Kirchhoff의 법칙

회로의 한 점에서 회로의 고리를 따라서 전위 차를 더해 나가면서 제자리에 돌아 왔을 때의 전위차는 출발 시의 전위 차와 같다. Kirchhoff의 고리규칙 회로의 한 점에서 회로의 고리를 따라서 전위 차를 더해 나가면서 제자리에 돌아 왔을 때의 전위차는 출발 시의 전위 차와 같다. 전위 차를 더하는 규칙: 저항규칙: 전류의 방향으로 저항기를 지나면 전위차는 i∙R만큼 감소하고 ( -i∙R 을 더하고) 전류의 반대방향으로 지나면 전위차는 i∙R만큼 증가한다 ( i∙R 을 더한다). 기전력규칙: 기전력의 화살표의 방향으로(-에서 +쪽을 향한 방향) 기전력장치를 지나면 전위차는 기전력 E 만큼 증가하고 (+E), 반대방향으로 지나면 기전력 E만큼 감소한다( -E ). 전류의 방향 기전력의 방향

이상적인 기전력 장치와 실제의 기전력 장치의 차이 모든 기전력 장치는 내부 저항을 가지고 있다. 따라서 기전력 장치가 제공하는 실제의 전위차는 기전력 – 내부저항에 의한 전압강하 량 의 크기를 갖는다. 내부저항이 없는 기전력 장치를 이상적인(Ideal) 기전력 장치라고 하는데 이 경우에는 아래의 식과 같이 기전력 = 전위차 가 될 것이다. 위의 그림에서 기전력은 12V 이지만 전지의 내부저항이 2Ω이므로 (전류는 2A) 전지가 제공하는 전위차는 12V – (2A ∙ 2 Ω) = 8V 이다

단일 고리 회로(전류가 흐르는 경로가 하나 밖에 없는 회로) 옆의 그림과 같은 회로가 있을 때 a지점의 전위차를 Va라고 하고 이 위치에서부터 시계방향으로 돌면서 Kirchhoff의 고리규칙을 적용하여 다시 a지점으로 돌아올 때까지 전위차를 더해 보면 다음과 같다. 높은 전위 낮은 전위 Va + E – i∙R = Va 위의 식의 양변에서 Va를 빼면 E – i∙R = 0 이 되고 E = i∙R 이라는 에너지 보존 법칙에 의한 것과 같은 식이 유도된다. (회전 방향을 시계 반대방향으로 해도 같은 결과가 됨을 확인하라)

저항이 여러 개인 단일고리 회로(직렬저항) 옆의 그림의 a 지점에서 시계 방향으로 고리규칙을 적용하면 (R1+R2+R3) 옆의 그림의 a 지점에서 시계 방향으로 고리규칙을 적용하면 Va + E – i∙R1 – i∙R2 – i∙R3 = Va 가 되고 이를 정리하면 E = i ∙ (R1 +R2 + R3) 가 됨을 알 수 있다. 이것은 옆의 아래 그림과 같이 세 개의 저항 값의 합의 크기를 갖는 한 개의 저항이 연결되었을 때와 같은 전류가 흐르게 됨을 알 수 있다.

고리규칙으로 회로의 두 지점 사이의 전위 차를 구하기 기전력은 12V 전위차는 8V 위의 회로에 대하여 시계방향과 반시계방향 양쪽으로 모두 고리규칙을 적용해 보자 고리규칙을 사용하여 두 지점 사이의 전위 차를 구하기 위하여서는 전위차를 구하려는 두 지점의 한 쪽에서 출발하여 다른 한쪽에 도달할 때까지만 고리규칙을 적용한다. 예를 들어서 옆의 그림에서 a와 b 사이의 전위는 다음과 같은 관계가 있다. Va + E - i∙r = Vb 따라서 기전력과 저항치 전류의 값만 알면 Vb - Va = E - i∙r 의 식으로부터 전위의 차이 Vb – Va를 계산할 수 있다.

다중 고리 회로(전류가 흐르는 경로가 두 개 이상인 회로) 옆의 그림처럼 여러 개의 고리 경로 (badb), (bcdb), (badcb) 가 있는 회로를 다중 고리 회로라고 한다. 다중 고리회로에 흐르는 전류를 구하기 위하여 서는 고리규칙 이외에 Kirchhoff의 접점 규칙을 적용하여야 한다. Kirchhoff의 접점규칙 한 지점에 들어오는 전류와 나가는 전류의 합은 같다 위의 회로에어 d의 지점으로 들어 오는 전류는 i1, i3 이고 d지점에서 나가는 전류는 i2이다. 따라서, 접점규칙에 의하면 i1 + i3 = i2의 식이 구해진다. b지점에서도 i2 = i1 + i3 로서 같은 식을 구할 수 있다.

i1 + i3 = i2 은 전류 i1, i2, i3를 구하기 위하여 하나의 힌트로 사용할 수 있다. 그러나 미지수는 세 개인데 힌트는 하나밖에 없으므로 두 개의 다른 힌트를 얻어야 한다. 두 개의 다른 힌트를 얻기 위하여 위 회로에 고리규칙을 적용한다. badb의 고리에 규칙을 적용하면 E1 – i1R1 + i3R3 = 0 의 관계(힌트)를 얻을 수 있고 또 bcdb의 고리를 통하여 E2 + i2R2 + i3R3 = 0의 식을 얻을 수 있다. 따라서 이 세 개의 식 i1 + i3 = i2 E2 + i2R2 + i3R3 = 0 에 의한 연립 방정식으로부터 i1, i2, i3의 값을 구할 수 있다.

R1 R2 E1 E2 i1 i2 i3 a b 연습문제 옆의 회로의 소자들의 값은 다음과 같다. E1 = 3.0V, E2 = 6.0V R1 = 2.0Ω R2 = 4.0Ω 옆의 회로에서 전류 i1, i2, i3의 크기와 올바른 방향을 구하라 접점규칙을 사용하여: i3 = i1 + i2 b지점에서 시계방향으로 왼쪽 고리를 돌면서 고리규칙을 적용하면 -i1R1 + E1 – i1R1 – (i1+i2)R2 – E2 = 0 이고 여기에 값을 대입하면 i1(8.0Ω) + i2(4.0Ω) = -3.0V b지점에서 반 시계방향으로 오른쪽 고리를 돌면서 고리규칙을 적용하면 -i2R1 + E2 – i2R1 – (i1+i2)R2 – E2 = 0 이고 여기에 값을 대입하면 i1(4.0Ω) + i2(8.0Ω) = 0 위의 세 식의 연립방정식의 해를 구하면 i1=-0.5A, i2=0.25A, i3=-0.25A 을 얻는다. 여기서 값이 음수로 나온 부분은 위의 회로에서 전류의 방향이 반대로 주어졌음을 의미한다

RC 회로 옆의 회로에서 스위치를 a에 연결하면 기전장치, 저항, 축전기의 회로가 형성되고 축전기에 전하가 충전되기 시작할 것이다. 충전은 시간이 지남에 따라서 진행되고 최대 충전 량 q는 q = C ∙ V 임을 앞에서 보았다. 위의 회로에서 시간(t)와 충전되는 전하량(q)와 축전기의 전위차(V)사이의 관계를 알아보자 고리규칙을 적용하면 다음의 식을 얻는다: 위의 식에서 미지수가 i와 q 두 개 이므로 식을 바로 풀 수는 없다. 그러나 전류 i는 이므로 이를 대입하면 를 얻는다.

축전기의 충전 Vc = 앞 페이지에서 빨간색으로 나타낸 미분 방정식의 해는 가 된다. 여기서 이다. 가 된다. 여기서 이다. 위 미분방정식의 해가 조건을 만족하는지 t에 0, ∞ 의 값을 대입해 보자 또한 축전기에 흐르는 전류 i는 축전기에 걸리는 전위차 V는 q/C로서 Vc = 가 됨을 알 수 있다.

축전기의 방전 -q0 e –t/RC RC 위의 그림의 축전기가 충전된 상태에서 switch를 b에 연결하면 축전기에 충전되 전하가 방전될 것이다. 이 경우에는 회로 상에서 Battery는 제외되므로 고리규칙을 적용하면 단, 가 되고 로 전하량을 나타낼 수 있고 전류의 경우는 식 를 대입한 미분방정식 e –t/RC -q0 RC 의 초기조건 로 표현할 수 있다. 를 만족시키는 해

RC 회로에서 충전과 방전되는 전하량의 시간에 따른 변화 옆의 위 그래프는 시간에 따라서 축전기에 충전되는 전하량의 그래프이다. 아래 그래프는 방전되는 모습을 보여주고 있다. 시간이 τ 만큼 흐른 후에 충전되는 전하량은 전체 전하량 CV의 몇%가 되는지 계산하여 보자

연습문제 7.0Ω 5.0Ω 4.0V 6.0V 8.0V a b c d i1 i3 i2 1. 옆의 그림에서 전류 i1, i2, i3의 크기를 구하고 올바른 방향을 표시하라. 2. 옆 그림에 있는 4개의 전지는 모두 기전력이 1.5V이고 내부저항이 0.075Ω이다. 전류 i1, i2, i3의 크기를 구하라 i2 i3 i1 3.0Ω

3. 옆의 그림에서 축전기의 전기 용량이 5.0μF이고 저항의 값은 7.0MΩ이고, 전기의 기전력은 30KV(내부저항 없음)라고 할 때: 스위치를 a에 연결했을 때 처음에 흐르는 초기 전류 값을 구하라. 축전기에 전체 용량의 63%가 충전되는데 걸리는 시간을 계산하라. 4. 위의 그림에서 축전기의 전기 용량이 2.0μF이고 저항의 값은 30MΩ이고, 전기의 기전력은 45V(내부저항 없음)라고 할 때: 스위치를 a에 연결한 후 시간이 83초 흐른 후의 축전기에 충전된 전하량을 구하라 스위치를 a에 연결한 후 시간이 83초 흐른 후의 전류를 구하라.

5. 전기뱀장어는 몸 안에 생물학적으로 기전력 장치 기능을 하는 전기세포를 가지고 있다. 전기뱀장어의 전기세포는 140개의 열을 이루고 있고 각 열은 5000개의 전기세포가 직렬로 구성되어 있다. 전기세포 한 개의 기전력은 0.15V이고 내부저항은 0.25Ω이다. 전기뱀장어의 입과 꼬리를 연결하는 물이 800 Ω의 저항구실을 한다고 할 때 뱀장어의 머리에서 꼬리 사이를 흐르는 전류는 몇 A이겠는가? 뱀장어의 몸속에 전류가 흘러도 뱀장어가 멀쩡한 이유는 무엇인가? 6. 자동차가 도로를 달릴 때 지면과 차체의 금속 표면은 축전기의 두 극 판과 같은 구실을 하여 자동차의 금속표면에 전하가 충전되고 자동차가 멈추면 방전현상이 일어난다. 달리던 자동차가 주유소에 멈추어서 주유를 하려고 주유기를 자동차의 표면에 가까이 가져갈 때 차의 표면과 주유기 사이에서 불꽃이 발생하면 화재가 발생할 수 있다. 화재가 발생할 수 있는 불꽃의 에너지의 최소 값이 50mJ 이라고 할 때 화재의 위험으로부터 안전 하려면 차를 멈춘 후 최소 몇 초 이상을 기다려야 하는가? 단, 자동차를 막 멈추었을 때(t=0)의 자동차 표면의 전위차는 30KV, 자동차 타이어 한 개의 저항은 100GΩ (자동차의 바퀴는 4개), 자동차와 지면으로 이루어진 축전기의 용량은 500pF 라고 한다.