III. Problems of Second Chapter (Fluid Statics)

3.1 Explain the concept of the normal and shear force and stress by using the figures. 수직항력이란. 책상 위에 두터운 책을 놓으면, 그 책에는 중력이 작용한다. 중력 외에 다른 힘이 작용하지 않는다고 하면 책은 책상을 뚫고 중력이 작용하는 방향인 지구 중심으로 내려가야 한다. 하지만 실생활에서 자주 보는 것처럼 그런 일은 일어나지 않는다. 책상이 중력과 똑같은 크기로 책을 떠받치고 있기 때문이다. 지구상에 존재하는 모든 물체는 기본적으로 지표면에 의한 수직항력을 받고 있어서 지구 중심으로 끌려들어가지 않는다.

이렇게 물체가 접촉하고 있는 면이 물체를 수직 윗방향으로 떠받치는 힘을 수직항력 이라고 한다 이렇게 물체가 접촉하고 있는 면이 물체를 수직 윗방향으로 떠받치는 힘을 수직항력 이라고 한다. 수직항력은 작용·반작용의 관계가 아니다. 중력과 합쳐져서 전체 힘의 크기를 0으로 만드는 힘이다. 경사면에 놓여진 물체의 경우 중력의 방향은 경사면의 기울기와 관계없이 지구 중심방향을 향하지만 수직항력의 경우는 면과 수직인 방향으로 작용한다. 따라서 중력을 상쇄하는 것은 중력과 일직선 상에 있는 방향의 성분이고 중력과 수직한 방향의 성분은 물체에 외력으로 작용하게 된다.

전단력 전단력이란 부재의 횡방향으로 작용하여 Bending moment 를 발생시키고 부재를 파단시키는 힘이다 전단력 전단력이란 부재의 횡방향으로 작용하여 Bending moment 를 발생시키고 부재를 파단시키는 힘이다. 이러한 외력에 대한 저항벽체를 전단벽이라 칭한다. Lateral share : 전단력 Resistance : 응력

응력 하나의 물체가 있습니다. P라는 힘으로 물체를 잡아 당깁니다. 물체 안에서는 늘어나지 않으려는 힘이 생깁니다 응력 하나의 물체가 있습니다. P라는 힘으로 물체를 잡아 당깁니다. 물체 안에서는 늘어나지 않으려는 힘이 생깁니다. 이 물체 안에서 작용하는 힘을 응력이라 합니다. 다른 말로는 변형력이라고도 합니다.더 자세히 하자면 응력에는 하중의 종류에 따라 전단응력·인장응력(장력)·압축능력으로 나눌 수 있습니다. 단위로는 kg/㎠를 씁니다. 일반적으로 물체내의 동일점에서의 응력이라도 면의 방향에 따라 그 종류나 세기가 다르게 나타납니다.

[예1] 마찰이 있는 바닥에 놓여 있는 물체 (1) 외력(F)에 의한 운동을 방해하는 힘 : 마찰력(f) ⇒ 마찰력이 없으면 물체는 외력에 의해 오른쪽으로 가속된다. (2) 중력(W)에 의한 운동을 방해하는 힘 : 수직항력(N) ⇒ 수직항력이 없으면 중력에 의해 물체는 아래로 가속된다.

[예2] 벽에 물체를 대고 미는 경우 (1) 외력(F)에 의한 운동을 방해하는 힘 : 수직항력(N) ⇒ 수직항력이 없으면 물체는 외력에 의해 오른쪽으로 가속된다. (2) 중력(W)에 의한 운동을 방해하는 힘 : 마찰력(f) ⇒ 마찰력이 없으면 중력에 의해 물체는 아래로 가속된다.

위의 2가지 [예]를 종합해보면 수직항력은 중력에 대해 저항하는 힘이 아니란 것은 쉽게 알 수 있다 위의 2가지 [예]를 종합해보면 수직항력은 중력에 대해 저항하는 힘이 아니란 것은 쉽게 알 수 있다. * 어떠한 힘에 의해서 물체가 움직이려고 하거나 움직이는 중일 때 이 운동을 방해하려고 하는 힘으로서 두 물체가 접촉한 면에 수직한 방향으로 작용한다고 해서 수직항력(수직으로 저항하는 힘)이라 부순다. * 이에 반해 접촉한 면과 평행한 방향으로 작용하면서 물체의 운동을 방해하는 힘을 마찰력이라 부른다.

다음과 같은 경우에도 수직항력은 작용한다. 1. 그림과 같이 두 물체가 함께 붙어서 외력에 의해 움직이고 있을 때(등속운동 또는 가속운동 상관없다.) 물체 A에 작용하는 힘(F)의 일부(F')가 물체 B를 미는 데 사용된다. 이 때 물체 B는 물체 A의 움직임을 방해하기 위해 F'와 같은 크기의 힘으로 물체 A를 밀게 된다. 이 힘도 수직항력이라 한다. 여기서 F'와 수직항력은 작용·반작용의 관계가 된다.

2. 천장에 물체를 대고 힘을 가하면 천장은 물체가 위로 올라가지 못하도록 저항을 하면서 힘을 아래로 가하게 된다 2. 천장에 물체를 대고 힘을 가하면 천장은 물체가 위로 올라가지 못하도록 저항을 하면서 힘을 아래로 가하게 된다. 이 힘도 수직항력에 해당한다.

-전단력이란? 물체의 어떤 단면에 평행으로 서로 반대방향인 한 쌍의 힘을 작용시키면 물체가 그 면을 따라 미끄러져서 절단되는 것을 전단 또는 층 밀리기라고 한다. 이때 받는 작용을 전단작용이라 하고, 이와 같은 작용이 미치는 힘을 전단력이라고 한다. 전단력에 의해서 물체 내부의 단면에 생기는 내력(內力)을 전단응력(剪斷應力)이라고 하며, 단위면적당의 힘으로 표시된다. 이 전단되는 면을 따라서 미소한 직사각형을 생각하면 전단력에 의해 이 직사각형은 평행사변형으로 변형되며, 이것을 전단변형이라고 한다. 이때 직사각형으로부터의 기울기를 전단변형률이라 하고, 전단변형력과 전단변형과의 비(比)를 전단탄성계수(剪斷彈性係數)라고 한다. 또, 물체가 전단응력에 의해 미끄러져서 절단되어 파괴되는 것을 전단파괴라고 한다.

전단작용은 봉(棒)·판(板) 등이 수평하중을 받을 때, 또는 축이 비틀릴 때 나타난다 전단작용은 봉(棒)·판(板) 등이 수평하중을 받을 때, 또는 축이 비틀릴 때 나타난다. 판에 구멍을 뚫거나 절단하는 전단가공은 이 전단작용을 응용한 것이다. 부재의 횡방향으로 작용하여 Bending moment를 발생시키고 부재를 파단시키는 힘이다. 이러한 외력에 대한 저항벽체를 전단벽이라 칭한다.

3.2 Derive the equation for the pressure () from the two concept of the weight and the Euler Equation including the related figures. (그림 2.2) 정지유체내의 요소에 작용하는 힘은 표면력(surface force)과 체적력(body force)으로 구성된다(그림 2.2). 체적력으로서 중력만이 작용한다고 가정할 때, 을 y축으로 택하면 체적력은 y방향으로 가 작용한다.

중심 (x, y, z)에서의 압력을 p라 할 때 y축에 수직하고 원점에 가장 가까운 면에 작용하는 힘은 근사적으로 이고 반대 면에 작용하는 힘은 이다. 여기서 δy/2는 중심으로부터 y축에 수직하는 면까지의 거리이다. y방향으로 작용하는 힘을 합하면 다음과 같다. x와 z방향에 대해서는, 이 방향의 체적력성분이 존재하지 않으므로

그러므로 그림2. 2의 요소에 작용하는 힘 벡터 δF는 다음과 같다. 로 양변을 나누고, 요소의 크기를 0으로 접근시키면 (2 그러므로 그림2.2의 요소에 작용하는 힘 벡터 δF는 다음과 같다. 로 양변을 나누고, 요소의 크기를 0으로 접근시키면 (2.2.1) 와 같이 표시된다. 이 값은 한 점에서 단위부피당 작용하는 결과력을 의미하며, 정지유체 중에서는 그 크기가 0이 되어야 한다. 괄호 안의 양은 구배(gradient)로서 ∇로 표기하고 del이라고 부른다. 8.2절로부터 다음 식을 얻는다 (2.2.2)

그리고 p의 음기울기 -∇p는 압력에 의해 단위체적에 작용하는 표면력의 벡터장 f이다. (2. 2 그리고 p의 음기울기 -∇p는 압력에 의해 단위체적에 작용하는 표면력의 벡터장 f이다. (2.2.3) 결국 압력변화에 관한정역학법칙은다음과같이된다. (2.2.4) 운동하고 있는 비점성유체나, 혹은 유체 내 모든 점에서 전단응력이 0이 되도록 흐르는 유체에 Newton의 운동 제 2법칙은 다음과 같은 형으로 표시된다. (2.2.5) 여기서 a는 유체요소의 가속도이다. (f - jr)는 중력이 체적력만으로써 작용할 때 유체에 작용하는 결과력이다. 식 (2.2.5)는 2.9절에서 상대평형을 공부하는 데 그리고 3장과 8장에서는 Euler방정식을 유도하는 데 사용된다.

식(2. 2. 4)를 성분별로 나누어 표시하면 아래의 식이 된다. (2. 2 식(2.2.4)를 성분별로 나누어 표시하면 아래의 식이 된다. (2.2.6) 수평방향의 압력변화를 나타내는 편미분계수 는 일종의 Pascal의 원리를 나타낸 것이다. 즉, 연속되어 있는 정지유체 내에서 같은 높이에 있는 두 점에서의 압력은 같다는 것을 말해준다. p는 y만의 함수이므로 (2.2.7) 이다. 이 간단한 미분방정식은 압축성, 비압축성유체 모두에 적용되는 것으로, 유체내의 압력변화는 비중량과 높이의 변화에 관계됨을 보여주고 있다.

균질, 비압축성유체에서는 r가 상수이므로 식 (2. 2. 7)을 적분하고 적분상수를 c라 하면 아래의 식과 같이 된다 균질, 비압축성유체에서는 r가 상수이므로 식 (2.2.7)을 적분하고 적분상수를 c라 하면 아래의 식과 같이 된다. 압압력변화에 관한 靜水力學的(정수역학적) 法則(법칙)은 흔히 다음 형태로 쓰고 있다.. (2.2.8) 여기서 는 자유표면으로부터 수직하향 깊이 이고 p는 자유표면에서의 압력보다 증가된 압력의 크기를 나타낸다. 이 압력은 정수압력(hydrostatic pressure)이라 말한다. 식 (2.2.8)은 윗면이 자유표면과 일치하고 높이가 h인 액체기둥을 자유물체로 택하여 평형방정식을 적용함으로써 유도할 수도 있다.

3.3 Prove that the all the pressure acting on the one point in the water are all the same for all the direction. 수직 표면력과 중력만이 작용하므로. x와 y 방향의 운동 방정식은 각각 다음과 같이 표시된다. 그림 2.1 쐐기 모양 입자의 자유 물체선도.

이 경우 전단력은 작용하지 않고, 다만 수직표면력과 중력만이 작용하므로 이 경우 전단력은 작용하지 않고, 다만 수직표면력과 중력만이 작용하므로. x와 y 방향의 운동 방정식은 각각 다음과 같이 표시된다. 여기서, px, py, ps 는 각각 세 면에 작용하는 평균압력이고, y는 유체의 비중량, p는 밀도, ax, ay 는 가속도의 x, y 성분이다 를 그대로 유지하면서 경사면을 점 (x, y)에 접근 시키는 방법으로 자유물체의 크기를 0으로 축소시켜 극한을 취하고 기하학적 관계인 를 고려하면 방정식은 다음과 같이 간략화 된다.

두 번째 식의 마지막 항은 高位(고위)의 無限小(무한소)이므로 무시할 수 있다 두 번째 식의 마지막 항은 高位(고위)의 無限小(무한소)이므로 무시할 수 있다. δy와δx로 나눈 다음 두 방정식을 조합하면 다음 관계를 얻는다. (2.1.1) 를 임의의 각으로 택하였으므로 위의 식은 정지유체 내에서 한 점에 작용하는 압력은 모든 방향에서 같음을 증명해 주고 있다. 이 증명은 2차원인 경우를 증명한 것이지만, 3면의 좌표평면과 1면의 임의의 경사면을 갖는 작은 삼각뿔의 유체입자에 평형방정식을 적용하면 3차원에 대해서도 똑같이 증명할 수 있다.

유체가 움직여서 한 층이 인접층에 대하여 상대운동을 한다면 전단응력이 발생하계 되어 일반적으로 한 점에 작용하는 수직압력이 모든 방향에서 같아지지 않게 된다. 이 경우 한 점에 작용하는 압력은 그 점에 작용하는 임의의 직교 삼축 압축응력의 평균으로 정의된다. 점성계수가 0인 가상유체, 즉 마찰이 없는 유채에서는 유채가 어떤 운동을 하더라도 전단응력이 발생하지 않으므로 한 점에서의 압력은 모든 방향에서 같다.

3.4 Explain the 1st and 2nd Moment in the appendix of the textbook with the resonable derivation of the theory and related example problems. 물체가 정지상태에 있거나, 일정한 속도를 가지는 상대적 평형 상태에 있기 위해서는 뉴톤의 제2법칙에 있어서 가속도는 0이 되어야 한다. 따라서, 힘의 합력과 모멘트의 합은 다음과 같이 0가 되어야 한다 (즉, 힘과 모멘트가 평형이 되어야 한다.).

(1) (일차 모멘트). 어떤 축에 대한 면적, 부피, 무게, 질량, 힘 등의 모멘트를 의미한다 (1) (일차 모멘트). 어떤 축에 대한 면적, 부피, 무게, 질량, 힘 등의 모멘트를 의미한다. - (도심) 모멘트에 의해 구해진 평형상태의 중심을 도심이라 한다. 단면적 A의 y축에 대한 모멘트는 다음과 같이 표현된다. (A.1) (A.2)

- volume center - mass center: center of gravity of a body Figure 2 - volume center - mass center: center of gravity of a body Figure 2..10 Notation for first and second moments 그림 2.10 힘의 작용선을 계산하기 위한 기호표시

(2) 2차 모멘트 (A.7) 또는 그러므로 or (A.8)

Figure A.2 Moments of inertia of simple areas about centroidal axes.

For rectangle (Figure A.2): For triangle:

3. 5 Where is the location of pressure for the next inclined surface 3.5 Where is the location of pressure for the next inclined surface. Figure 2.13 Pressure prism. 그림 2.13에서 생각하고자 하는 한 傾斜平面(경사평면)을 로 표시하여 놓았다. 이평면은 수평과 〫의 각을 이룬다고 가정한다. 경사편면과 자유표면의 交線(교선)을 X축으로 하고 Y축은 그림과 같이, X축 상의 임의점을 원점 0으로 하여 X축에 수직하게 경사면상에 택하면 생각하고자 하는 경사면은 XY평면상에 포함된다. 액체에 의해 한쪽 면에 작용하는 합력의 크기, 방향, 작용선들이 이 좌표계에 관해서 얻어질 수 있다.

두께가 이고 긴 변을 수평으로 하는 띠모양의 面積素(면적소) 에 작용하는 힘을 라 하면 面積素(면적소)에 작용하는 이러한 모든 力素(역소)는 나란하므로, 전체 면적에 대하여 적분하면 경사면의 한쪽 면에 작용하는 합력의 크기 는 그림 2.13의 관계들을 사용하여 다음과 같이 표현할 수 있다.

그림 2. 13로부터 , 경사평면 圖心(도심)에서 압력 이다 그림 2.13로부터 , 경사평면 圖心(도심)에서 압력 이다. 말로 표현하면, 액체 속에 잠겨 있는 평면 한쪽 면에 작용하는 합력의 크기는 면적에다 圖心에 작용하는 압력을 곱한 것과 같다. 이때 자유표면이 반드시 존재해야 하는 것은 아니다. 평면에 작용하는 힘을 구하려면 圖心에서의 압력을 결정하는 모든 방법이 강구되어져야 한다. 가 양이면 힘의 방향은 경사면을 향하는 쪽이다. 面積素에 작용하는 모든 力素(역소)의 방향이 경사면에 수직하므로 합력작용선도 역시 면에 수직하다. 정지유체 속에 전체면적이 잠기도록 하면서 圖心을 고정시키고, 주위로 회전하더라도 합력의 크기는 변하지 않는다.

3.6 Explain the horizontal and vertical component of the forces acting on the curved surface as shown below. 곡면에 작용하는 전압력의 수평성분은 곡면의 연직투영 면적에 작용하는 전압력과 같다. 연직투영면과 수평성분의 방향은 서로 수직한다. 그림 2.18의 곡면은 임의의 3차원 곡면을 나타내고 있다. 는 미소 면적소이고 에 수직한 수직선은 음의 x축과 의 각을 이룬다. 의 한쪽 면에 작용하는 전압력의 x방향성분은 이다.

힘의 x성분을 전체 면적에 걸쳐 합하면 (2. 6. 1) 여기서 는 x축과 수직한 평면에 대한의 투영면적과 같다 힘의 x성분을 전체 면적에 걸쳐 합하면 (2.6.1) 여기서 는 x축과 수직한 평면에 대한의 투영면적과 같다. 그러므로 힘의 크기는 이고, 이 힘의 방향은 x축 방향이다. 각각의 面素를 x축에 수직한 평면에 투영시켜 합한 면적은 곡면 전체를 x축에 수직한 연직면에 투영시킨 면적과 같다. 따라서 연직면에 사용한 곡면의 투영면적에 작용하는 전압력은 곡면에 작용하는 전압력의 투사영면에 수직한 방향의 수평성분과 같다. 곡면에 작용하는 전압력의 x축에 수직한 방향의 수평성분(y 방향)을 구하려면, x축과 평행한(y축에 수직한)연직면에 그 곡면을 사용한 투영면적에 작용하는 전압력을 계산하면 된다.

閉物體(폐물체)(closed body)에 작용하는 전압력의 수평성분을 계산할 때, 어느 한 面素(면소)에 대하여, 물체 반대쪽 面素에 投影面積(투영면적)은 그림 2.19에 도시한 바와 같이 크기가 같고 부호가 반대이므로, 한 연직면에 사용한 그 곡면의 투영면적은 항상 0이 된다. x축에 평행한 중심축을 갖고 閉物體와 B와 C에서 교차하는 단면적이 인 작은 원통을 생각하라. 만일 원통에 의하여 잘려지는 그 물체의 표면적을 각각 B점에 대하여 C점에 대하여 라고 하면, 는 음의 값을 가지므로 따라서 원통 양단에서 같은 압력을 갖고

3.7 Explain the magnitude and the location of buoyant force for the problem as below. 정지유체(static fluid)속에 잠겨 있거나 떠 있는 물체의 표면에 작용하는 표면력의 합력을 부력이라고 한다. 부력은 항상 연직상방으로 작용한다. 잠겨 있는 물체 혹은 浮揚體(부양체)에서 잠겨 있는 부분의 연직면에 射影(사영)한 투영면적의 합은 항상 0이므로 전표면력의 수평성분은 존재하지 않는다..

그림 2.24 떠 있는 물체와 잠긴 물체에서의 부력 잠겨 있는 물체에 작용하는 부력은 물체의 下半面(하반면)에 작용하는 전압력의 연직성분과 上半面(상반면)에 작용하는 전압력의 연직성분과의 차이다. 그림2.24에서 下半面에 작용하는 上向鉛直力(상향연직력)은 곡면 ABC위에 연직으로 놓이는 실제 또는 가상 액체의 무게와 같다. 다시 말하면, ABCEFA안에 들어 있는 액체의 무게이다. 上半面에 작용하는 下向鉛直力(하향연직력)은 ABCDEFA부분의 액체 무게와 같다. 이 두 힘의 차를 부력이라 말하고, 이 힘은 잠긴 물체를 鉛直上方(연직상방)으로 밀어 올린다. 그리고 이 힘의 크기는 잠긴 물체에 의하여 배제된 유체의 부피인 ABCD의 무게와 같다.

이 관계를 식으로 표시하면 (2. 7. 1) 여기서 는 부력, 는 유체의 배제체적, 는 유체의 비중량이다 이 관계를 식으로 표시하면 (2.7.1) 여기서 는 부력, 는 유체의 배제체적, 는 유체의 비중량이다. 부양채의 경우도를 배제된 액체의 체적으로 하면 식(2.7.1)을 그대로 적용할 수 있다. 그림 2.24는 이 사실을 명백히 보여주고 있다. 그림 2.25 體積素(체적소)에 작용하는 힘의 鉛直成分(연직성분)

그림 2. 25에서 단면적 인 연직기둥 모양을 하고 있는 체적素에 작용하는 연직력은 여기서 는 기둥의 체적이다 그림 2.25에서 단면적 인 연직기둥 모양을 하고 있는 체적素에 작용하는 연직력은 여기서 는 기둥의 체적이다. 가 전 체적을 통하여 일정할 때 전 체적에 걸쳐 적분하면 부력의 작용선을 구하기 위하여 임의 축 0에 관한 모멘트의 합을 부력의 이 축에 관한 모멘트와 같게 놓는다. 즉,

여기서 는 축 0로부터 작용선까지의 거리이다. 이 식은 역시 배제체적의 體心(체심)까지의 거리를 의미한다 여기서 는 축 0로부터 작용선까지의 거리이다. 이 식은 역시 배제체적의 體心(체심)까지의 거리를 의미한다. 그러므로 부력의 작용선은 물체에 의해 배제된 체적의 체심을 통과한다. 이는 잡긴 물체나 떠 있는 부양체 모두에 적용된다. 배제된 유체체적의 체심을 浮心(부심)(cente, of buoyance)이라 한다. 잠겨 있거나 떠 있는 물체에 관한 靜力學的(정역학적) 문제를 푸는 경우, 일반적으로 그 대상물체를 자유물체로 취급하고 자유물체로 취급하고 자유 물체도를 그린다. 유체에 의한 작용력을 부력으로 대치한다. 이때 다른 표면력과 함께 물체의 무게(무게 중심에 작용하는 힘으로)를 반드시 고려하고 圖示(도시)하여야 한다

3.8 A barge displacing 1 Mkg has the horizontal cross section at the waterline shown below. Its center of buoyancy is 2.0 m below the water surface, and its center of gravity is 0.5 m below the water surface. Determine its metacentric height for rolling (about y-y axis) and for pitching (about x-x axis).

롤링의 경우 : 피칭의 경우 :

3.9 A closed box with horizontal base 6 by 6 units and a height of 2 units is half-filled with liquid as shown below. It is given a constant linear acceleration ax = g/2, ay = -g/4. Develop an equation for variation of pressure along its base.

자유표면의 기울기는 따라서 자유표면은 그림과 같이 위치한다. 0을 원점으로 택하면 식(2. 9 자유표면의 기울기는 따라서 자유표면은 그림과 같이 위치한다. 0을 원점으로 택하면 식(2.9.2)는 p = 0 for y = 0, x = 4.5; so p0 = 2.25γ. Then, for y = 0, along the bottom 가 된다. 에서 이므로 , 따라서 으로 하여 밑면의 방정식을 구하면