Ch.6 계의 에너지 (Energy of a System) 6.1 계와 환경 6.2 일정한 힘이 한 일 6.3 두 벡터의 스칼라곱 6.4 변하는 힘이 한 일 6.5 운동 에너지와 일-운동 에너지 정리 6.6 계의 위치 에너지 6.7 보존력과 비보존력 6.8 보존력과 위치 에너지의 관계

6.1 계와 환경(Systems and Environments) 무시한다. 계 S 우주 U 환경  유효한 계는 •하나의 물체 또는 입자 •물체나 입자들의 집합 •공간의 일부 영역 (예: 자동차 엔진의 실린더 내부) •크기와 모양이 변할 수 있음(예: 고무공처럼 벽에 부딪치면 변형되는 것) 주어진 문제에서 특정한 계가 무엇이든 간에, 계의 경계(system boundary) 라는 가상의 면(꼭 물리적인 면과 동일할 필요는 없다)이 있는데, 이 면은 우주를 계와 그 계를 둘러싼 환경(environment)으로 분리한다.

6.2 일정한 힘이 한 일(Work Done by a Constant Force) 어떤 계에 일정한 크기의 힘을 가하는 주체가 계에 한 일(work) W는 힘의 크기 F, 힘의 작용점의 변위 크기 △r 그리고 cosθ의 곱이다. 여기서, θ는 힘과 변위 벡터가 이루는 각도이다. (스칼라 량) 어떤 힘이 물체의 위치를 바꾸지 못했다면 물체에 한 일은 없다. 움직이는 물체에 작용하는 힘이 그 작용점의 변위에 대해 수직이라면 그 힘이 한 일은 영이다. 일의 단위: = 107 erg in CGS unit

6.3 두 벡터의 스칼라 곱(The Scalar Product of Two Vectors) 일은 에너지의 전달이다. W 가 계에 더해진 일이고 W 가 양(+)이라면 에너지는 계로 전달된 것이고, W 가 음(-)이라면 에너지는 계로부터 환경으로 전달된 것이다. 따라서 계가 환경과 상호 작용한다면 이 상호 작용은 계의 경계를 통한 에너지의 전달로 묘사할 수 있다. 이 결과로 계에 저장된 에너지가 변한다. 6.3 두 벡터의 스칼라 곱(The Scalar Product of Two Vectors) 임의의 두 벡터 A와 B의 스칼라곱 (정의) (교환법칙) (분배법칙)

k j i z (x,y,z) y x 단위벡터 사이의 스칼라곱 두 벡터를 성분으로 표시하면 인 경우 따라서 일(work)은 (참고) 두 벡터의 벡터 곱 : 크기 : 방향 : 두 벡터에 수직이면서 오른나사법칙을 따름

6.4 변하는 힘이 한 일(Work Done by a Varying Force) 힘이 일을 하는 동안 변하거나 이동 경로가 직선이 아닌 경우에는 힘을 일정하게 취급하거나 경로를 직선 으로 근사할 수 있을 만큼 충분히 작은 변위 △x 동안 한 일을 구한 후 모두 더한다. 오른쪽 그림에서 변위 △x 동안 한 일: 전체 변위에 대하여 더하면 구간의 크기를 0으로 접근시키면

어떤 계에 하나 이상의 힘이 작용하고 그 계가 입자로 모형화될 수 있다면, 그 계에 대해 해준 전체 일은 알짜힘이 한 일과 같다. 보다 일반적인 경우

◈ 용수철이 한 일(Work Done by a Spring) 용수철이 평형 상태에서 작은 거리만큼 늘어나거나 줄어들면 이 용수철이 물체에 작용하는 힘은 다음과 같다. Hooke’s Law x: 평형 위치로부터의 변위 k: 용수철 상수(N/m) 음(-)의 부호는 용수철 힘이 언제나 평형 상태로부터의 변위에 반대 방향이라는 것을 의미한다. 항상 평형상태(x=0)를 향하기 때문에 종종 복원력(restoring force)이라고 한다.

로 표현하면 -xmax에서 0까지 물체가 움직일 때 용수철이 한 일 => 이것은 면적과 같다!!! 임의의 구간 동안 용수철이 물체에 한 일은

외부에서 힘을 작용하여 물체를 xi=-xmax에서 xf =0까지 매우 천천히 움직이도록 한 경우 이 일은 같은 변위에 대해 용수철 힘이 한 일의 음(-)과 같다. 물체가 -xmax에서 0까지 움직이는 동안 외부 주체가 용수철이 늘어나지 못하도록 안쪽으로 밀어주어 그 방향이 힘의 작용점의 변위와 반대가 되기 때문이다. 물체의 변위( )에 대해 용수철 힘이 아닌 외력이 계에 한 일:

(Kinetic Energy and the Work-Kinetic Energy Theorem) 6.5 운동 에너지와 일-운동 에너지 정리 (Kinetic Energy and the Work-Kinetic Energy Theorem) 물체에 알짜힘이 작용하여 그 물체가 가속도를 가지고(속도 변화) 움직이는 경우를 생각하면 를 대입하면 알짜힘이 질량 m인 입자에 한 일은 운동에너지의 처음 값과 나중 값의 차이와 같다.

일-(운동)에너지 정리 운동에너지(kinetic energy)의 정의 … 스칼라량, 단위: J(Joul) 어느 계에 일이 가해지고 그 계의 유일한 변화가 속력의 변화라면, 알짜힘이 한 일은 그 계의 운동 에너지의 변화와 같다. 일-운동 에너지 정리에 의하면 어떤 계의 속력은 가해진 알짜일의 부호가 양(+)이면 증가하는데, 그 이유는 나중 운동 에너지가 처음 운동 에너지보다 크기 때문이다. 알짜일이 음(-)이라면 속력은 감소하는데, 이것은 나중 운동 에너지가 처음 운동 에너지보다 작기 때문이다. 일-운동 에너지 정리의 △K는 단지 처음과 나중 위치에서의 속력에만 관계하고, 이 두 점 사이의 구체적인 경로와는 무관하다.

6.6 계의 위치 에너지(Potential Energy of a System) 책과 지구로 구성된 계에서 두 물체(책과 지구)는 중력에 의해 상호 작용한다. 이 때 책을 천천히 들어올리면 계에 일을 하게 된다. 일은 에너지의 전달이므로, 계에 한 일은 계의 에너지 증가로 나타나야 한다. 또 책은 일을 하기 전후에 정지 상태이다. 따라서 계의 운동 에너지는 변하지 않는다. 계의 에너지 변화가 운동 에너지 변화가 아니기 때문에, 다른 형태의 에너지로 저장되어야 한다. 책을 들어올린 후 놓으면 낙하할 때 운동 에너지를 가지며, 그 에너지는 책을 들어올릴 때 해 준 일에서 온 것이다. 책이 높은 위치에 있을 때, 계에는 운동 에너지로 바뀔 수 있는 잠재적인 에너지가 있었고, 이것이 책이 떨어지면서 운동 에너지로 바뀌게 된 것이다. 책을 놓기 전의 에너지 저장 형태를 위치 에너지(potential energy)라 한다.

책을 가속도 없이 천천히 들어올리는 경우, 들어올리는 힘은 물체에 작용하는 중력과 크기가 같으며, 물체는 평형 상태에서 등속 운동한다. 외력이 계에 한 일은 : 중력 위치 에너지 (gravitational potential energy) 중력 위치 에너지는 단지 지표면 위 물체의 연직 높이에만 의존한다. 물체-지구 계에 한 일은 물체를 연직 방향으로 들어올리거나, 같은 지점에서 출발하여 마찰이 없는 경사면을 따라 같은 높이까지 밀어 올릴 때 한 일과 같다.

◈ 탄성 위치 에너지(Elastic Potential Energy) 용수철과 물체로 구성된 계를 고려하면 탄성 위치 에너지(elastic potential energy) (정의)

6.7 보존력과 비보존력(Conservative and Nonconservative Forces) 처음에는 운동에너지를 가지고 있었다. (b) 표면이 다소 따뜻해졌으며, 계의 운동에너지가 변환되었기 때문이며 온도와 연관된 이 에너지를 내부 에너지(internal energy)라고 하고 Eint라 한다. (c) - 지표면 근처에서 아래로 떨어지는 물체; 중력이 물체에 한 일은 연직으로 떨어지거나 경사면을 미끄러지거나 관계하지 않는다. 중요한 것은 물체의 고도 변화이다. 그러나 경사면에서의 마찰에 의한 내부 에너지로의 변환은 물체가 미끄러지는 거리에 의존한다 이러한 경로 의존성에 따라 힘을 보존력과 비보존력으로 구분한다. 위에서 살펴본 힘 중에서 중력은 보존력이고, 마찰력은 비보존력이다.

◈ 보존력(Conservative Forces) 1. 두 점 사이를 이동하는 입자에 보존력이 한 일은 이동 경로와 무관하다. 2. 폐경로를 따라 이동하는 입자에 보존력이 한 일은 영(0)이다 (폐경로는 출발점과 도착점이 같은 경로를 말한다). 일반적으로 계의 구성 요소 중 한 물체가 한 점에서 다른 점으로 이동할 때, 보존력이 한 일 Wc는 계의 위치 에너지의 처음 값에서 나중 값을 뺀 것과 같다. ◈ 비보존력(Nonconservative Forces) 보존력에 대한 성질 1과 2를 만족하지 못하는 힘을 비보존력이라고 한다. 마찰력이 대표적인 비보존력이다. 계의 운동 에너지와 위치 에너지의 합을 역학적 에너지(mechanical energy)라고 정의한다. 계 내부에서 작용하는 비보존력은 역학적 에너지의 변화를 초래한다.

6.8 보존력과 위치 에너지의 관계 (Relationship Between Conservative Forces and Potential Energy) 보존력이 계 내부에서 한 일과 위치 에너지의 감소가 같도록 위치 에너지 함수(potential energy function) U를 정의할 수 있다. 1차원으로 고려하면 일반적으로 Ui의 값을 영(0)으로 잡는다. 실제로 Ui를 어떤 값으로 잡든지 관계 없다. 왜냐하면 영이 아닌 값은 Uf (x)를 상수 만큼만 이동시킬 뿐이고, 물리적으로 의미를 갖는 것은 위치 에너지 변화이기 때문이다. 또, 힘의 작용점이 미소 변위 dx 만큼 움직인다면, 계의 미소 위치 에너지 변화 dU는

Ch.7 에너지의 보존(Conservation of Energy) 7.1 분석 모형: 비고립계(에너지) 7.2 분석 모형: 고립계(에너지) 7.3 운동 마찰이 포함되어 있는 상황 7.4 비보존력에 의한 역학적 에너지의 변화 7.5 일 률

7.1 분석 모형: 비고립계(에너지)(Analysis Model: Nonisolated System (Energy) 비고립계에서는 에너지가 계의 경계를 넘을 수 있기 때문에 비고립계의 전체 에너지가 변한다. 이 에너지 변화의 상황 분석을 통하여 에너지 보존이라는 매우 중요한 법칙을 얻는다. 이 에너지 보존 원리는 생물학적인 유기체, 기술적인 복합체 및 공학적인 상황 등에 광범위하게 적용되고 있다. 계가 환경과 어떠한 작용도 하지 않을 때는 계는 고립되어 있다. 고립계에서는 에너지가 계의 경계를 넘을 수 없다. 따라서 고립계의 전체 에너지는 일정하다.

계의 에너지는 생성되지도 않고 소멸되지도 않아 항상 보존된다. 계의 전체 에너지가 변한다면, 그 이유는 오직 앞에서 나열한 에너지 전달 방법 중 어떤 에너지 전달 방식으로 에너지가 계의 경계를 넘었기 때문이다.

◀ 에너지 보존식 우변이 0일 때 고립계가 된다. Esystem 계의 전체 에너지로서 계에 저장 가능한 모든 에너지 (운동 에너지, 위치 에너지 그리고 내부 에너지 등) T 어떤 전달 과정을 거치면서 계의 경계를 넘어 전달되는 에너지 양. 일 열 역학적 파동 물질 수송 전기송전 전자기 복사 우변이 0일 때 고립계가 된다.

7.2 분석 모형: 고립계(에너지)(Analysis Model: Isolated System(Energy) 들어올렸던 책이 원래 위치로 되돌아올 때 중력이 한 일에만 초점을 맞추어 보자 (일-에너지 정리) 여러 가지 위치에너지 형식에 대해 일반화하면

이므로 비보존력이 작용하지 않는 고립계의 역학적 에너지는 보존된다. 계 내부에 비보존력이 있으면 역학적 에너지는 보존되지 않지만, 계의 전체 에너지는 보존된다 역학적 에너지 보존법칙을 풀어쓰면 중력에 의해 낙하하는 책의 경우(공기저항 무시)…비보존력이 작용하지 않는 고립계

7.3 운동 마찰이 포함되어 있는 상황(Situations Involving Kinetic Friction) 좁은 의미의 일-운동 에너지 정리는 입자 모형으로의 가정이 가능한 입자나 물체에 대하여 유효하다. 그런데 마찰력이 존재할 때는, 미시적 마찰력에 의한 일을 계산할 수 없다. 이러한 상황에서는 뉴턴의 제2법칙을 사용하고 운동 마찰력이 하는 일을 도입하면 일-운동 에너지를 역시 적용할 수 있게 된다. 표면 위에서 미끄러지는 책처럼 변형이 없는 경우는 상대적으로 쉽게 다룰 수 있다. 미시적 마찰력 fk 외의 다른 힘을 고려하면, 마찰력은 계의 내부에 있는 운동 에너지를 내부 에너지로 변환시킨다. 이 때 계의 내부 에너지 증가량은 운동 에너지의 감소량과 같다.

7.4 비보존력에 의한 역학적 에너지의 변화 (Changes in Mechanical Energy for Nonconservative Forces) 앞 절에서 다룬 표면 위에서 미끄러지는 책을 생각해 보면, 책도 계의 일부로 포함하여 위치 에너지의 변화도 존재하는 계를 생각한다. 이 경우 -fkd는 운동 마찰력에 의한 역학적 에너지의 변화량이 된다. 이 식을 일반화하면, 고립계 안에서 비보존력인 마찰력이 작용할 때 비고립계 안에서 비보존력이 작용할 때는

7.5 일률(Power) 순간 일률 에너지 순간 일률(instantaneous power): 에너지 전달의 시간에 대한 비율 평균 일률(average power): 시간 △t 동안에 물체에 한 일이 W일 때 순간 일률 단위: 에너지