실험계획법 및 최적설계 Lab 김석민 smkim@cau.ac.kr

다수의 인자 중 특성치에 영향을 주는 원인을 찾아내는 인자선별의 실험으로 많이 사용된다. 부분 요인 배치법 다수의 인자 중 특성치에 영향을 주는 원인을 찾아내는 인자선별의 실험으로 많이 사용된다.

부분배치 실험 예제 지렛대의 원리를 이용하여 돌을 멀리 날려 보내는 투석기(Catapult)를 운용하는 기술자인 K씨는 돌의 비행거리에 영향을 많이 주는 인자를 찾아내고 싶다. 투석기의 다양한 조절 가능한 인자 중 A, B, C, D, E의 5가지 인자를 선별하였다. 이상의 5개 인자들은 교호작용이 그다지 심하지 않을 것으로 생각된다. 따라서 단지 각 인자의 주효과 만을 추정하여 어떤 인자의 효과가 큰가 하는 것만을 밝혀 내고자 한다. A B C E D

부분배치 실험 예제 미니탭을 이용할 경우 일반적인 완전요인배치와 동일한 방식이나, “Design”에서 어떤 부분배치법을 이용할 것인지를 지정해 주어야 한다. Stat > DOE > Factorial > Create Factorial Design…

부분배치 실험 예제 ¼ 부분배치를 이용할 경우 세션창에서 다음과 같은 결과를 확인 할 수 있다. Worksheet 창에 실험을 통한 결과를 입력한다.

부분배치 실험 예제 실험 후의 분석은 완전요인 배치법과 동일하다. Stat > DOE > Factorial > Analyze Factorial Design… 실험 후의 분석은 완전요인 배치법과 동일하다.

부분배치 실험 예제 분석결과로부터 무엇을 알 수 있는가?

중요 인자간의 최적방정식(2차 이상)을 도출한다. 이것은 2N 요인 배치법에서 곧바로 연결된다. 반응표면분석 (Response Surface Method) 중요 인자간의 최적방정식(2차 이상)을 도출한다. 이것은 2N 요인 배치법에서 곧바로 연결된다.

반응표면분석 개요 RSM은 다음의 경우에 적용 : ① 반응치를 최적화 시키는 인자 조건을 찾기 위해 요인배치법 (일부 실시법, PB법) : Screening 실험, 선형관계식 도출 반응표면분석(RSM) : 곡면의 반응표면이 의심스러울 때 선택 방법 : 요인배치법을 통해 선별된 인자(2 ~3개)를 가지고 축점(Axial pt) 및 중심점(Center pt)을 추가하여 반응표면분석(RSM)으로 연결 RSM은 다음의 경우에 적용 : ① 반응치를 최적화 시키는 인자 조건을 찾기 위해 ② 운영 또는 공정 규격을 만족시키는 인자 조건을 찾기 위해 ③ 현재보다 나은 품질을 달성하는 새로운 운영조건을 확인하기 위해 ④ 계량인자와 반응치의 관계를 모델링하기 위해

(Second-order Design) 반응표면분석 실험의 단계 반응 표면 실험은 최적영역 도출을 위해 가장 효율적인 개선 경로를 설정해가는 연속적인 실험의 방법으로 경로의 선택은 실험자의 경험적 관찰, 공정 지식 및 실질적 사고에 주로 근거한다. 연속적 공정 내에서 따를 수 있는 실험의 단계들은 첫번째 1차 예측 실험 (First-order Design) 최고경사경로 (Path of Steepest Ascent) 두번쨰 1차 예측 실험 (First-order Design) 2차 예측 실험 (Second-order Design) 용도 / 특징 최적을 포함하고 있다고 여겨지는 지역에서의 실험 주로 2수준 실험에 적용 최적 반응의 방향을 찾기 위한 효과적 방법 반응의 최대, 최소값 검출까지의 연속적인 테스트 실행 방법 최적 반응의 영역 검출 또는 그 영역이 현저히 좁혀질 때까지의 작은 규모 실험 주로 2수준 실험에 적용 새 영역에서 “Path of Steepest Ascent” 실험 반복 고위 다항식을 사용한 정교한 실험으로 반응표면의 모양을 평가할 수 있게 실험 규모 확대 수학적 Model 형태로 결과를 도출

반응표면분석 실험의 단계 12 실험계획법 1차 예측 방정식 결정 곡률이 No 존재하는가? Yes 2차 예측실험계획 실험실시 최고 경사 경로 결정 최적값 결정 경사 경로를 따라 실험 Run 실시 실험의 목적 달성 여부 결정 반응치가 개선 되었는가? Yes No 실험의 목표가 달성 되었는가? No Yes 다음 단계 결정 끝 12

- 반응 값들을 쉽게 파악하기 위한 fitted model 반응표면분석 모형의 구조 - 변수가 두 개일 경우의 정규형 - 반응 값들을 쉽게 파악하기 위한 fitted model 1. First-order model 2. Second-order model

중심합성계획법 (Central Composite Design) 2인자 디자인의 시각화 Cube portion -1, +1로 coded 실험점 Axial or Star Portion (-, 0), (+, 0) (0, -), (0, +) Center point를 둘레로 Cube, Axial Portion 중심점 : (0, 0) ※ 중심합성계획은 요인배치 실험에서 축점과 중심점을 추가하는 축차 과정을 통해 자동적으로 유도된다.

중심점 (Center point) / 축점 (Axial point) / 인자 (Factorial point) 중심합성계획법의 분해 중심점 (Center point) / 축점 (Axial point) / 인자 (Factorial point)  Axial point : 흥미영역에서 최적의 반응 값을 찾기 위해 2차 회귀분석을 이용할 때 사용된다.  Center point : 실험에서 많은 영향을 줄 것이라 생각하는 흥미영역에 추가하여 실험의 정도를 높임  Factorial point : 반응 값을 얻기 위한 인자들의 point

중심합성계획법의 분해 Factorial point Axial point Center point 공간 적용범위가 우수 인자의 수 : 3 기본 Point 수 : 20 Factorial point Axial point Center point Cube Point : 8 Axial Point : 6 Center Point : 6 Minitab은 default로 20개의 point를 지정 공간 적용범위가 우수 직교 및 회전 가능 크기와 비용의 좋은 균형 Minitab에서 적용 가능

중심합성계획법의 예제 완전 요인 배치 실험(First-order)이 두 요인과 5개의 중심점, 전체 9 실험 Running, 으로 실험이 되었다. 관리 가능한 요인이 두개인 공정을 다음과 같이 고려하고 이를 반응 표면 실험의 단계별로 진행해본다. X1: Reflow 시간, X2: Reflow 온도 최대화하려는 반응 (Response)은 SMT 수율로 적어도 90%의 달성을 목표로 한다. 현재 상태는 다음과 같다: Reflow 시간 @ 35 분 Reflow 온도 @ 155 도 SMT 수율 @ 약 40%

1번째 1차 예측실험 1차 예측 방정식 결정 160 40.0 41.5 40.3 40.5 40.7 40.2 40.6 Reflow 온도 150 39.3 40.9 Reflow 시간 30 40 다섯개의 중심점 (center points)을 갖는 2x2 완전 배치 설계

1번째 1차 예측실험 Stat > DOE > Factorial > Create Factorial Design…

1번째 1차 예측실험 Stat > DOE > Factorial > Analyze Factorial Design… 체크 해제!

1차 예측실험의 적합성 결정 및 모델 방정식 Curvature가 유의하지 않음. 따라서 최고 경사 경로를 결정. [회귀 Model 방적식] Y = 40.444 + 0.325*Reflow 온도 + 0.775*Reflow 시간 (교호작용 효과는 유의하지 않기 때문에 포함하지 않음)

최고 경사로(Path of Steepest Ascent) 결정 Stat > DOE > Factorial > Contour Plot… Yield가 실험공간의 오른쪽 위 방향으로 증가하고 있다. Yield가 증가하는 방향을 지시하고 Contour 선에 직각인 Vector가 “Path of Ascent” 이다 개선을 위한 방향 (Direction for Improvement) Select response Select factors 18

최고 경사로(Path of Steepest Ascent) 결정 경사 Step 크기 및 추가 실험 결정 시간이 가장 큰 계수를 갖고 있으므로 기본 단계 크기 (Base Step Size) 로 정해진다. 이 경우에 이 단계는 기점 (Origin) 에서 면까지의 거리 (5 분)로 정해진다. 온도를 위한 단계 크기는 5(시간계수/온도계수) = 5(0.325/0.775) = 2.01 처럼 비례적으로 정해진다. 다음의 조합들이 실험조건으로 시행된다 (이러한 실행들을 얼마까지 하겠는가, 언제 멈출 것인가?) Variable Coeff Actual Lo Actual Hi Reflow 온도 0.325 150 160 Reflow 시간 0.775 30 40 Reflow 시간 35 40 45 50 . 85 90 95 Reflow 온도 155.0 157.1 159.2 161.3 . 176.0 178.1 180.2 Yield 40.7 41.0 41.9 43.1 . 80.3 79.2 78.8 Max Yield가 계속 감소하는지 확인 실험한다 반응치(Yield)가 최고점에 도달하다 감소될 때 까지 실험을 연속적으로 진행한다. 그리고 최고점을 다음 실험 Design을 위한 중심점으로 사용한다 19

2번째 1차 예측실험 두번째 1차 예측 실험 24 두번째 1차 예측 실험 Data 170 80 180 90 Reflow 시간 79.7 최고점의 조건을 중심으로 두번째 1차 예측 실험(2x2 완전배치 실험) 진행 80.3 두번째 1차 예측 실험 Data 78 1 - C o n t u r P l f Y i e d Reflow 시간 Reflow 온도 170 80 180 90 Reflow 시간 온도 76.5 77.0 78.0 79.5 79.9 80.3 80.0 79.7 79.8 76.5 다섯개의 중심점 (center points)을 갖는 2x2 완전 배치 설계 24

2번째 1차 예측실험의 적합성 결정 Stat > DOE > Factorial > Analyze Factorial Design… Model에 곡선 효과 존재 Optimum area 근처에 있음을 알려 줌 Optimum 설정을 위한 추가 분석 필요 (2차 예측 실험)

2차 예측실험 1차 예측 실험은 곡선 효과 (Curvature)의 존재를 검출하나, 다음 실험을 위한 실험 2차 항의 계수를 추정할 수 없기 때문에 곡선 효과 Modeling을 할 수 없다 1차 예측 실험 최고 경사 경로 다음 실험을 위한 실험 Setting을 결정 해야 함 곡률이 존재하는 가? No 2차 예측 실험 또는 반응 표면 실험은 2차 또는 3차 항을 사용함으로써 곡선 효과를 Modeling 할 수 있다 Yes 2차 예측 실험 25

2차 예측실험 중심합성계획(Central Composite Design) 적용 (+1, -1) (-1, -1) (-1, +1) (+1, +1) (0,0) (0,+a) (0,-a) (-a,0) (+a,0) 4 . 5 1 - T i m e p C o n t u r P l f Y d 76.5 78 80.3 79.7 -a, -1, 0, +1, +a 22 요인실험점 *중심합성계획은 반응량의 곡면적인 변화를 적은 횟수의 실험으로 감지하기 위하여 2N 요인 실험에 중심점과 축점 (Axial Point)을 추가시킨 실험. 좌표의 중심점 축점(Axial Point)- a 는 중심에서 축점까지의 거리

중심합성계획 (Central Composite Design) 중심합성계획은 실험의 횟수가 적기 때문에 실험의 비용이 적으며, 연속실험(Sequential Experiment)이 가능하다. 즉, 2N 요인실험 후 실험의 보완이나 최적화를 위하여 중심점과 축점에서 2차로 추가하는 실험이 가능하다. 중심합성계획의 실험수: 요인실험 수 + 축점 수 + 중심점 실험 수 = 2N + 2N + n0 (N; Factor 수) 축점(Axial Point) a의 계산: 4 1 a = [요인실험 수]

중심합성계획 (Central Composite Design) 중심합성계획에 의한 2차 예측실험 Data Reflow Reflow Time Temp Yield 80 170 76.5 80 180 77.0 90 170 78.0 90 180 79.5 85 175 79.9 85 175 80.3 85 175 80.0 85 175 79.7 175 79.8 92.07 175 78.4 77.93 175 75.6 85 182.07 78.5 85 167.93 77.0 구성 2N (0,-1.414) (0,1.414) (-1.414,0) (1.414,0) 중심점 실험 수 Coded variables Time Temp. 1.414 0 -1.414 0 0 1.414 0 -1.414 축점 수

중심합성계획 (Central Composite Design) Default Alpha = (Fatorial Point)1/4 Alpha=1

중심합성계획 (Central Composite Design) Central Composite Design (Secession 창 정보) Factors: 2 Blocks: none Center points: 5 Runs: 13 Alpha: 1.414 (Default Alpha 값) Data Matrix의 기본표시법 실험인자의 수준을 직접입력 StdOrder RunOrder Blocks Reflow 시간 Reflow 온도 1 1 1 -1.00000 -1.00000 2 2 1 1.00000 -1.00000 3 3 1 -1.00000 1.00000 4 4 1 1.00000 1.00000 5 5 1 -1.41421 0.00000 6 6 1 1.41421 0.00000 7 7 1 0.00000 -1.41421 8 8 1 0.00000 1.41421 9 9 1 0.00000 0.00000 10 10 1 0.00000 0.00000 11 11 1 0.00000 0.00000 12 12 1 0.00000 0.00000 13 13 1 0.00000 0.00000 StdOrder RunOrder Blocks Reflow 시간 Reflow 온도 1 1 1 80.0000 170.000 2 2 1 90.0000 170.000 3 3 1 80.0000 180.000 4 4 1 90.0000 180.000 5 5 1 77.9289 175.000 6 6 1 92.0711 175.000 7 7 1 85.0000 167.929 8 8 1 85.0000 182.071 9 9 1 85.0000 175.000 10 10 1 85.0000 175.000 11 11 1 85.0000 175.000 12 12 1 85.0000 175.000 13 13 1 85.0000 175.000

중심합성계획 (Central Composite Design) Stat > DOE > Response Surface > Analyze RS Design… 76.5 77.0 78.0 79.5 78.5 75.6 78.4 79.9 80.3 80.0 79.7 79.8

중심합성계획 (Central Composite Design) Stat > DOE > Response Surface > Analyze RS Design… Full Quadratic Model 선택

중심합성계획 (Central Composite Design)

중심합성계획 (Central Composite Design) Stat > DOE > Response Surface > Contour & Surface Plot

중심합성계획 (Central Composite Design) Graph 분석 Surface Plot Contour Plot 최적조건 방향 최적조건

중심합성계획 (Central Composite Design) Temp에 대한 편미분의 값이 “0”이 되는 지점 Time에 대한 편미분의 값이 “0”이 되는 지점 Time과 Temp에 대한 편미분의 값이 모두 “0”이 되는 지점 최적화의 이론적 접근

중심합성계획 (Central Composite Design) 편미분의 계산 (1)과 (2)를 모두 “0”으로 만드는 값은 x1 = 0.389, x2 = 0.306 이다 이는 모두 Coded수준의 값이므로 이를 실제 값으로 변환 할 필요가 있다. X1,과 X2의 실제값을 얻기 위한 선형변환

중심합성계획 예제 Factorial 설계로부터 중요 X는 ‘음주’와 ‘돌발색’이라는 것을 알 수 있었다. 곡선관계를 포함한 좀 더 세밀한 관계를 알고자 한다. 이들의 곡선관계 및 최적의 방정식을 얻기 위해 반응표면분석으로 접근해 보자. 음주 0~4잔과 차 속도 60~100 ㎞로 연속적인 수치로 인자로 가능한 값이나, 돌발색은 검정 또는 빨강으로 범주형 자료이다. 따라서 돌발색의 범주형 값을 수치로 환산하여 고려해 보자. 즉, 검정을 0으로 하고 빨강을 100으로 하여 연속적으로 변화는 값으로 생각하고 노랑, 파랑 등은 이들 값의 중간에 위치한다고 여기자. 반응표면실험은 중심합성계획을 사용하기로 하고, Cube portion은 Factorial의 실험값을 그대로 사용하고, Axial portion과 Center point만 새로이 실험한다고 하자.

중심합성계획 설계 ☞ Minitab step#1 : 중심합성계획 실험의 설계 > Stat > DOE > Response Surface > Create RS Design… 인자수는 3으로 선택 Default Alpha = (Factorial Point)1/4 Alpha=1

반응표면분석 종류 반응표면분석에서 가능한 설계의 종류를 보여준다.

중심합성계획 설계 인자 및 필요한 옵션을 선택한다. 기타 필요한 옵션을 선택한 후, 모든 선택이 완료되었으면 OK 를 클릭! Level Define 선택후 인자의 실제 값을 입력할 수 있다. 기타 필요한 옵션을 선택한 후, 모든 선택이 완료되었으면 OK 를 클릭!

중심합성계획 실험실시 ☞ Minitab step#2 : 축점과 중심점 추가에 의해 설계된 워크시트 Factorial의 실험점 340 860 360 880 320 610 350 720 200 800 400 500 750 270 250 300 225 Factorial의 실험점 추가된 축점 추가된 중심점

중심합성계획 분석 ☞ Minitab step#3 : 중심합성계획 실험의 분석 Full Quadratic Model 을 선택 Stat > DOE > Response Surface > Analyze RS Design… Full Quadratic Model 을 선택

중심합성계획 분석 1차 및 2차항은 매우 유의하나 교호 작용은 그다지 유의하지 않음을 알 수 있다. 모델이 유의하다 차속도의 1차 주효과는 유의하지 않음 차속도의 2차 주효과는 매우 유의함

중심합성계획 그래프 ☞ Minitab step#4 : 등고선 그림의 작성 Stat > DOE > Response Surface > Contour/Surface Plots… 덜 중요한 차속도를 일정한 값으로 고정하고 나머지 두 요인으로 등고선 그림을 그린다.

중심합성계획 그래프 덜 중요한 ‘차 속도=0’ (Middle Setting)로 고정했을 경우 최적화 방향을 보여준다.

중심합성계획 최적화 ☞ Minitab step#5 : 최적조건의 도출 최적해를 추적하여 구한다. Stat > DOE > Response Surface > Response Optimizer … 망소특성 선택 최적해를 추적하여 구한다. 허용 하한값 목표값 최대값

Central Composite 문제1 어떤 케미칼 프로세스의 수율을 최적화 하기 위하여 반응시간과 반응온도에 대한 최적조건을 찾기 위해 중심합성계획으로 설계하고 분석하라. Yield 70.8 76.5 83.2 69.4 75.3 73.2 71.5 81.7 78.8 79.1 78.2 80.8 22요인실험 축점 중심점