제07장 이산 푸리에 변환
푸리에 급수와 계수 에서의 이산주기신호 제07장 이산 푸리에 변환
앨리어스(aliased) 푸리에 급수 계수 지수부분의 표현 지수부분 표현과 의 정의를 사용하여 표현하면, 앨리어스(aliased) 푸리에 급수 계수 = 제07장 이산 푸리에 변환
앨리어스 푸리에 급수 계수를 이용한 이산 푸리에 급수 위 식에서 을 로 변수치환하고 의 정의를 사용하면, 이산 푸리에 급수 계수 제07장 이산 푸리에 변환
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과 같이 정의하면 이산 푸리에 급수 계수 제07장 이산 푸리에 변환
에 대한 정의를 이산 푸리에 급수에 대입 이산 푸리에 급수 일반적인 이산 푸리에 급수(DFS) 제07장 이산 푸리에 변환
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유한 이산 신호에 대한 정의 DTFT에서 일 때 DFT와 같아짐. 제07장 이산 푸리에 변환
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FT, DTFT, FS, DFS, DFT 의 관계 FT DTFT FS DFS DFT 제07장 이산 푸리에 변환
Fequency Sampling Theorem If a sequece is time-limited(i.e., of finite duration) to [0, N-1], then the continuous spectrum of the sequence may be completely represented by N regularly-spaced frequeny-domain samples in [0, 2p), provided the samples are spaced not more than [rad] apart. frequency-domain sampling point ; w = 제07장 이산 푸리에 변환
무한 이산 신호 의 DTFT에서 표본값을 취하는 경우 주기 함수인 DTFT를 표본화 하여 이산 주기 함수인 DTF를 만든다. 제07장 이산 푸리에 변환
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y[0]를 구하기 위하여 x1[n]의 원통에 x2[n] 의 원통을 업혀놓고 오버랩 되는 값들끼리 곱하여 더한다. 제07장 이산 푸리에 변환
을 구하기 위하여 업혀놓은 의 원통을 아래그림과 같이 시계 반대 을 구하기 위하여 업혀놓은 의 원통을 아래그림과 같이 시계 반대 방향으로 1만큼 이동시킨 후 오버랩 되는 값들끼리 곱하여 더한다. 제07장 이산 푸리에 변환
; 선형 convolution 제07장 이산 푸리에 변환
입력 신호와 임펄스 응답이 각각 의 길이가 되도록 0을 삽입한 후 원형 컨볼루션을 수행 원형 컨볼루션에 의한 선형 컨볼루션의 수행 ; 입력 신호와 임펄스 응답이 각각 의 길이가 되도록 0을 삽입한 후 원형 컨볼루션을 수행 제07장 이산 푸리에 변환
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Matlab n=[0:7]; x=[6 5 4 3 2 1]; h=[1 1 1]; y=conv(x,h) stem(n,y) grid on y = 6 11 15 12 9 6 3 1 제07장 이산 푸리에 변환
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Matlab N=8 n=[0:7]; x=[6 5 4 3 2 1 0 0]; h=[1 1 1 0 0 0 0 0]; X=fft(x); H=fft(h); Y=X.*H; y=ifft(Y); y=real(y) stem(n,y) grid on y = 6 11 15 12 9 6 3 1 제07장 이산 푸리에 변환
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Matlab N=6 n=[0:5]; x=[6 5 4 3 2 1]; h=[1 1 1 0 0 0]; X=fft(x); H=fft(h); Y=X.*H; y=ifft(Y); y=real(y) stem(n,y) grid on y = 9 12 15 12 9 6 제07장 이산 푸리에 변환
DFT를 사용하여 주파수 영역에서 선형 컨볼루션을 수행하는 방법 제07장 이산 푸리에 변환
BLOCK CONVOLUTION 제07장 이산 푸리에 변환
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에러가 발생하도록 원형 컨볼루션을 수행하나, 에러가 생긴 부분을 버리고 저장하는 방식 제07장 이산 푸리에 변환
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Overlap-save method implementation Nx ; the length of input sequence M ; the length of impulse response N ; block length M-1 ; the length of preappend zeros(or overlapped part) L=N-(M-1) ; the length of non-overlapped part K=floor((Nx+(M-1)-1)/L)+1 ; the total number of blocks where floor ; the truncation operation xk[n] ; the kth block input , yk[n] = xk[n] h[n] ; the kth block output y[n] ; the linear convolution output which is obtained discarding the first (M-1) smples from each yk[n] and concatenating the remaining samples 제07장 이산 푸리에 변환
h=[1 1 1 ]; %impulse response N=4; %block length Matlab Overlap-Save method clear x=[6 5 4 3 2 1 ]; %input h=[1 1 1 ]; %impulse response N=4; %block length Nx=length(x); %length of x M=length(h); %length of h M1=M-1; %overlapped length of a block L=N-M1; %nonoverlapped length of a block h=[h zeros(1,N-M)]; %length of h => N x=[zeros(1,M1), x, zeros(1,N-1)]; % preappend (M-1) zeros to x K=floor((Nx+M1-1)/L); %the number of blocks Y=zeros(K+1,N); 제07장 이산 푸리에 변환
% convoluton with succesive blocks for k=0:K Matlab % convoluton with succesive blocks for k=0:K xk=x(k*L+1:k*L+N); %the kth block of input x %circular convolution Xk=fft(xk,N); H=fft(h,N); Yk=Xk .* H; yk=ifft(Yk); yk=real(yk); Y(k+1,:)=yk; end Y=Y(:,M:N)'; %discard the 1st (M-1) samples y=(Y(:))'; %concatenating for the final output y 제07장 이산 푸리에 변환
Matlab %plot y n=[0:length(y)-1]; stem(n,y) grid on y = 6 11 15 12 6 11 15 12 9 6 3 1 제07장 이산 푸리에 변환
DFT : X(k) = Wx[n] (column vector) or X(k) = x[n]W (row vector) 의 정의 ; where 행렬 표현 ; DFT : X(k) = Wx[n] (column vector) or X(k) = x[n]W (row vector) IDFT: X(k) = 1/N * W*x[n] (column vector) or X(k) = 1/N * x[n] W* (row vector) 제07장 이산 푸리에 변환
Matlab DFT 제07장 이산 푸리에 변환
Matlab IDFT 제07장 이산 푸리에 변환
Ex.) Sol.) 제07장 이산 푸리에 변환
%X=(1-exp(-j*4*w)) ./ (1-exp(-j*w)); Matlab %% --DTFT-- x=[1 1 1 1]; w=[0:1:1000]*pi/500; %X=(1-exp(-j*4*w)) ./ (1-exp(-j*w)); X=1+exp(-j*w)+exp(-j*2*w)+exp(-j*3*w); magX=abs(X); angX=angle(X)*180/pi; %% --Plot DTFT-- subplot(2,1,1); plot(w/pi,magX); grid; hold on subplot(2,1,2); plot(w/pi,angX); grid; hold on 제07장 이산 푸리에 변환
subplot(2,1,1); stem(w/pi,magX,'filled'); grid; Matlab %% --DFT-- x=[1 1 1 1]; N=4; w=[0:1:N-1]*2*pi/N; n=[0:1:N-1]; k=[0:1:N-1]; WN=exp(-j*2*pi/N); nk=n'*k; WNnk=WN .^ nk; X=x*WNnk; magX=abs(X); angX=angle(X)*180/pi; %% --Plot DFT-- subplot(2,1,1); stem(w/pi,magX,'filled'); grid; xlabel('frequency in pi units'); ylabel('|X|'); title('Magnitude of the DTFT(DFT)'); subplot(2,1,2); stem(w/pi,angX,'filled'); grid; xlabel('frequency in pi units'); ylabel('Degrees'); title('Phase of the DTFT(DFT)'); 제07장 이산 푸리에 변환
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Radix-2 FFT 알고리듬 N = 2n , n ;integer - DIT(Decimation-In-Time) 알고리듬 DIF(Decimation-In-Frequency) 알고리듬 computational complexity; (total number of complex multiplications) 제07장 이산 푸리에 변환
DFT와 FFT의 연산량 비교(복소수곱셈의 수) DFT : N x N = N2 FFT : stage 수 x 각 stage의 곱셈수 = N DFT FFT 32 1024 80 64 4096 192 128 16384 448 제07장 이산 푸리에 변환
(Decimation – In –Time) , 위 식에서 홀수 신호와 짝수 신호를 다음과 같이 정의하고 또한, 이므로 제07장 이산 푸리에 변환
부터 까지의 은 위 식에서 은? 도 마찬가지로 해서 과 을 대입하면, DIT의 결과 : 제07장 이산 푸리에 변환
8-point DFT를 2개의 4-point로 구현하는 구조 제07장 이산 푸리에 변환
4-point DFT를 2개의 2-point로 구현하는 구조 W2 0 = 1 이므로, P(0) = p[0] + p[1] P(1) = p[0] – p[1] 제07장 이산 푸리에 변환
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역비트 순(bit-reversed order)의 과정 ; 제07장 이산 푸리에 변환
(Decimation – In –Frequency) N=2N1 인 경우에 이산 신호를 앞의 N1개와 뒤의 N1개로 나누어 표현할 수 있다. 위의 마지막 식에서 알 수 있듯이 k가 짝수일 때와 홀수일 때에 결과 값이 달라 진다. 제07장 이산 푸리에 변환
짝수 DFT (k =2r; 짝수) 홀수 DFT (k =2r+1; 홀수) 제07장 이산 푸리에 변환
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스케일 인수 1/N 은 각 스테이지에서 1/2 의 곱을 수행하는 것이 일반적인 과 의 자리만 바꾸고 곱셈 계수 을 으로 치환한다. 스케일 인수 1/N 은 각 스테이지에서 1/2 의 곱을 수행하는 것이 일반적인 방법이다. 이 경우 곱의 연산은 비트(bit)로 구성된 수를 우측으로 1비트 shift시키면 된다. 제07장 이산 푸리에 변환
7-1, 7-4, 7-7, 7-9 7-1 y[n]={-3, -6, 3, 6} 7-4 x[n]={0, a, b, c}= H.W.(7장 연습문제) 7-1, 7-4, 7-7, 7-9 7-1 y[n]={-3, -6, 3, 6} 7-4 x[n]={0, a, b, c}= 7-7 y[n]={7,13,18,15,12,9,5,2} 7-9 (b) |X(0)|=4, |X(1)|=0, |X(2)|=0, |X(3)|=0 제07장 이산 푸리에 변환