함수 구하기 - 앞의 식에서 평균수입함수(AR)는 P=f(Q)의 관계임. 그러나 수요함수(demand function)는 Q=f(P)의 관계 이므로, 이 두 함수는 서로 역함수(inverse function) 관계임. - 완전경쟁하에서의 AR곡선은 수평이므로 f(Q)=0임. 따라서 MR-AR=0, 즉 MR=AR임. - 불완전경쟁하에서 AR곡선의 기울기는 우하향함. 따라서 MR-AR0, 즉 MR곡선은 AR곡선 아래 위치함.

미분법칙과 비교정태분석 동일변수를 둘 이상 갖는 함수들의 미분법칙 평균수입함수로부터 한계수입함수 구하기 - 앞의 내용은 두 곡선의 상대적 위치만 관계된다는 점에서 정성적 분석(qualitative analysis)임. - 그러나 이에 대한 정량적 분석(quantitative analysis)도 가능함(그림 7.2 참조).

미분법칙과 비교정태분석 동일변수를 둘 이상 갖는 함수들의 미분법칙 평균수입함수로부터 한계수입함수 구하기

미분법칙과 비교정태분석 동일변수를 둘 이상 갖는 함수들의 미분법칙 평균수입함수로부터 한계수입함수 구하기 - 앞의 그림에서 산출량이 N에서 결정되면, Qf(Q)는 구체적으로 Nf(N)으로 됨. - 여기서 Nf(N) 크기를 알 수 있다면, AR곡선상의 G점 에서 얼마만큼 아래에 MR곡선상의 점이 위치하는가를 알 수 있음. - f(N)은 점 G에서 AR곡선의 기울기임. 즉, 접선 JM의 기울기(OJ/OM 또는 HJ/HG)임.

미분법칙과 비교정태분석 동일변수를 둘 이상 갖는 함수들의 미분법칙 평균수입함수로부터 한계수입함수 구하기 - 따라서 (거리) 산출량 N에서 AR곡선과 그 아래 위치한 MR곡선 사이의 거리 Nf(N)은 다음과 같음. Nf(N)=HG =HJ - 따라서 HJ만큼 점 G에서 수직거리 KG(=HJ)만큼 아래 점 K를 정하면 반드시 MR곡선상의 한 점이 됨. - 만약, 산출량이 달라지면 마찬가지로 AR곡선상의 점 그 아래 위치한 MR곡선상의 한 점을 구할 수 있음. HJ HG

미분법칙과 비교정태분석 동일변수를 둘 이상 갖는 함수들의 미분법칙 평균수입함수로부터 한계수입함수 구하기 - 독점기업의 경우 평균수입함수와 한계수입함수는 TR=PQ AR= =P, MR= 수요함수 : P=a-bQ (AR) TR=(a-bQ)Q=aQ-bQ2 MR=a-2bQ - MR곡선 기울기는 AR곡선 기울기보다 2배 큼(절대값). PQ Q dTR dQ

미분법칙과 비교정태분석 동일변수를 둘 이상 갖는 함수들의 미분법칙 평균수입함수로부터 한계수입함수 구하기 ║ ║ ║ ║ ║ ║ ║ ║ AR (선형인 경우) MR

미분법칙과 비교정태분석 동일변수를 둘 이상 갖는 함수들의 미분법칙 몫의 미분법칙(quotient rule) - 두 함수의 몫 f(x)/g(x)의 도함수는 다음과 같음. = - 우변의 분자에는 곱의 형태로 된 2개 항이 있고, 각 항은 두 함수 중 한 함수의 도함수를 포함하고 있음. 특히, f(x)는 양의 항에 나타나고 있고, g(x)은 음의 항에 나타나고 있으며, 분모는 g(x)의 제곱임을 유의 - 여기서 표기법의 정의상 g2(x)[g(x)]2임. d dx f(x) g(x) f(x)g(x)-f(x)g(x) g2(x)

미분법칙과 비교정태분석 동일변수를 둘 이상 갖는 함수들의 미분법칙 몫의 미분법칙(quotient rule) - 예 1 : 두 함수의 몫의 도함수를 구하라. = = - 예 2 : 두 함수의 몫의 도함수를 구하라. = = - 예 3 : 두 함수의 몫의 도함수를 구하라. = = = d dx 2x-3 x+1 2(x-1)-(2x-3)(1) (x+1)2 5 (x+1)2 d dx 5x x2+1 5(x2+1)-5x(2x) (x2+1)2 5(1-x2) (x2+1)2 d dx ax2+b cx 2ax(cx)-(ax2+b)(c) (cx)2 c(ax2-b) (cx)2 ax2-b cx2

미분법칙과 비교정태분석 동일변수를 둘 이상 갖는 함수들의 미분법칙 Relationship between marginal cost and average cost function - 총비용함수(TC) C=C(Q)가 주어지고 Q0이면, 평균비용함수(AC)= : Q에 관한 두 함수의 몫 한계비용함수(MC)= = =C(Q) - 단위 산출량에 대한 AC의 변화율은 AC를 미분하면 됨. = = C(Q)- C(Q) Q C(Q)-C(a) Q-a dC(Q) dQ d dQ C(Q) Q C(Q)Q-C(Q)1 Q2 1 Q C(Q) Q

미분법칙과 비교정태분석 동일변수를 둘 이상 갖는 함수들의 미분법칙 Relationship between marginal cost and average cost function - 앞의 식으로부터 Q0에 대하여 다음의 관계가 성립 C(Q) 이면, 0 여기서 C(Q)는 한계비용함수(MC), C(Q)/Q는 평균비용 함수(AC), (d/dQ)[C(Q)/Q]는 AC곡선의 기울기임. - 위 식의 경제적 의미 : 한계비용(MC)평균비용(AC)  AC의 기울기 증가 한계비용(MC)평균비용(AC)  AC의 기울기 0 한계비용(MC)평균비용(AC)  AC의 기울기 감소 C(Q) Q d dQ C(Q) Q      

미분법칙과 비교정태분석 동일변수를 둘 이상 갖는 함수들의 미분법칙 Relationship between marginal cost and average cost function - 다음의 그림 7.3은 총비용함수 C=Q3-12Q2+60Q가 주어졌을 때, MC곡선과 AC곡선이 그려진 것임. - 여기서 Q=6의 왼쪽에서는 AC가 감소하고 이에 따라 MC는 AC의 아래쪽에 위치하고, 오른쪽에서는 AC가 증가하고 이에 따라 MC는 AC의 위쪽에 위치함. Q=6에서는 AC가 0의 기울기를 가지고 MC와 AC는 일치함.

미분법칙과 비교정태분석 동일변수를 둘 이상 갖는 함수들의 미분법칙 Relationship between marginal cost and average cost function MCAC MCAC MCAC

미분법칙과 비교정태분석 상이한 변수를 갖는 함수(=합성함수)들의 미분법칙 연쇄법칙(chain rule) - 함수 z=f(y)이고 y=g(x)라면, z=f[g(x)]로 변형이 가능 - 여기서 z의 x에 관한 도함수는 z의 y에 대한 도함수에 y의 x에 관한 도함수를 곱한 것과 같음. - 즉, 기호로 표시하면 다음과 같음. = =f(y)g(x) - 이를 연쇄법칙(chain rule)이라 함. dz dx dz dy dy dx

미분법칙과 비교정태분석 상이한 변수를 갖는 함수(=합성함수)들의 미분법칙 연쇄법칙(chain rule) - ⊿x가 주어지면, 함수 y=g(x)를 통하여 ⊿y가 결정되고, 이 ⊿y는 함수 z=f(y)를 통하여 ⊿z를 결정함. - 이 연쇄반응에서의 관계는 두 개의 차분몫, ⊿y/⊿x와 ⊿x  ⊿y  ⊿z ⊿z/⊿y를 수반하지만, 이들이 곱해지면 ⊿y는 소거됨. = g를 통하여 f를 통하여 ⊿y ⊿x ⊿z ⊿y ⊿z ⊿x

미분법칙과 비교정태분석 상이한 변수를 갖는 함수(=합성함수)들의 미분법칙 연쇄법칙(chain rule) - 함수 y=g(x)이면 z=f(y)를 z=f[g(x)]로 나타낼 수 있음. - 여기서 두 함수기호 f와 g가 서로 인접하여 나타나는 것을 합성함수(함수의 함수)라고 함. - 이 연쇄법칙을 합성함수의 법칙(composite function rule) 또는 함수의 함수의 법칙(function of a function rule)이라고도 함.

미분법칙과 비교정태분석 상이한 변수를 갖는 함수(=합성함수)들의 미분법칙 연쇄법칙(chain rule) - 마찬가지로 연쇄법칙을 확장(expansion)하여, 함수가 z=f(y), y=g(x) 및 x=h(w)로 주어지면, = =f(x)g(x)h(w) - 예 1 : z=3y2이고 y=2x+5이면, dz/dx (연쇄법칙)? = =6y(2)=12y=12(2x+5) dz dw dz dy dy dx dx dw dz dx dz dy dy dx

미분법칙과 비교정태분석 상이한 변수를 갖는 함수(=합성함수)들의 미분법칙 연쇄법칙(chain rule) - 예 2 : z=y-3이고 y=x3이면, dz/dx (연쇄법칙)? = =1(3x2)=3x2 - 예 3 : z=(x2+3x-2)17일 때, 중간변수(intermediate variable) y=x2+3x-2를 연쇄적으로 연결하면, 즉 z=y17이고 y=x2+3x-2일 때 도함수 dz/dx? = =17y16(2x+3)=17(x2+3x-2)16(2x+3) dz dx dz dy dy dx dz dx dz dy dy dx

미분법칙과 비교정태분석 상이한 변수를 갖는 함수(=합성함수)들의 미분법칙 연쇄법칙(chain rule) - 예 4 : 총수입함수 R=f(Q)이고, 생산함수 Q=g(L)일 때, dR/dL (연쇄법칙)? = =f(Q)g(L)  MRPL=MRMPPL 여기서 dR/dQ는 한계수입(MR)이고, dQ/dL은 노동의 한계실물생산(marginal physical product of labor : MPPL)이고, dR/dL은 노동의 한계수입생산(marginal revenue product of labor : MRPL)임. dR dL dR dQ dQ dL

미분법칙과 비교정태분석 상이한 변수를 갖는 함수(=합성함수)들의 미분법칙 역함수(inverse function)의 미분법칙 - 함수 y=f(x)에서 1대 1사상(one to one mapping), 즉 서로 다른 x값에 대하여 y가 항상 서로 다른 값을 갖는 함수라면, 함수 f는 역함수 x=f-1(y)가 존재함. (역함수는 함수 f(x)의 역수 1/f(x)가 아님.) - 역함수 존재의 본질적 의미는, 주어진 x값에 대하여 유일한 y값이 결정되고[y=f(x)], 주어진 y값에 대하여 유일한 x값이 결정된다는 것임 [x=f-1(y)].

미분법칙과 비교정태분석 상이한 변수를 갖는 함수(=합성함수)들의 미분법칙 역함수(inverse function)의 미분법칙 - 역함수가 존재하는 함수를 강단조함수(strictly monotonic function)라고 함. - 강증가함수(strictly increasing function) : x가 순차적으로 더 큰 값을 가질 때 f(x)는 항상 순차적 으로 더 큰 값을 가짐. 즉, x2x1  f(x2)f(x1) - 강감소함수(strictly decreasing function) : 으로 더 작은 값을 가짐. 즉, x2x1  f(x2)f(x1)

미분법칙과 비교정태분석 상이한 변수를 갖는 함수(=합성함수)들의 미분법칙 역함수(inverse function)의 미분법칙 - 대수적으로는 주어진 함수 y=f(x)의 강단조성을 확인 하는 실제 방법은 모든 x값에 대해 f(x)가 항상 같은 (0이 아닌) 대수 부호(+/-)를 갖는지 여부를 점검하는 것임. - 기하학적으로는 함수의 기울기가 항상 위쪽으로 또는 아래쪽으로 향하는 것을 의미함.

미분법칙과 비교정태분석 상이한 변수를 갖는 함수(=합성함수)들의 미분법칙 역함수(inverse function)의 미분법칙 - 예 : 함수 y=5x+25는 도함수 dy/dx=+5를 갖고, 이것은 x값에 관계없이 항상 양수임. 즉, 강증가함수임. 따라서 역함수가 존재함. 이 때, 역함수는 y=5x+25를 x에 대해 풀면 됨. 즉, x=(1/5)y-5임. 이 역함수도 모든 y값에 대해 도함수 dx/dy=1/5로 0보다 큼(양수). 따라서 강증가함수임.

미분법칙과 비교정태분석 상이한 변수를 갖는 함수(=합성함수)들의 미분법칙 역함수(inverse function)의 미분법칙 - y=f(x)의 graph와 x=f-1(y)의 graph는 축만 바뀔 뿐 똑같은 graph임. - 즉, 두 곡선은 원점을 통과하는 45선에 대해서 서로 대칭(mirror image)임. - 이러한 대칭관계를 사용하면 원래의 함수 f의 graph가 주어지면 역함수 f-1의 graph를 쉽게 그릴 수 있음.

미분법칙과 비교정태분석 상이한 변수를 갖는 함수(=합성함수)들의 미분법칙 원래 함수와 역함수의 graph y y=5x+25 x=(1/5)y-5 45 x x -5 25 -5 y

미분법칙과 비교정태분석 상이한 변수를 갖는 함수(=합성함수)들의 미분법칙 역함수(inverse function)의 미분법칙 - y=f(x)의 역함수인 x=f-1(y)의 미분법칙은 다음과 같음. = - 역함수의 도함수는 원래 함수의 도함수의 역수임을 의미함. - 이 때문에 dx/dy는 dy/dx와 같은 부호를 가지게 되어 f가 강증가(감소)함수이면 f-1도 반드시 강증가(감소) 함수가 됨(앞의 예 : dy/dx=5, dx/dy=1/5). dx dy 1 dy/dx

미분법칙과 비교정태분석 상이한 변수를 갖는 함수(=합성함수)들의 미분법칙 역함수(inverse function)의 미분법칙 - 예 : y=x5+x가 주어졌을 때, 역함수의 도함수 dx/dy? =5x4+1 (항상 0보다 큼  강증가함수) 위 식은 역함수가 존재하므로 역함수의 미분법칙에 따라 다음과 같이 구할 수 있음. = = dy dx dx dy 1 dy/dx 1 5x4+1