Song Jin Gu 2009년 10월 28일 Power Electronics Lab. Field Sketching as Applied to Electric Field Design Problems 11.1-11.3 By T. E. JAMES Song Jin Gu 2009년 10월 28일 Power Electronics Lab.

Contents 11.1. Introduction 11.2. Basic principles 11.3. High-voltage design problems - Parallel-plate transmission lines - Multiple transmission lines - Coaxial cable terminations 01/27

11.1. Introduction Field Sketching은 연속적인 근사방법에 의하여 전극구조의 한 면에서 전기와 자기장의 분포를 계산하는 것임 평면과 절연체가 결합된 원통형 시스템과 복잡한 구조의 근사 해를 구하는데 있어서 에라가 10%를 넘지 않는 합리적인 방법임 일반적으로 문제가 아주 복잡하지 않으면 빠르게 해를 구할 수있다. 02/27

11.1. Introduction List of symbols (MKS units) Voltage between adjacent equipotentials v Flux (or charge) per flux tube q Mean flux density of any mesh D Mean electric field of the same mesh E Dielectric constants k1, k2 etc. Distance along field lines lf1, lf2 per mesh Distance along equipotential lines (le1,le2 le1,le2 per mesh refer to materials k1, k2 respectively) Radius in cylindrical geometry r Number of flux tubes nf Number of equipotential spaces ni Mesh factors a, ka, ra, or kra Capacity of electrode assembly C 03/27

11.2. Basic principles Field Sketching은 Section 1.4에서 살펴보았으며 electric field lines은 current flow lines과 등가였다. 극에서 멀어질수록 Current flow line의 밀도는 감소한다. Voltage gradient는 Current density에 비례하므로 Equpotentials의 밀도는 current field line의 밀도에 비례 Electric field line equpotential ΔV : 전극 ΔV 04/27

11.2. Basic principles 근접한 등전위선들이 같은 전위차 ΔV로 구분되어 진다. Field line 사이의 공간들을 flux tube라 하고 같은 flux q ( or current in the resistive)를 갖는다면, then 인접한 등 전위간 전위차 Flux per flux tube and therefore Thus , a 는 임의 상수이고 mesh factor 라고 한다. (1) 05/27

11.2. Basic principles 11.2.1 Plane geometry-one dielectric Fig. 11.1(a)의 AB와 CD가 전극인 전극 구조에서 정확한 단일 해는 다음의 원칙과 과정을 통하여 구한다. Fig.11.1. Electric field problem in plane and cylindrical geometry (a) Plane geometry-one dielectric, a=0.5 전기력선과 등 전위선은 서로 직각으로 교차하고, 전극부의 코너에 가까운 부분에서 전기력선은 코너 각을 양분한다. 모든 mesh는 두 개의 field line과 flux line을 갖는데 같은 형상이거나 mesh factor a 에 상당하는 폭에 대한 길이의 동일한 비율을 갖는다. 동일한 field에서 AD와 BC의 경계면을 선정한다. AD를 따라서 등 전위 E,F,G의 위치를 결정한다.(이 경우는 3개임) 등전위선 전기력선 (a) 06/27

11.2. Basic principles 추측한 등 전위 선들을 AD의 우측으로 Sketch한다. 굽어진 부분에서의 등 전위 간의 간격은 멀어진다. 적절한 mesh factor 를 선정한다.( 이 경우 a=0.5 ) 분할 도구를 사용하여 를 plot 한다. 는 가정한 mesh의 중앙에서 측정되고, 등 전위선 모두가 직각이 되도록 위치를 수정한다. 그리고 모든 mesh의 a 는 동일한 값을 갖는다. BC에 이를 때까지 계속한다. 정확한 해는 마지막 field line이 BC와 일치하였을 때 이거나 또는 마지막 field line과 BC 사이의 mesh 들이 같은 a 값을 갖는 경우임 If the flux plot shows that BC is not in a uniform field region, then the solution is not necessarily correct near to BC. If this is a region of interest, then BC should be moved father away. 대부분의 문제는 BC와 같은 하나의 경계는 동일한 field region이 아니다. 이 경우 경계는 관심 영역으로부터 최소한 다섯 개 이상의 mesh를 선택해야 한다. 07/27

11.2. Basic principles 유전상수 k를 갖는 Fig.11.1(a)와 같은 전극구조에서 단위 길이당(into the plane of the diagram) Capacity C의 추정 값은 다음의 관계로 얻을 수 있다. the number of flux tube : nf the number of equipotential spaces : ni mesh factor : a q / v : 전체 용량 C에 기여하는 각 mesh의 양 nf 와 ni mesh가 병렬 및 직렬로 연결된 경우 C는 방정식 (1)에서 그래서 (2) 08/27

11.2. Basic principles 11.2.2 Plane geometry-mixed dielectric 유전상수 k1, k2 로 접속되어 있는 경우 equipotential and field lines은 접속 면에서 구부러지고 다음의 관계가 있다. Fig.11.2는 위의 관계로 그려졌고 그림에서 다음의 관계를 얻는다. ( see section 1.4 ) (3) Fig.11.2. Field configuration at common surface of two dielectrics(k2, k1) 09/27

11.2. Basic principles 그리고 mesh factor 는 k 에 비례한다. 동일 매질의 유전상수를 갖는 mesh factor를 임의 상수 a로 선정하면 식(3)에서 유전상수가 큰 매질에서는 equipotential lines이 심하게 구 부러짐을 알 수 있다. 이러한 사실은 equipotential lines을 sketching할 초기에 염두에 두어 야 한다. (4a) (4b) 10/27

11.2. Basic principles mesh가 두 개의 매질 내에 놓여있는 경우 위에서 언급한 rules이 조금 수정되어야 한다. mesh dimension이 이고, k1, k2 매질에서 의 a fraction이 각각 α1, α2 이며, 그리고 그에 상당하는 각각의 전계가 E1, E2 라면 만약 dimension이 인 어떤 mesh가 k1인 매질에 놓여있고 mesh factor를 a 라면 11/27

11.2. Basic principles 그래서 식(5a)는 하나의 mesh가 두 개의 유전체를 공유하는 경우 매질 k1 에서 mesh factor k1a를 사용하여 그리는 것이 가능하고 α2는 유전상 수의 비율 k1/k2에 따라서 증가하거나 감소한다. (5a) (5b) 12/27

11.2. Basic principles k2/k1=2인 유전상수 k1, k2를 갖는 평면구조의 전극 문제는 Fig.11.1(b) 경우와 같고 해를 구하는 절차는 다음과 같다. Fig.11.1(b) Plane geometry-two dielectrics; a=0.5, k1a=0.5 for k1=1, k2a=1.0 for k2=2 동일 전기장 영역에서 AD를 선정하고 등 전위선 E,G,F의 위치를 선정 공통의 접속면 AH를 가로지르는 등 전위선을 그린다. 매질 k1에 있어서 mesh factor k1a를 선정(여기서는 k1a=0.5) 매질 k2에 있어서 mesh factor k2a를 선정(여기서는 k2a=1.0) Fig.11.1(a)와 같이 mesh factor를 이용하여 연속적인 근사값으로 길이 를 그린다. 13/27

11.2. Basic principles Fig11.1(b) 전극 구조의 Capacity는 flux tube에 따라서 3 영역으로 나뉘어서 얻어진다. (a) 유전상수 k1 전체 (b) 유전상수 k2 전체 (c) 유전상수 k1, k2 가 동시에 있는 경우 (a), (b)는 식(2)에 의해서 계산되고 (c)의 경우는 각각의 flux tube를 계산하여 직렬로 연결한 것과 같다. 각각의 Capacity는 식(2)에 의해서 계산된다. 전체의 C는 위의 3가지를 더하면 됨 14/27

11.2. Basic principles 11.2.3 Cylindrical geometry-one dielectric 원통형 구조는 Fig.11.1(c)와 같이 대칭축(oo)을 가지고 있다. Since the flux between the annular surfaces represented by field lines and the voltage between equipotential lines is constant, then Fig.11.1(c) Cylindrical geometry-one dielectric; a=0.5 ( at r=1 ) (6) 15/27

11.2. Basic principles 그래서 a는 r=1일 때 mesh factor 이고, k 는 상수로 간주된다. 식(6)에서 mesh factor는 반경 r 에 비례함을 알 수 있다. Fig.11.1(c)에 있어서 r 의 다양한 값을 ra 로 해서 그리는 것이 편리하다. AD근처의 전기장 분포는 외부전극 반경 OA=ro, 내부 전극반경 OD=ri인 원통 실린더 전극의 그것과 같다. 인접한 등 전위선 반경의 비율 R (e.g. OF/OE)은 다음과 같다. (7) (8) ( ni : 등 전위 공간의 수 ) 16/27

11.2. Basic principles Fig.11.1.(c)의 경우 E, F, G의 등 전위선의 위치를 AD를 따라서 정한다. 다음 과정은 계산에 필요한 mesh의 평균반경 r 에 대한 mesh factor (ra)를 구하고 를 그린다. 크기가 인 반경 r 인 경우 식(6)에서 a는 이 경우 반경 1metre의 mesh factor가 되므로 17/27

11.2. Basic principles 11.2.4 Cylindrical geometry-mixed dielectrics 반경이 r 인 실린더 구조의 유전상수 k1, k2 매질에 있어서 mesh factors는 a 는 unit radius 및 unit dielectric constant의 mesh factor이다. 구하는 과정은 앞의 설명 과정과 유사함 이 경우 식(9)에 의하여 C 값을 구한다. Fig.11.1(d) Cylindrical geometry-two dielectrics; a=0.5, k1=1, k2=2 18/27

11.3. High-voltage design problems 11.3.1 Parallel-plate transmission lines 평행 판 전송라인이 폴리에틸렌 이나 melinex로 절연되어 있고 300kV/cm의 전계가 인가된 경우는 통상 low-inductance conexions 용도로 사용된다. 이와 같은 구조에서는 plate 끝 사이에 plate 연면을 따라서 flashover가 발생하는 것을 방지해야 한다. 공기 중에서 조립되어 있으면 가할 수 있는 최대 stress는 600kV/cm이고 이것은 폴리에틸렌의 2배정도임(전극 구조에 따른 차이는 있음) 연면 flashover를 막기 위하여 긴 연면 거리를 유지해야 하는데 75kV 이상에서는 60cm 이상을 확보 해야 함 연면 거리를 줄이기 위해서는 고체 및 액체 등의 고 절연 재료를 사용 전송라인의 단말에 있어서 전계 분포는 (a)공기, (b)폴리에틸렌, (c)피마자유, 에폭시 수지, 실리콘 고무, (d)물 ,등으로 Fig.11.3처럼 되어 있다. 19/27

11.3. High-voltage design problems (c) (d) Fig.11.3 High-voltage transmission lines. Effect of ratio of dielectric constants. Dielectric constant of surrounding medium, kM. Dielectric constant of insulation sheets between electrodes, kI. 20/27

11.3. High-voltage design problems 전극 구조와 절연 매질의 유전상수는 다음 사항을 고려해야 한다. (a) 주 절연에 미치는 stress 증가를 피해야 한다. (b) 절연을 둘러싼 매질에 있어서의 stress를 최소화 한다. (c) uniformly grade the surface stress along the interface between the two dielectrics ( 두 유전체가 접촉되어있는 경우 접촉면에 가해지는 stress를 균일하게 해야 한다.) (d) 전계 집중 지역에는 공기를 제거한다. 이러한 요구 사항을 만족하기 위해서는 높은 유전상수의 물질이어야 하는데 Fig.11.3의 경우는 물이다. 물의 유전 상수는 아주 높아서 작은 만곡 부분이 있는 전극의 끝 부분에서도 만족할 만하다. - Castor oil은 100kV이상의 크고 복잡한 구조에 적합하고, - 에폭시 레진이나 실리콘 러버도 100kV d.c에 적용된다. - 고체절연 스위치 전극의 경우 매우 높은 polythene stress(1MV/cm) 에서 동작하므로 공기 중에 위치하도록 한다. 21/27

11.3. High-voltage design problems 11.3.2 Multiple transmission lines At voltage approaching 500kV, the conditions at the edge of the transmission lines are improved if intermediate lines are used and held at the potential which grades the stress uniformly in each section of insulation. 22/27

11.3. High-voltage design problems 11.3.2 Multiple transmission lines The field distribution for a four-section transmission line is given in Fig.11.4 for two voltage distributions. This problem, in plan geometry with two dielectrics, is considerably more complex and time-consuming than those considered above, because the continuity of the equipotential lines in (a) and the field lines in (b) has to be maintained. This introduces an additional boundary condition for each adjacent pair of electrodes. 23/27

11.3. High-voltage design problems 11.3.3 Coaxial cable transmissions The problems associated with terminating coaxial cables are similar to those described above for the edges of transmission lines, and therefore the solutions adopted are also similar in principle. Provided the assembly is symmetrical about the cable axis, the field configurations would be similar to those is Fig.11.1(c)(polythene cable with polythene diameter increased at terminations) and Fig 11.1(d)(polythene cable immersed in castor oil). The grading of the surface stress along AH is improved by using a surrounding medium with a high value of k (compare (c) and (d)). Also the reduction of stress at A compared with plane geometry cases the terminating problems( compare (a) with (c) and (b) with (d)). 24/27

11.3. High-voltage design problems A 100-kV cable termination, using a polythene buffer round a polythene cable is shown in Fig.11.5. This arrangement is used where a low inductance is not required. 25/27

11.3. High-voltage design problems 11.3.4 Low-inductance collector plates In low-inductance high-current pulsed experiments, it is necessary to connect large number of coaxial cables by means of a collector plate to a transmission line which in turn feeds a low-inductance load, e.g. a single turn coil of the type used in thermonuclear research. Such a collector plate, for terminating 120 cables in three layers in a 100kV, 1.5MVA application 26/27

11.3. High-voltage design problems 11.3.4 Low-inductance collector plates This problem has neither plane or cylindrical symmetry, and therefore can not be solved by field sketching, unless some simplifying assumptions are made. In this case, cylindrical symmetry is assumed between adjacent cables (whose axes are in a plane at 450 to that of Fig.11.6(a)) and between the lower cable and transmission line for a distance equal to the cable polythene radius, but below this the plot is based on plane geometry. 27/27

1.4. Field Sketching 전계에 의한 Stress분포는 매우 복잡하지만 전계의 free-hand sketchs에 의해서 알 수 있다. 전계 분포를 만들기 위해서는 정전기 이론이 기반이 된다. 또 절연체를 도체로 대체 되었다고 해석하는 편이 더 쉽다. 실선은 하전입자에 의한 경로이고 전류의 흐름선을 표시한다. 전류 흐름선의 밀도는 전류밀도에 비례한다. 전류 흐름의 경로를 그리기 위해서는 두 가지 법칙을 고려한다. - 전류 흐름선은 전극에서 직각으로 나가거나 들어 온다 - 전극에서 나가게 되는 경우 전류 밀도 j 가 감소함에 따라서 전류 흐름선은 퍼져 나가게 된다. 따라서 전위경도 도 퍼지게됨 ( E & j ). 극을 떠나서 전류 흐름선이 퍼지게 되면서 거리가 멀어지면 매질저항이 커지고 그 결과 전압강하도 커진다. 1/3

1.4. Field Sketching 등 전위선은 일점 쇄선으로 표시되고 다음의 규칙을 따른다. - 등 전위선은 전류 흐름선과 직각이다.(등 전위 선을 따라서 전압강하가 없으므로 등 전위선에는 전류성분은 없다.) - 등 전위선을 ΔV로 인접한 등 전위선을 그리면 등 전위선의 밀도는 전류 밀도에 비례한다.(왜냐하면 전위경도는 전류밀도에 비례한다.) 다음으로 두 개의 절연체가 접촉되어 있는 경우 등전위선과 전류 흐름선이 굴절되는 규칙에 대한 내용이다. - 그림 1.6에서 두 매질의 유전상수가 k1, k2이고 저항이 ρ1, ρ2 이면 - This results in equipotentials being closer, and therefore the stress being greater, in the medium of smaller k (or greater ρ). It is worth nothing that one naturally expects higher voltage drops in media of higher resistivity 2/3

1.4. Field Sketching A two-dimensional system and let the current flowing in the region bounded by the current flow lines be ΔI, per unit depth at right angles to the plane of the paper Let points A and B Δ apart. Then the current density to the left of the interface is ΔI/(Δ cosα1) and its component along the interface is (ΔI/Δ ) tanα1. The current flowering along the interface through a thin layer of area ΔA is (ΔI ΔA/Δ ) tanα1, and the resistance of that layer between A and B is ρ1Δ /ΔA Hence the voltage between A and B is ρ1ΔI tanα1, and this must equal the voltage calculated to the right of the interface, viz. ρ2ΔItanα2. Hence tanα1/ tanα2 = ρ2/ρ1=k1/k2 k1 k2 ρ1 ρ2 equipotentials α2 A α1 α2 B current flow lines α1 Fig.1.6 Refraction of equipotentials and current flow lines for k2 < k1 3/3