회로이론 Network Theorem

중첩정리(Superposition Theorem) 회로내의 어떤 소자를 통해 흐르는 전류, 혹은 소자 양단의 전압은 각 전원이 제공하는 전류 혹은 전압의 대수적인 합과 같다. 중첩정리는 여러 개의 전원을 가지고 있는 회로에 대한 분석을 한번에 하나의 전원만을 적용한 후 그 각각의 결과의 합으로 전체를 이해할 수 있음을 말하고 있다. 전압원을 제거할 경우에는 단순히 도선으로(0 저항) 연결(단락)함을 말한다. 전류원을 제거할 경우에는 전류원을 제거(무한대 저항) (개방)함을 말한다. 두 개의 경우 모두 내부 저항은 회로에 남겨 두어야 한다.

회로의 전류를 결정하는 경우에는 각 전원에 의하여 결정되는 전류를 모두 구한 후에 같은 방향의 전류끼리 모두 더한 후 그 차를 구하고 더 큰 쪽 방향으로 전류의 방향을 정한다. 전압을 측정할 경우에는 각 전원에 의하여 결정되는 전압을 모두 구한 후 같은 극성의 전압은 모두 더하고 반대 극성의 값은 뺀 후 더 큰 값의 극성으로 전체 극성을 결정한다. 중첩정리는 전력에는 적용되지 않는다.

[예제] 아래 왼쪽 회로에서 저항 R2에 흐르는 전류 I2를 구하시오 전류원 제거 ① 먼저 전류원을 제거하고 전압원에 ② 전압원을 제거하고 전류원에의한 전류를 계산한 후 ③ 두 값의 대수적인 합(방향을 고려한 두 값의 차)을 구한다.

[예제] 앞의 예제의 회로에 대하여 중첩이론은 전력에는 적용되지 않는 것을 확인하라 2A의 전류에 의한 전력의 소비 2A와 6A 각각에 대한 전력의 합과 8A에 의한 전력전체 의 소비는 서로 같지 않다. 전류와 전력의 그래프는 선형적이 아니다. 따라서 중첩정리는 전력에는 적용되지 않는다.

[예제] 오른쪽의 회로에서 중첩이론을 사용하여 전류 I2를 구하라 54V 전압원에 의한 전류 48V 전압원에 의한 전류 대수적인 합

[예제] 오른 쪽의 회로에서 전류 I1을 구하라. 전류원 제거 전압원 제거 전류원과 저항은 병렬관계이므로 양단의 전압은 모두 30V이다. 따라서 I1은 5A가 될 수 밖에 없다.,

[예제] 오른쪽 회로에서 12KΩ저항을 통하여 흐르는 전류 I2를 중첩원리를 사용하여 구하라. 전압원제거

[예제] 오른쪽 회로에서 2Ω저항을 통하여 흐르는 전류 I1을 중첩원리를 사용하여 구하라.

[연습문제] a) 중첩이론을 사용하여 12Ω 저항을 흐르는 전류 I를 구하라. 답: 0.1A b) 두 전압원을 모두 전류원으로 바꾼 후 다시 중첩원리를 적용하여 전류 I를 구하여 (a)의 답과 비교하라. 답: 같다 중첩이론을 사용하여 56Ω 저항을 흐르는 전류 I를 구하라. 답: 1.25A +

[연습문제] 중첩이론을 사용하여 전압 V2를 구하라. 답: 52.08V +

테브낭의 정리(Thevenin’s Theorem) 두 개의 출력단자를 갖는 어떠한 dc회로도 하나의 전압원과 그에 직렬로 연결된 하나의 저항으로 대체될 수 있다. 테브낭 정리의 활용 직렬이나 병렬의 관계가 아닌 전원을 분석할 때 출력 단에서 같은 특성을 유지하는 보다 간단한 회로구성 특정 소자의 교환이 가져오는 영향을 분석할 때 테브낭 정리의 적용 절차 테브낭 회로를 찾으려는 부분에서 부하회로를 제거한다. 2. 남은 회로의 출력단에 a, b로 마크한다.

[예제] 모든 전원을 0으로 세트한다.(전압원은 단락, 전류원은 개방) 만약 전원의 내부저항이 있으면 내부저항은 회로에 남겨둔다. 4. 2에서 표시한 두 출력단 a, b사이의 저항을 측정한다(테브낭저항). 5. 모든 전원을 다시 연결하고 a, b사이의 전압을 측정한다(테브낭전압). 5에서 구한 전압의 크기를 갖는 전압원과 4에서 구한 저항을 직렬로 연결한 회로를 구성하고 1에서 제거한 부하회로를 다시 연결한다. [예제] 아래의 회로를 테브낭 등가회로로 교체하라 Step 1,2 Step 5 Step 3 Step 6 Step 4

[예제] 아래의 회로 중 점선으로 둘러 싼 부분을 테브낭 등가회로로 교체하라 Step 3,4 Step 1,2 Step 5

[예제] 아래의 회로 중 점선을 제외한 나머지 부분을 테브낭 등가회로로 교체하라 Step1,2 Step3 Step4 단락

아래의 브릿지 회로 중 점선을 제외한 나머지 부분을 테브낭 등가회로로 교체하라 [예제]

[예제] 아래의 회로 중 점선으로 둘러싼 부분을 테브낭 등가회로로 교체하라 테브낭 전압은 중첩정리 사용

[연습문제] 다음의 회로에서 외부저항 R에 대한 테브낭 등가회로를 구하라. (답: Rth=4.1K, Eth = 96V) 다음의 회로에서 외부저항 R에 대한 테브낭 등가회로를 구하라. (답: Rth=2.18, Eth = 9.81V)

노튼의 정리(Norton’s Theorem) 두 개의 단자로 이루어진 DC 회로는 언제나 옆의 그림과 같이 하나의 전류원과 그에 평행한(병렬) 하나의 저항으로 대체될 수 있다. 노튼 등가회로를 구하기 위한 절차(노튼회로를 구하는 절차는 테브낭회로를 구하는 방법과 거의 같다) 노튼 회로를 찾으려는 부분에서 부하회로를 제거한다. 2. 남은 회로의 출력단에 a, b로 마크한다. 테브낭 저하을 구하는 방법과 똑같다. 모든 전원을 0으로 세트한다.(전압원은 단락, 전류원은 개방) 만약 전원의 내부저항이 있으면 내부저항은 회로에 남겨둔다. 4. 2에서 표시한 두 출력단 a, b사이의 저항을 측정한다(노튼저항). 5. 모든 전원을 다시 연결하고 a, b사이를 연결하여 전류를 측정한다(노튼 전류). 5에서 구한 전류의 크기를 갖는 전류원과 4에서 구한 저항을 병렬로 연결한 회로를 구성하고 1에서 제거한 부하회로를 다시 연결한다.

[예제] 옆의 회로의 노튼 등가회로를 구하라 Step 1, 2 a, b를 직접 연결하면 6Ω 저항으로는 전류가 흐르지 않는다.

앞의 예제에서의 회로를 테브낭 등가회로로 바꿀 경우 Step 4까지는 똑 같고 그 후 Step5에서 a, b사이의 전압은 6Ω 저항 사이의 전압이므로 9V x (6Ω /9Ω) 으로부터 6V가 되어서 테브낭 등가회로는 아래의 오른쪽 회로와 같아진다. 6V 앞의 예제에서 구한 노튼 등가회로와 비교해 보면 노튼회로와 테브낭 회로는 서로의 전류원과 전압원을 서로 바꿔 놓은 것과 같은 것을 알 수 있다.

= [예제] 옆의 회로의 점선부분의 노튼 등가회로를 구한 후 다시 그 결과를 사용하여 테브낭 등가회로를 구하라. 노튼회로 50V 테브낭회로

[예제] 옆의 회로의 점선 내부를 노튼 등가회로로 바꾸어라. 전원이 두 개이므로 (전압원 제거) 중첩정리 사용(전류원 제거) b에서 a방향

최대전력 전달 정리(Maximum Power Transfer Theorem) 회로의 부하저항이 전원의 테브낭 저항의 크기와 같을 때(RL = RTh) 부하회로에 전달되는 전력이 최대가 된다. 위 정리는 부하회로가 전원으로부터 최대의 전력을 공급받는데 필요한 조건을 결정하는데 사용될 수 있다. 만약 부하저항이 테브낭 저항의 크기보다 작으면 전체 전류는 커지지만 P = I2 R의 관계에서 곱하는 값 R이 작아지고 부하저항이 커지면 부하저항에 걸리는 전압이 커지지만 P = V2 / R의 관계에서 분모가 커진다. 그러나 P = I2 R 에서 R이 작아지는 것보다 I2 이 더 커질 수도 있고, P = V2 / R 에서 분모 R이 커지는 것보다 V2 이 더 커질 수도 있을 것이다. 따라서 다음과 같이 R의 값과 전력의 관계를 그래프로 그려보았다.

오른쪽의 회로에 부하저항 vs 전력의 관계를 살펴보면: 왼쪽은 위의 식의 RL의 값을 0.1Ω부터 1000Ω까지 변경하면서 구한 전류와 전력의 표이고 이 표를 그래프로 그린 것이 아래의 그림이다. 전력은 부하저항이 테브낭 저항이 같을 때 최대이고 부하저항이 테브낭 저항 값보다 작아지면서 급격히 떨어지는 것을 볼 수 있다.

전력전달 효율과 최대 전력의 관계 전력전달 효율이란 전원에서 공급되는 전력과 부하회로에서 소모되는 전력의 비로서 다음과 같다. 부하저항이 테브낭저항과 같을 경우에는 전력소모가 아래와 같이 전원부와 부하회로에서 똑같이 50%이다. 앞 페이지의 회로에서 부하저항이 100Ω 이라면 아래와 같이 테브낭회로에서 소모되는 전력에 비하여 부하회로에서 소모되는 전력이 훨씬 크다. 따라서 부하저항이 클 수록 전력 전달 효율은 높은 것을 알 수 있다. 그러나 부하회로에 전달되는 전력은 테브낭회로와 같았을 경우의 100W에 비하여 매우 작은 것을 알 수 있다. 전력전달 효율이 더 중요한 경우에는 부하저항이 전원 내부저항보다 커야 한다. 그러나 전원으로부터 최대의 전력을 얻는 것이 목적이라면 최대전력전달 정리를 적용해야 한다.

Millman’s Theorem 서로 병렬관계인 복수 개의 전압원은 한 개의 전압원으로 변경할 수 있다. 1. 모든 전압원을 등가의 전류원으로 바꾼다. 2. 1의 결과로 얻은 복수의 평행한 전류원을 하나의 전류원으로 바꾼다. 3. 2의 결과로 얻은 하나의 전류원을 전압원으로 바꾼다.

[예제] Millman의 정리를 사용하여 저항 RL 양단의 전압 VL과 흐르는 전류 IL을 구하라.

대체정리(Substitution Theorem) 하나의 양방향 가지(branch)를 지나는 전류와 그 양단의 전압을 알고 있다면 그 가지는 같은 전류와 전압의 특성을 가지는 어떠한 소자의 조합으로 대체할 수 있다. 옆의 회로에서 R2를 지나는 전류가 3A이고 양단의 전압이 12V라면 이 저항 R2는 다음 중 어느 것으로 대체해도 나머지 회로에 영향을 미치지 않는다.

상반정리 단일 전압원회로의 임의 가지(Branch)를 지나는 전류 I를 안다고 할 때, 전압원을 해당 전류를 측정한 위치로 옮기면 전압원이 있던 위치를 흐르는 전류는 이전 위치에서 측정된 I의 값과 같아진다.