일반물리 General Physics 21 장 교류회로와 전자기파

21 장 교류회로와 전자기파 요지 정현파 교류 전원의 수학적인 기술 vL = Vmax sin2pft 2. 실효전압과 실효전류의 이해 3. 교류전원과 R-L-C 회로와 전체 저항인 임피던스의 이해 4. 교류 회로에서의 소비전력과 역률 L R C

☞ 예비 지식 정리 교류란  ‘+’ 에서 ‘–’ 로 다시 ‘–’ 에서 ‘+’ 로 연속적으로 시간에 따라 전압과 전류가 변화한다. 형태는 sine 혹은 cosine 형태로 나타난다. 예) 교류전압 V t 그림과 같이 sine (혹은 cosine) 형태로 변화하는 전압의 경우에 “정현파” 라고 한다. v Vmax  교류전압  f 는 진동수(혹은 주파수)로 단위는 Hz t Vmin 예) 40 Hz 인 경우 f = 40/s = 40 Hz 

라디안 단위 (rad) 2. 진동수 f ( 혹은 주파수) 3. 주기 T 4. 각속도 w ☞ 예비 지식 정리 파동을 기술하는데 필요한 양들과 이들의 관계식 라디안 단위 (rad) 2. 진동수 f ( 혹은 주파수) 3. 주기 T 4. 각속도 w 주기 T란 1번 진동할 때 걸리는 시간을 말하며, 1주기에 360o 를 움직인다. 90o 180o 270o 360o 0o Sine 함수는 0o 에서 영, 90o 일때 최대값, 270o 일때 최소값을 가지고 360o 에서 영 이 된다. 이를 한 주기라고 한다. 따라서 한 주기 동안 360o 를 회전한다. 만약 주기 T 가 0.1 초 라면, 1 초에 10 번 진동한다. 따라서 이 경우 참고; 공학적으론 진동수를 “주파수” 라고 함

라디안 단위 (rad) 2. 진동수 f ( 혹은 주파수) 3. 주기 T 4. 각속도 w ☞ 예비 지식 정리 파동을 기술하는데 필요한 양들과 이들의 관계식 라디안 단위 (rad) 2. 진동수 f ( 혹은 주파수) 3. 주기 T 4. 각속도 w 라디안은 각도 q 의 단위로써, 360o 를 2p 로 치환함 단위, 따라서 에 해당된다. 라디안 단위에서 각속도 w = 2p f 로 표기되며 단위는 rad/s.

21 장 교류회로와 전자기파 21.1 교류 회로에서의 저항 교류란  ‘+’ 에서 ‘–’ 로 다시 ‘–’ 에서 ‘+’ 로 연속적으로 시간에 따라 전압과 전류가 변화한다. 형태는 sine 혹은 cosine 형태로 나타난다. v t 그림과 같이 sine (혹은 cosine) 형태로 변화하는 전압의 경우에 “정현파” 라고 한다. 60 Hz 란 ; 1초에 60번 진동하는 뜻으로 한번 진동할 때 원래 위치로 돌아온다. 주기란 ; 한번 진동할 때 걸리는 시간  주기 = 1/진동수

주파수와 주기의 이해 v t t’ t’’ 1. t’ = 0.1 초  2. t’ = 0.01 초  3. t’’ = 0.2 초  각각의 경우에 주기를 구하시오 ? 1. 0.1 초일때 4번 진동했으므로 1번 진동할 때 걸리는 시간인 주기 T = 0.1 s / 4 = 0.025 s

21.1 교류 회로에서의 저항 예) 교류 전압 최대값이 110 V, f = 60 Hz 일때 t =0.1 s 일때 전압은 ? v = Vmax sin2pft = 110 sin2p(60/s) 0.1 s = 110 sin2p(60/s) 0.1 s = 110 sin 12 p = 0 V 예) 교류 전압 최대값이 110 V, f = 60 Hz 일때 t =0.005 s 일때 전압은 ? v = 예) 교류 전압 최대값이 110 V, f = 60 Hz 일때 t =0.01 s 일때 전압은 ? v =

 전압 v = Vmax sin2pft  전류 i = Imax sin2pft 21.1 교류회로에서의 저항 예) 교류회로의 저항 R Imax 교류전원 표시 Vmax v = Vmax sin2pft  저항 R에서 전압과 전류의 변화 형태는 동일하다.  위상이 같다고 말함. Vmin Imin  전압 v = Vmax sin2pft  전류 i = Imax sin2pft

평균 제곱근 rms (root mean square) i t  전류의 평균값 I평균 = 0 R 옆의 회로에서 시간이 흐르게 되면 저항에 열이 발생해서 뜨거워진다. 즉 전력 P = i2R ≠ 0 전류의 평균값은 “0” 이지만 i2평균 ≠ 0 sin22pft 의 평균값은 ½ 이 된다. <sin22pft>평균 = <cos22pft>평균 , sin22pft + cos22pft = 1  <sin22pft>평균 = <cos22pft>평균 = ½

평균 제곱근 rms (root mean square)  i2평균 = (Imax sin2pft)2평균 = I2max (sin22pft)평균 = ½ I2max 따라서 전류의 평균값을 i2평균 의 제곱근으로 정의하며 이를 rms로 표기하고 “실효전류” 라고 한다. . 또한 실효전압 Vrms= Vmax / 2 = 0.707 Vmax 임

정리 전압 v = Vmax sin2pft 실효전압 Vrms= 0.707 Vmax 전류 i = Imax sin2pft 교류 전원에서 전압 v = Vmax sin2pft 실효전압 Vrms= 0.707 Vmax 전류 i = Imax sin2pft 실효 전류 I rms = 0.707 Imax Pav = I2rmsR Vrms= I rms R 참고 : 전기 콘센트에서 교류 전압이 120 V라 할때 아 값은 rms 값을 말한다. 따라서 최대 전압은 120 V/0.707 = 170 V 가 된다. 예제 21.1 어떤 교류 전원이 v = (200V) sin2pft 의 출력을 가진다. 이 전원이 저항 100 W 에 연결되어 있다. 저항에 흐르는 실효전류를 구하시오. 예제 21.2 회로에 흐르는 최대 전류와 회로에서 소모되는 전력을 구하시오,

우선 직류와 교류 회로에서의 축전기에 대해 알아보자 21.2 교류 회로에서의 축전기 우선 직류와 교류 회로에서의 축전기에 대해 알아보자 1. 직류 회로에서의 축전기 C V +q -q 직류 전원 V에 축전기를 연결하면 전류가 흐르며 축전기에 전하가 쌓인다. ( 연결하는 순간에, 즉 t=0 일때, 축전기에 전하가 축적되어 있지 않으므로 전류가 최대로 흐른다.) 축전기에 전하가 쌓여 가면서 전류는 감소한다. 최종적으로 전하 Q가 축전기에 축적이 되면 , 즉 Q = CV, 더 이상의 전류는 흐르지 않게 된다.

21.2 교류 회로에서의 축전기 2. 교류 회로에서의 축전기 C 교류 전원 V에 축전기를 연결하면 전류가 흘러서 축전기에 전하가 쌓이기 시작한다. 연결하는 순간에, 즉 t=0 일때, 축전기에 전하가 없으므로 전류가 최대로 흐른다. 그림에서 t=0 일때 즉, 전압 v = 0, 전류는 최대. +q -q 축전기에 부가되는 전압이 증가하면서 (c  d), 즉 전하 축적이 증가하면서, 전류는 감소한다.(a  b) t Vmax Vmin Imax Imin c a b d e f g h i j   전압이 감소하면서 (d  f), 회로에는 전류가 반대 방향으로 흐르기 시작한다. (b  e) 즉, 축전기에 충전된 전하들이 방전된다.   음 전압이 감소하면서 (g  i), 역 방향으로 흐르는 전류는 증가한다. (h  j)

21.2 교류 회로에서의 축전기 교류 회로의 축전기 특징 전류 곡선이 전압 곡선보다 90 o 빠르다. 2. 교류로 인해 축전기의 전류가 방해 받으므로 저항의 개념 으로 해석하고, 이를 “전기용량 리액턴스” 라고 한다. 전기용량 리액턴스 Xc = f : 주파수(Hz), C: 전기용량(F) 예제 21.2 축전기만 있는 교류 회로 8.00 mF의 축전기가 rms 교류 전원 150V, 진동수 60 Hz인 교류 발전기의 단자에 연결되어 있다. 전기용량 리액턴스와 실효전류 I rms 를 구하시오.

21.3 교류 회로에서의 인덕터 유도기전력에 의해 역 방향의 전압이 발생하므로 유도리액턴스란 저항 단위의 XL 을 정의 한다. vL = Vmax sin2pft 유도기전력에 의해 역 방향의 전압이 발생하므로 유도리액턴스란 저항 단위의 XL 을 정의 한다. 유도리액턴스 XL = 2pfL f : 진동수(Hz), L: 자체인덕턴스 (H) Note ) L 값이 클 수록 유도기전력이 증가하므로 역방향의 전압의 증가로 전류 흐름이 감소되고(즉 저항 증가), 진동수가 클수록 전류의 변화가 크므로 역방향 전압이 증가하므로 역시 전류 흐름이 감소된다.

인덕턴스 회로의 전류 - 전압 곡선 전류 곡선의 a 점에서 전류는 양의 방향으로 증가하기 시작 따라서 전류의 변화율 DI/Dt는 최대가 되고 인덕터 양단에 걸리는 전압 역시 최대가 된다. t Vmax Vmin Imax Imin a c d b f e a 와 b에서 전류는 증가하므로 DI/Dt 는 감소하여 따라서 전압은 감소하게 된다. . b와 e 사이에서 전류는 감소하여 코일에 전압이 유도 되지만 방향은 역방향이 된다. 즉 전류의 변화와 반대 방향으로 기전력이 유도되는 렌쯔의 법칙에 의함.

교류 회로에서의 인덕터 특성 1. 유도리액턴스 XL = 2pfL f : 진동수(Hz), L: 자체인덕턴스 (H) 2. 전류 곡선이 전압 곡선보다 90 o 늦다. 예제 21.3 인덕터만 있는 교류 회로에서 L= 25.0 mH, rms 전압이 150 V, f = 60 Hz 일때 유도리액턴스와 실효전류를 구하시오.

교류 회로에서 저항 R만 있는 경우 VR, rms = Irms R 전류와 전압 곡선의 위상은 같다. 교류 회로에서 R, L, C 정리 교류전압 v = Vmax sin2pft 로 기술 실효전압 Vrms= Vmax / 2 = 0.707 Vmax 실효전류 I rms = Imax / 2 = 0.707 Imax 교류 회로에서 저항 R만 있는 경우 VR, rms = Irms R 전류와 전압 곡선의 위상은 같다. 교류 회로에서 축전기  전류 곡선이 전압 곡선보다 위상이 90 o 빠르다.  전기용량 리액턴스 XC =  VC,rms = Irms XC 2pf C 1 3. 교류 회로에서 인덕터  전류 곡선이 전압 곡선보다 위상이 90 o 늦다.  인덕터 리액턴스 XL = 2pf L  VL,rms = Irms XL

21.4 교류 회로에서의 R-L-C 직렬연결 vL = Vmax sin2pft L R C 교류 전압에서 R-L-C 를 직렬연결 했을 때 전체 저항(“임피던스”라 함)과 실효전류를 구해보자 다음을 상기하자. 위의 회로에 전류가 흘렀을 때  저항에서 전류와 전압은 위상이 같다. 인덕터에서 전압은 전류보다 위상이 90 o 빠르며, 축전기에선 전압은 전류보다 위상이 90 o 늦다. 따라서 인덕터와 축전기에서 전압의 위상은 180 o 차이가 난다.

VR = Imax R, VL = Imax XL , VC = Imax XC 의 관계식으로 부터 21.4 교류 회로에서의 R-L-C 직렬연결 vL = Vmax sin2pft L R C VL Vmax VL - VC f VR VC  V2max = V2R + (VL - VC )2 VR = Imax R, VL = Imax XL , VC = Imax XC 의 관계식으로 부터 Z 를 임피던스 라고 하며, 직렬로 연결한 RLC 회로의 전체 저항이 된다.

정리 : RLC 교류 회로에서의 임피던스 R – L : R – C : Z = R2 + (XL - XC )2 XL Z 위상각 tan f = f f 는 전류와 전압간의 위상각 차이.

예제 21. 4 직렬 RLC 교류 회로의 분석 : R= 250 W, L=0. 6 H, C=3 예제 21.4 직렬 RLC 교류 회로의 분석 : R= 250 W, L=0.6 H, C=3.50 mF, f = 60 Hz, Vmax = 150 V인 직렬 RLC 회로를 분석하시오. 리액턴스 XL = 2pf L = 2 × 3.14159 × 60Hz × 0.6 H = 226 W 예제 21.4 직렬 RLC 교류 회로의 분석 : R= 250 W, L=0.6 H, C=3.50 mF, f = 60 Hz, Vmax = 150 V인 직렬 RLC 회로를 분석하시오.

 전력 손실은 저항에서 나타나며 Pav = I2rmsR = Irms VR,rms 21.5 교류 회로에서의 전력 교류 회로에서 축전기와 순수한 인덕터에서의 전력 손실은 없다 ( 순수란 저항이나 전기용량이 없는 가상적인 경우를 말함.)  전력 손실은 저항에서 나타나며 Pav = I2rmsR = Irms VR,rms VC VL VR,rms VL,rms - VC,rms Vrms f 도표에서 보면 VR,rms = Vrms cos f  전력 손실은 Pav = cos f ; 역률 (power factor) 혹은 전력인자라고 함. 또한 전력인자 로 표기한다.

즉 XL = XC 일 때 임피던스 Z = R 로 최소가 된다. 예제 21.5 ) 예제 21.4의 평균 전력을 구하시오. 예제 21.4 직렬 RLC 교류 회로의 분석 : R= 250 W, L=0.6 H, C=3.50 mF, f = 60 Hz, Vmax = 150 V인 직렬 RLC 회로를 분석하시오. 21.6 직렬 R-L-C 회로의 공명 ☞ 전류가 최대로 증폭될 때 공명(resonance)이라 함. R2 + (XL - XC )2 임피던스 Z = 가 최소일 때 전류는 최대가 된다. 즉 XL = XC 일 때 임피던스 Z = R 로 최소가 된다. 공명 조건 XL = XC ; 2pfL = 2pf C 1

공명을 이용한 예 공명일 때의 진동수 f0 = 1 2p LC 1. 라디오는 콘덴서의 용량을 변화시키면서 공명 주파수를 변화시키게 된다. 방송국에서는 특정한 주파수를 송신하게 되는데, 이 주파수와 라디오의 공명 주파수가 같으면 전류가 크게 흐르며 음성이 커지게 된다. 2. 공항의 금속탐지기. 사람이 금속 탐지기 문을 지나는데, 문은 커다란 인덕터이다. 회로는 인덕터 내부에 금속이 없을 때 공명이 되도록 제작한다. 금속이 있게되면 인덕턴스가 변해서 흐르는 전류가 변하게 된다. 이때 전자회로에서 이를 감지하여 경고음을 울리도록 제작되어 있다.

기출문제 1. 실효값 100 [V]의 교류전압의 최대값은 몇 [V] 인가 ? 기출문제 2. 정현파 교류에서 최대치 Im 과 실효치 I의 관계로 옳은 것은 ? 기출문제 3. 각속도 w = 376.8 rad/s 인 정현파 교류의 주파수는 몇 Hz 인가 ? (소방98,00,05)

2 기출문제 4. v = 141sin 377 t 인 정현파 전압의 주파수는 몇 Hz 인가 ? 기출문제 5. v = Vsin wt 인 전압에서 wt = p / 6 [rad] 일 때 70.7 [V] 일때 이 전원의 실효값은 몇 [V] 가 되는가 ? 2

기출문제 6. 콘덴서만의 회로에서 전압과 전류 사이의 위상 관계는 ? 기출문제 7. 백열전구를 점등했을 경우 전압과 전류의 위상 관계는 ? (소방96,97,99,00,01,02) 기출문제 8. L-C 회로에서 L 또는 C 를 증가시키면 공진 주파수는 어떻게 되는가 ?

기출문제 9. 그림과 같은 정현파에서 전압파형의 식은 ? V Vm w 기출문제 10. 그림과 같은 정현파에서 v = Vm sin(wt + q)에서 주기 T 는 ? Vm T

기출문제 11. v = Vm sin(wt + 60o) i = Im cos(wt - 70o) 의 위상차는 몇도 인가 ? Imax Vmax Vmin Imin

기출문제 12. 주파수 60 Hz의 정현파 교류에 있어서 위상차 p/6 은 몇초 차이인가 ? 기출문제 13. 그림과 같은 회로의 전류는 몇 [A] 인가? 4W 3W AC 30 [V]

기출문제 14. 저항 3W과 유도리액터스 4W이 직렬로 접속된 회로의 역률은 ? 기출문제 15. 그림과 같은 회로의 역률은 ? (R = 12 W , XL = 20 W, XC = 4 W) vL = Vmax sin2pft L R C

기출문제 17. 그림과 같은 회로의 전압계 지시값은 몇 [V] 인가 ? 기출문제 16. A,B 두 코일이 있다. 여기에 동일 주파수의 동일 전압을 가하면 두 코일의 전류가 같다. A의 역률은 0.92, B 의 역률은 0.78 이라고 한다. 저항비 (RA/RB) ? 기출문제 17. 그림과 같은 회로의 전압계 지시값은 몇 [V] 인가 ? AC 100 V 4 W 8 W 10 W V

기출문제 18. v = 141.4 sin(314 t + p/6), i = 4.24 cos( 314t - p / 6) 의 위상 차는 몇도 인가 ?

기출문제 19. R = 80 [W], L = 160 [mH] 의 코일이 있다 기출문제 19. R = 80 [W], L = 160 [mH] 의 코일이 있다. 이 코일에 100 [V] 60 [Hz] 의 전압을 가할 때 소비되는 전력은 몇 W인가 ? 위상각을 알 수 없는 경우엔 다음 공식을 적용한다.  전력 손실은 Pav = I2rmsR = R = Z2 V 2rms R2 + (XL - XC )2 V 2rms R

기출문제 20. R = 4 [W], L = 8 [mH] 의 코일이 있다 기출문제 20. R = 4 [W], L = 8 [mH] 의 코일이 있다. 이 코일에 100 [V] 60 [Hz] 의 전압을 가할 때 소비되는 전력은 몇 KW인가 ? 위상각을 알 수 없는 경우엔 다음 공식을 적용한다.  전력 손실은 Pav = I2rmsR = R = Z2 V 2rms R2 + (XL - XC )2 V 2rms R