자동제어 영남대학교 기계공학부 정 병 묵

목 차 1 Introduction 2 System representation 목 차 1 Introduction 2 System representation 3 Mathematical modeling of physical systems 4 Stability of linear control systems 5 Time domain analysis 6 Root - locus

1.1 Basic concepts of system 1. Introduction 1.1 Basic concepts of system 1 System An Assemblage, Arrangement, Set, or Collection of ' Thing' so combined by nature or man so as to form an Integral and complex whole. 2 Modeling 실제 물리계(Physical system)와 수학적 기법(이론) 사이의 bridge 작업으로서, 즉 실제 물리계의 제반 특성을 수학적으로 표현하기 위한 기법이며, 시스템이론, 제어이론 적용의 출발점. 3 Control theory 주어진 시스템의 에너지 변화, 흐름, 정보의 변화 등을 목적하는 형태로 조절하기 위한 수학적 기법으로 제어계 자체도 시스템의 일부임. ** 관련(적용)대상 분야: 인간과 관련된 모든 분야로서, 전력계통, 전기전자 장치 기계적 각종설비, 화학처리 공정, 경제 분야, 경영학, 사회현상의 분석, 조정, 교통제어, 품질관리, robotics, 생태계의 제현상 해석, 핵공학 관련분야, 의공학분야 등에서 제어공학이 기본적인 분석, 통제 도구. 4 System의 일반적 표현방법(용도가 다름) 1. Mathematical model : Differential equation, Transfer function, State-space modeling 등 2. Block diagram : Graph 표현으로 시각적 구성 파악이 용이. 3. Signal flow graph: Graph 표현으로 시각적 구성 파악이 용이.

5 수학적 기법에 따른 system 분류

1.2 Basic types of control systems 1. Man-made Control systems 2. Natural, including biological Control systems. 3. Both. 2 control system의 기본 구성요소 1. 제어목적 (control objectives: Inputs). 2. 제어대상과 구성 (plants and configurations). 3. 제어결과 (results or controlled outputs). 3 구성형태 또는 Control action에 따른 분류 1) Open loop C.S.: 제어동작은 출력의 형태에 무관히 수행. * 제어기 자체의 calibration으로 제어목적 달성. * Low cost, Simple structure, but Less Accuracy. 2) Closed loop C.S.(feedback C.S.): 출력상태를 감시하여 제어를 수행 ① Increased Accuracy : 과도 및 정상상태 오차감소, 성능지수 향상. ② Reduced Parameter Sensitivity : 특성의 안정화. ③ Increased Bandwidth : 속응성 ④ Reduced Effects of Nonlinearity and distortion and disturbance ⑤ Tendency toward Instability or oscillation ⑥ Feedback에 필요한 부가 장치로 시스템의 구성이 복잡해 진다.

4 Feedback control system의 구성과 기호

-시스템은 구성에 따라 크게 open-loop system과 closed-loop system으로 구분할 수 있다. output : Y(s)=G(s)U(s) ② Closed-loop system : 출력의 상태에 따라 입력이 조절되는 시스템 [Canonical feedback system] R(s) : 기준입력(reference input), 입력(input), 또는 command. Y(s) : 출력(output), 제어된 입력(controlled Output), 또는 응답(response) B(s) : 궤환 신호(feedback signal) E(s) : 오차신호(error signal) 또는 actuating signal

1.3 Digital control 1 Digital control의 유형(computer의 역할에 따른 분류) 1. Direct digital control(DDC) : 종래의 analog controller를 digital computer로 대치하여 control law(controller의 기능)에 해당되는 제어 2. Supervisory computer control : plant의 output(controlled variables)를 측정하여 computer에서 상태를 감시하며 이에 따라 analog controller의 set point(REF. input 또는 command)를 조절함으로써 최적의 제어효과를 달성한다. 따라서 이 방식에서 제어기는 종래의 방법과 같은 analog controller가 그대로 사용되고 digital computer는 외부에 추가된다. 2 Digital control의 장점 1.Versatility : Digital controller에서는 입력 프로그램만 수정, 보완하면 다양한 제어기법을 적용할 수 있다. (analog controller의 경우에서는 제어방식을 바꾸기 위해서는 전체 장치의 구성을 바꾸어야 함) 2. High cost performance : 고도의 제어기법을 프로그램만으로 실현할 수 있으므로 동일한 성능 의 analog 장치를 갖추는 경우보다 비용이 절약되며, 보수, 관리가 용이하다. 3. Drift, Sensitivity Reliability 특성향상 : digital 소자 또는 설비들은 외부잡음, 온도, 습도 등 주위환경에 의한 영향이 거의 없으므로 calibration이 필요 없으며 오차 발생원이 감소된다. 4. 몇 번이라도 프로그램만의 수정으로 시뮬레이션을 할 수 있으므로 현장에 적용하기 전에 충분히 성능을 검토 할 수 있어 실제로 현장에 도입된 후 있을 수 있는 제어의 실패를 미리 막을 수 있다.

제어기 설계과정

2. Laplace Transform and Block Diagram

2.1 Basic concepts & classifications 시스템의 기본 개념 -시스템의 정의 : 각각 고유 기능을 갖는 요소들이 모여 일관성 있는 하나의 기능을 갖는 집합체.

2.2 Laplace Transform 1 Laplace transform 여기서, , , 와 는 실수.   f(t)를 t>0 에서 정의되는 변수 t 의 실수 함수라고 할 때,                                                                                                                           여기서,                    ,                        ,    와    는 실수. 2  Inverse Laplace transform   F(s)를 t>0에서 정의되는 f(t) 의 Laplace transform이라고 할 때                                                                                   여기서, 이 복소 적분은 복잡하기 때문에 실제로는 뒤에서 설명하는 바와 같이 부분분수로 전개하여 Table을 이용하는 간편한 방법 등이 주로 이용된다

Laplace 변환표 Laplace 변환 시간 함수(f(t)) Laplace 변환 시간 함수(f(t)) 1

Laplace 변환의 성질 1 Linearity 증명

2 미분에 대한 정리 여기서 , 는 f(t)의 초기치 증명 예제

3 최종치 정리(final value theorem) 주) sF(s)가 s평면 우반부에서 pole 을 갖지 않고, f(t)의 극한값이 존재할 때에만 성립 증명 예제

4 Complex translation 예제

예제

라플라스 역변환 유리함수 의 Laplace 역변환은 다음과 같은 부분분수 전개법을 사용한 후, 각 항에 대한 역변환의 합으로부터 구하면 편리하다. 응용 예에서 일반적으로 는 다음과 같은 형식의 유리함수이다. 1. 서로 다른 실근 (distinct roots)을 가진 경우                                        여기서, 각    는 다음과 같이 구한다. 예제                   

2. 공액 복소근을 포함한 경우                                          여기서 등은 앞에서 기술한 방법으로 구하고 , C, D는 다음과 같은 복소수의 방정식을 세워 구한다 그리고, 아래와 같이하여, distinct roots를 갖는 형태로 정리 할 수도 있다. 예제

3. 다중근을 가진 경우            여기서 등은 실수 단근인 경우이므로 으로 구하고, 은 다음과 같이 구한다.                                  예제

2.3 Block Diagram 기본 구성요소  블럭(block)은 입력신호에 대한 조작(operation)을 나타내며, summing point는 인가된 여러 신호의 합을 출력으로 하는 요소이다. 또, takeoff point는 하나의 신호를 뒤에 연결된 여러 입력 측에 분배하는 역할을 한다.

기본 구성요소 1. 기본구성 블럭선도의 기본적인 구성으로는 직렬, 병렬, 궤환 루프 구성이 있으며 각각 아래 그림에서 오른쪽 에 표현한 것처럼 단일블럭으로 간략화하여 대치할 수 있으며, 복잡한 블록선도를 간략화 하거나 전달함수를 구할 때 자주 사용된다. - 직렬연결(Cascade connection) - 병렬연결(Parallel connection) - 궤한 루프(Feedback loop)의 제거

2. 기타 블럭선도의 부분적인 간략화 방법 위의 기본구성 외에 다음과 같은 변형방법도 알아두면 도움되는 경우가 많다. - 결합점(Summing point)의 재배치

- 결합점(Summing point)의 재배치

2.4 Signal Flow Graph Basic concepts 신호흐름도는 신호의 입·출력관계를 cause & effect의 원리에 따라 대수적으로 나타낸 흐름도로서 절점(node)과 가지(branch)로 구성되며, 아래그림과 같이 각 node는 변수를 나타내고 branch는 전달되는 변수의 이득(gain)을 나타낸다 [xi=aijxj를 나타낸 node와 branch] 신호흐름도에서 사용되는 용어를 아래의 그림을 예로 들어 설명하였다. 1. 출력노드(output node, sink) 들어오는 방향의 branch만 연결되어 있는 node 예] 위의 그림에서 x4 2. 이득(gain, transmission function, transfer function, mapping) branch로 연결되어 있는 변수간의 비율 예] x1과 x2를 연결하는 branch의 이득은 a21이며, x2 = a21x1+(다른 입력에 의한 항들)의 관계를 나타냄. (주의 : x2/x1 = a21 이라는 것은 아님)

3. 경로 (path) 지정된 방향으로 연결된 branch의 집합으로 어떤 한 변수에서 출발하여, 지정된 어떤 변수에 이르는 경로를 이룬다. 단, 경로가 되기 위한 조건으로, 경로를 따라 신호가 전달될 때 어떤 경우에도 같은 node를 두번지나서는 안된다. 예] x1에서 x3로가는 path는 다음과 같이 두 개의 경로가 있다. 4. 전방향 경로 (forward path) 입력 node에서 출력 node에 전 방향으로 도달하는 path 예] x1 ->x4의 forward path는 아래와 같이 2개의 경로가 있다. 5. 궤환경로(feedback path) 입출력 node간을 역방향으로 되돌아 진행하는 path. 예] x3 ->x2의 feedback path는 a23

정해진 path를 이루는 각 branch gain의 곱.. 6. loop, self loop 경로 중에서 출발 노드와 도착 노드가 동일한 경로를 루프(loop)라고 하고, 그 경로내부에 다른 node가 없으면 (또는 한 개의branch로 구성된 loop라고 하여도 같은 의미) self-loop 라고 함. 예] 7. 경로이득 (path gain) 정해진 path를 이루는 각 branch gain의 곱.. 예] path :                                                    에 대한 path gain은 a21a42 (주의 : 이 예에서 path gain이 a21a42 라고 해서 x4/x1=a21a42라는 뜻은 아님) 8. Loop gain 지정된 loop을 형성하는 각 branch gain의 곱 (loop의 path gain) 예] loop:                                              loop gain은 a23a32

Signal flow graph algebra 1 Signal flow graph algebra 1. Addition rule 어떤 node로 표시된 변수의 값은 그 node에 들어오는 모든 신호의 합이다. 2. Transmission rule 어떤 node로 표시되는 변수는 그 node에서 나가는 방향의 branch로 연결된 모든 node로 전송된다.

Signal flow graph algebra 3. Multiplication rule 직렬 연결된 n-1개의 branch는, branch 이득을 모두 곱한 이득을 가지는 한개의 branch 로 간략화 하여 나타낼 수 있다. 4. Input-output gain rule(Mason's gain rule, overall gain) 신호흐름도로 표현된 시스템의지정된 입·출력 node간의 전달함수 U(s)/Y(s)는 여기서, 1) N: 입력 node에서 출력 node에 이르는 forward path의 수 2)  : i번째 forward path의 path gain. 3)  : signal flow graph determinant 또는 characteristic function. 다음과 같다. 여기서, * Li는 single loop gain. * LiLj는 nontouching인 두 개의 single loop에 대한 loop gain의 곱. * LiLjLk는 nontouching인 세 개의 single loop에 대한 loop gain의 곱. * Nontouching loops : 서로 공유하는 node가 없는 loop의 조합 (다음 절의 예제를 참고하 기 바람- 그림에서 L1과 L2,L3 서로 nontouching이지만 L4는 어느 것과도 touching 되어 있음)

Gain rule을 적용하여 전달함수를 구하는 예 4)  : i-번째 forward path에 nontouching인 (node를 공유하지 않는) loop에 대한 . 즉, i-번째 경로의 모든 branch를 제거한 신호흐름도에서 구한 이며, 다음과 같이 표현할 수도 있음. Gain rule을 적용하여 전달함수를 구하는 예 - N : 위의 신호흐름도에서 forward path수는 하나이므로, N=1. - T1 : forward path gain ->

- : 1) single loop gains: 2) two-nontouching loop gains: 3) three-nontouching loop gain 4) four-nontouching loop 없음. 5) 따라서

- : path-1 의 branch를 모두 제거한 신호흐름선도(아래 그림)에서 L3만 loop 가 되고 나 1) single loop gains: 2) two-nontouching loop : 없음 3)  - Overall Gain (transfer function) :

3. Mathematical Model of Physical System

3.1 Translational Motion 1. 질량(mass) : 병진운동의 운동에너지를 저장하는 요소. 가속도에 비례하는 힘이 저장되며, 비례상수 M을 질량이라고 부름 2. 스프링(spring) : 위치에너지를 저장하는 요소. 변위에 비례하는 힘이 저장되며 비례상수 K를 spring constant라고 부름 3. 댐퍼 또는 마찰(damper, friction) : 운동에너지를 마찰에 의해 열로 소비하는 요소 마찰에는 점성 마찰, 정적마찰, 쿨롱마찰이 있으며 실제로는 이 세가지 모두 나타나지만 일반적으로 소비 되는 에너지가 속도에 비례하는 점성마찰만을 고려함. 4. 적용법칙 : 인가된(또는 나타난) 모든 힘의 총 합은 영이다

Translational System VS Electric System 전기회로와 병진운동의 운동방정식 형태를 비교해 보면, : Mass : Spring : Friction 따라서 아래와 같이 힘을 전압으로, 이동거리를 전하로 대응시키면 전기회로와 기계계통이 동 일한 방정식으로 나타난다

모형화의 예 (질량, 댐퍼, 스프링으로 구성된 계통) 1 운동방정식 2 대응되는 전기회로 [Loop 회로] [Node 회로]

3 전달함수(transfer function) 증명 미분방정식의 라플라스 변환으로부터 4 state diagram 운동방정식으로부터 다음과 같이 쓸수있다.

5 상태방정식(state equation) state diagram에서 라 하면 상태방정식은 다음과 같다. 위의 두 식을 행열식으로 나타내면 다음과 같다. 6 상태방정식의 해 state diagram 에서 f와 각 초기치를 입력으로 보고 와 를 출력으로 하여 gain rule을 적용하면 다음과 같다.

여기서, 이라 하면, 를 단위계단함수, 즉 이라 하면, 라플라스 역변환으로부터 다음과 같이 의 해를 구할 수 있다.

4. System Stability

4.1 Basic concepts 1 안정성 (stability : 시스템 equilibrium point의 시간에 대한 수렴특성) 1) 입력없이 초기치만으로 구동된 시스템의 출력이 시간이 지남에 따라 0으로 수렴하면 Asymptotically stable 2) 모든 초기치가 0일때 유한입력에 대한 출력의 크기가 항상 유한하면 BIBO(Bounded input bounded output) stable 수렴특성에 따른 분류 1) Asymptotic stability : equilibrium point가 0으로 수렴. 2) Marginal stability : equilibrium point가 0이외의 일정한 값으로 수렴하거나 일정 범위내에서 변화 3) Instability (Unstable): equilibrium point가 무한대로 발산 Zero-state stability, zero-input stability 1) zero-state stability : 모든 초기치가 0일때 유한입력에 대해 출력이 항상 유한한 안정도 2) zero-input stability : 입력이 0일때 유한한 초기조건에 대해 출력이 0으로 수렴하는 안정도 2 선형 시불변 시스템이 안정하기 위한 필요충분 조건 시스템 전달함수의 모든 극점의 실수부가 음의 값일 것. 3 안정성 판별방법 Absolute stability 특성 방정식의 근을 모두 구하는 대신 다음 조건에 따라 쉽게 우반부에 있는 특성근의 수를 알 수 있음. Routh-hurwitz criterion Relative stability 절대 안정한 상태에서 각 근들간에 real part와 damping ratio에 따라 얼마나 안정한 지를 알 수 있음 시간영역 : Maximum overshoot 와 damping ratio 주파수영역 : Peak resonance 에 관계 Root rocus Nyquist criterion Bode plot

4.2 Criterion of stability 초기치 입력을 0 (asymptotic stability) 이라 두면 위 식은 다음과 같다. 한편, 이라 두면, Asymptotic stability 이므로, 따라서 이다 A의 eigen value 인 는 s-평면의 좌반부에 위치 ,        

2 Routh-Hurwitz criterion 1) 모든 근이 좌반 평면에 존재하기 위한 필요 조건 다항식의 모든 계수들이 같은 부호를 가져야 함. 모든 계수가 0이 아니어야 함. 2) 모든 근이 좌반 평면에 존재하기 위한 조건 Routh table 1열에 있는 모든 요소의 부호가 동일할 것 (1열에 있는 요소의 부호가 변하는 횟수만큼의 특성근이 우반부에 존재) 예제 1. Routh table을 쓰면, table의 첫 번째 열의 부호가 모두 동일하므로 모든 근이 좌반평면에 존재한다. 따라서 이 시스템은 stable 하다. 예제 2.

부호가 두 번 바뀐다. 따라서 이 시스템은 unstable 하다. 한편, 위 다항식을 인수 분해 해보면, 3개의 근 중에 2개의 근이 우반평면에 존재한다. 예외적인 경우 Case 1. 첫 번째 열 원소가 0이 되는 경우 -법 : 0을 으로 대치하여 Routh table을 작성한 후 에 대한 부호변화로부터 판정 여기서 s2 행의 0 대신 무한소의 (+)의 으로 대치하면 에서 부호변화가 두 번 있으므로 불안정

대치하여 Routh table을 작성 에서 를 로 대치하면 다시 쓰면 즉 본래 특성 방정식 대신 위와같이 계수의 순서를 뒤집은 다항식에 대해 Routh table 을 작성하여 판정 Case 2. 한 행의 원소 모두 0이 되는 경우 - 보조 방정식을 사용 0 이된 윗줄의 계수를 사용하여 보조방정식 를 구성한 후, 로부터 구해 진 계수로 각 해당위치의 0을 대치하여 계속함.

4. 3 Routh table method S5 a5 a3 a1 S4 a4 a2 a0 S3 S2 S1 S0 a5 0 a4 0 과 같다.(먼저, 모든 계수의 부호가 같고 0인 것이 없음을 확인.) 1) 왼쪽 가장자리에 특성방정식의 차수에 따라 s5...s0까지 세로로 배열 2) 특성방정식의 계수 a1,a2...a5를 표의 위 두줄과 같이 교대로 배치 3) 아래 오른쪽의 화살표 버튼을 누를 때 나타나는 순서대로 표의 내부를 채워서 완성. S5 a5 a3 a1 S4 a4 a2 a0 S3 S2 S1 S0 a5 0 a4 0 a4 0= a5 a3 a4 a2 a4 A= A a5 a1 a4 a0 a4 B= B E A B C D C E= a4 a2 A B A C= C G C E D 0 D G= A 0 C 0 C F= D a4 a0 A 0 A D=