Maximum Power Transfer - 전원과 부하 사이에 matching network을 삽입해서 부하에 가능한 한 많은 power를 전달하게 한다. - Maximum power transfer의 중요한 응용 예는 cellular phone의 연결이나 wireless radio transmitter에서 cell’s antenna로의 power transfer이다. - 예를 들면, 실제 cellular telephone antenna의 input impedance는 10+j 6.28 W 이 다. - 부하에 maximum power가 전달되도록 network을 설계하라. Design the matching network to transfer maximum power to the load where the load is the model of an antenna of a wireless communication system.

Sinusoidal Steady-State Power Calculations Instantaneous power v i -i -v t + – Average power

Power for Purely Resistive Circuits Current is in the same phase of voltage 전류 전압 p(t) p(t)는 instantaneous real power 이고, real power란 전기적인 파워로부터 다른 형태의 파워로 바꿀 수 있는 파워이다. 순수 저항 회로라면 전기적 에너지가 열 에너지로 변환되고, 회로 내부에 에너지를 저장할 수 없으므로 instantaneous real power는 음이 되는 경우는 없다.

Power for Purely Inductive Circuits 전류 전압 p(t) Current lags voltage by 90º 따라서 Average power는 영이므로 에너지의 변환은 없다. Instantaneous power는 reactive power이고 회로에서 부하와 전원사이를 오간다. p > 0 이면 전원  부하. p < 0 이면 전원  부하.

Power for Purely Capacitive Circuits 전류 전압 Current leads voltage by 90º 따라서 Average power는 영이므로 에너지의 변환은 없다. Instantaneous power는 reactive power이고 회로에서 부하와 전원사이를 오간다. p > 0 이면 전원  부하. p < 0 이면 전원  부하.

Reactive Power (I) Instantaneous power (1) 단위 P : Watt, Q : VAR (Volt-Amp Reactive) (2) 전류를 기준으로 하면 Inductor는 이므로 Q > 0 이때 Inductor는 magnetizing vars를 흡수한다고 한다. Capacitor는 이므로 Q < 0 이때 Capacitor는 magnetizing vars를 전달한다고 한다.

Reactive Power (II) Instantaneous power (3) power factor reactive factor power factor 값을 알 경우 reactive factor 의 값을 알 수 있어도 부호를 결정할 수 없다. lagging power factor 라 하면 inductive 이므로 Q 는 양이고, leading power factor 라 하면 capacitive 이므로 Q 는 음이 된다.

RMS Value + Vm – R Rms value는 dc 와의 비교값. 저항회로에 정현파 전압의 가해질 때 전달되는 파워. 즉, 전압을 Vrms로 나타내면 Vdc일 때 전달되는 에너지와 비교할 수 있다. Vrms = 100 V 이면 Vdc = 100 V 일 때 전달되는 에너지와 같다. 정현파 120 V - 100 W 전등에서 저항은 전류는 이다. 전류의 진폭은 이다.

Phasor voltage and circuit Power Calculations 파워를 복소수로 나타낼 수 있다. S 를 정리하면 + – Circuit Phasor voltage and circuit 따라서,

Alternate Forms for Complex Power Z를 사용해서 S를 표현하자. 이므로 따라서, 또한 이므로 + – Z

Maximum Power Transfer Sinusoidal steady state 회로에서 최대 average power를 전달하려면 즉 부하 임피던스는 전원의 (테브난) 임피던스의 complex conjugate가 되어야 최대 전력이 전달된다.

Self and Mutual Inductance Lij ≡ xj xi ii λi + _ λj ij ij (이때 ij외의 전류는 영) Lij에서 i = j 이면 self inductance, i ≠ j 이면 mutual inductance 이다. 즉, self inductance는 자기 코일의 전류에 의해 발생하는 쇄교 자속에 의한 것이고, mutual inductance는 남의 코일의 전류에 의해 발생하는 쇄교 자속에 의한 것이다. 코일이 두개라면 L11 , L22 : self inductance, L12 , L21 : mutual inductance

Permeance 이고, 로 쓸 수 있다. P (permeance) : 자속을 잘 통과시키는 정도를 나타내는 계수. 이고, 로 쓸 수 있다. P (permeance) : 자속을 잘 통과시키는 정도를 나타내는 계수. Coil 1을 통과하는 자속 Coil 2를 통과하는 자속 i1 is N1 + v1 - v2 N2 Coil 1을 통과하는 자속 Coil 2를 통과하는 자속 + v2 - i2 is v1

Mutual Inductance in terms of Self-Inductance 이고 이며, 이므로 , 여기서 이므로 이고 이라 가정하면 또는 가 된다. 여기서 k : 결합계수이다. (0 ≤ k ≤ 1)

Dot Convention i2 i1 Mutual inductance에 의해 발생하는 자속은 코일 전류의 방향 또는 권선을 감아 놓은 방향에 따라 더해질 수도 감해질 수도 있다. 이 때 dot가 있는 쪽으로 전류가 흘러 들어가면 자속은 더해진다고 약속해 두었다. Dot marking 순서 (1) 한 단자에 marking하고 전류를 흘려 flux를 발생시킨다. (2) 다른 코일의 한 단자를 선택하고 전류를 흘려서 flux를 발생시킨다. (3) 두 flux가 더해지면 그 단자에 marking하고 두 flux가 빼지면 다른 단자에 marking 한다. + v1 _ i1 i2 L1 L2 A B C D M + –

Dot Convention - Example Current entering the dotted terminal of one coil produces a voltage that is sensed positively at the dotted terminal of the second coil. Current entering the undotted terminal of one coil produces a voltage that is sensed positively at the undotted terminal of the second coil.

Energy Calculations + v1 v2 - M i1 i2 L1 L2 i2 (I1 , I2) (2) (1) i1 이고 경로 구간(1) 경로 구간(2) i2 i1 (I1 , I2) (2) (1) 다른 경로를 취하면 전류가 flux를 빼는 방향이라면 이 경우, 소자가 모두 수동 소자이므로 이고 이고

Linear Transformer - Transformer : Magnetic coupling을 이용하는 대표적인 기기 않으므로 교류만을 분리할 때도 이용 - 선형은 magnetic flux가 전류에 비례한다는 의미 - Sinusoidal steady-state를 해석 + – Zs I1 Vs a b R1 Source ZL R2 d c I2 Load ab 단자에서 본 impedance 1차측 2차측 정리하면 : Reflected impedance : Total self-impedance 전원 단자에서 본 impedance Scale , reactive : 부호 바뀜

Exploring Limiting Values(I) + – Zs I1 Vs a b R1 Source ZL R2 d c I2 Load 실제 변압기에서 L1, L2는 매우 크고 k는 거의 1 에 가깝다. 이럴 때의 Zab를 구해보자. 여기서 이면 여기서

Exploring Limiting Values (II) 에서 은 를 의미 이므로 이다. 따라서, 이고 L1 , L2가 매우 크면 ab 단자에서 2차 코일을 보았을 때 2차 코일 저항 R2와 부하 임피던스 ZL 은 배가 된다.

Ideal Transformer 이상적인 변압기의 성질 (1) k = 1 , (2) L1 = L2 =  , (3) coil losses = 0 , R1 = R2 = 0 + – open + – + – short ideal 이상적인 변압기의 기호. 자기회로는 규소강을 사용하며, 변압기의 효율은 95%가 넘는다.

Polarity of Voltage and Current Ratio (I) 전압 부호 결정 : 2차 측 open, 전류 부호 결정 : 2차 측 short. + – A B C D E F 다음의 조합으로 회로를 결정할 수 있다. dot :A, B 전압: C, D 전류: E, F Case study (1) dot : B, 전압: D, 전류: E open : short : + – 1 : a

Polarity of Voltage and Current Ratio (II) 전압 부호 결정 : 2차 측 open, 전류 부호 결정 : 2차 측 short. + – A B C D E F 다음의 조합으로 회로를 결정할 수 있다. dot :A, B 전압: C, D 전류: E, F Case study (2) dot : B, 전압 : C, 전류 : F open : short : + – 1 : a

Impedance Matching 전원 쪽에서 본 임피던스 1 : a 전압, 전류의 관계 Zs + – ZL ideal 따라서, 최대 전력을 수송하기 위하여 변압기를 삽입하는 경우도 있음.

T-Equivalent Circuit + – + – + – + – M a c b, d를 연결해서 원래의 전압과 전류에 영향을 주지 않는다고 가정. X1, X2 를 구하자. 식들을 비교. b d + – + – M M L2 -M L1 -M

Equivalent Circuit for the Nonideal Transf. (I) M M a b m n b’ a’ a’ a + – m n + – b b b’ b’ - Analysis of Electric Circuits, E. Brenner, McGraw-Hill, 1967 (pp.565-568). T형 등가회로의 두 가지 문제점. (1) L1-M 또는 L2-M 이 음수가 될 수 있음. 계산 시에는 문제가 없으나 물리적으로 negative inductance는 없음. (2) 변압기의 성질인 분리가 안됨.

Equiv. Circuit for the Nonideal Trans. (II) 두 가지 문제점을 이상적인 변압기를 도입해서 해결. L1-M < 0 이라고 가정. 그리고, L1-aM > 0 이 되는 1 보다 작은 a가 있다고 가정하자. L1-M < 0 이면 L2-M > 0 (왜냐하면 이므로)  a a” + – + – aM a”, b” 단자에 이상적인 변압기를 연결. 이 회로에서 a는 (1) 등가회로 안의 모든 계수가 물리적으로 의미가 있도록, (2) 변압기의 isolating property가 유지되도록 결정한다. b b” a:1 a + – + – + – aM b ideal

Applications – Speaker Systems - 음을 충실히 재생하기 위하여 주파수 대역별로 스피커를 사용. - Woofer: 20 Hz ~ 300 Hz. - Midrange: 100Hz ~ 5 kHz. - Tweeter: 2 kHz ~ 25 kHz. - Crossover speaker system : parallel network with speakers. - 예를 들어, 1.4 kHz 에서 midrange speaker 는 4.5 W, woofer 는 1 W, tweeter 는 1.3 W 정도를 소모한다. Crossover speaker system

Maximum Power Transfer (I) - 실제 cellular telephone antenna의 입력 임피던스는 10+j 6.28 W 이다. - 부하에 최대 전력이 전달되도록 회로망을 설계하라. - 최대 전력이 전달되는 임피던스는 입력 단에서 보았을 때

Maximum Power Transfer (II) - 변압기를 사용하여 전체적인 계수를 조정 - n2이 10 이면 실수부는 최대 전력 전달 조건에 만족이 되나 허수부는 만족이 안된다. - 캐패시터를 삽입.