10. 5. Two-Particle Problem 좌표변환 2개 이상의 입자 입자들 중심(Center of mass)의 병진운동 & 중심에 대한 상대운동 𝒑=𝜇𝒗 예 수소원자 central potential : 𝑉(𝑟) : 𝐻 안에 없음 𝑅 : cyclic coordinate :일정 질량 M 자유입자 & Central potential 𝑉(𝑟) 안의 질량 μ 입자

𝐻 의 변환 새로운 좌표계에 대한 commutation relation ! Old 좌표계 연산자 New 좌표계 연산자 𝐻 의 변환 새로운 좌표계에 대한 commutation relation ! Old 좌표계 연산자 New 좌표계 연산자 변수분리가능 !! 고유함수 고유치 구좌표계 각변수 질량중심 벡터 ℛ 질량중심에 대한 상대좌표계의 변수 Center of Mass frame Lab frame

질량 M 인 자유입자에 대한 Schrödinger 방정식과 해 𝓡 선운동량 or 궤도각운동량 Central potential에 대한 Radial 방정식 상대 좌표에 대한 Schrödinger 방정식 구좌표계 등방성 𝐿 2, 𝐿 z 각운동량 연산자와 교환가능 𝐻 , 𝐿 2, 𝐿 z 공통고유함수 가짐 변수분리법 𝑟 에 대한 2차 상미분방정식 !! 각운동량 장벽

수소원자

고유함수 φ 의 규격화 𝑚 1 주위 𝑟 2 𝑑𝑟𝑑Ω 공간에서 𝑚 2 를 발견할 확률 ? or 𝑚 1 주위에 𝑟 과 𝑟+𝑑𝑟 사이 구각에서 𝑚 2 를 발견할 확률 원점 주위의 거리 𝑟 과 𝑟+𝑑𝑟 사이 구각에서 가상적 질량 μ 를 갖고 있는 입자를 발견할 확률

연속 및 경계조건 실험실 좌표계에서 표시한 파동함수 입자발견확률 6개 parameters 6개 parameters 고전적으로 금지된 영역 : 𝐸<𝑉 연속 및 경계조건 𝑅(𝑟) : finite or bounded 𝑎𝑡 𝑟=0 𝑟>0, 𝐸:𝑏𝑜𝑢𝑛𝑑𝑒𝑑 & 𝑉 𝑟 :𝑏𝑜𝑢𝑛𝑑𝑒𝑑 Bounded!! 연속!! 𝜕𝑢/𝜕𝑟 : 연속 & 𝑢 : 연속

10.6 The Hydrogen Atom 𝑢=𝑟𝑅(𝑟) Hamiltonian and Eigenenergies 상대 좌표 Hydrogen-like atom potential 원자번호 Z Hamiltonian Schrödinger 방정식 Bound states ? Radial 방정식 𝑢=𝑟𝑅(𝑟) 변수치환 Rydberg 상수 Bohr radius

Hydrogen-like atom에 대한 Schrödinger 방정식의 radial 방정식 Large 𝑢→0 해 B=0 ρ : 원점 부근 해 ρ : 원점부근 𝑢→0 A=0 2 개 asymptotic solutions & polynomial 전개 𝑢 ρ 원식에 대입 계수 𝐶 𝑖 ? 주어진 양자수 𝑙 에 대한 고유치 λ 인 고유치방정식 같은 ρ 차수의 계수가 0 𝑖→∞ 𝐶 𝑖+1 ~ 𝐶 𝑖 /𝑖 recurrence relation

ρ→𝑙𝑎𝑟𝑔𝑒 𝑢(ρ)→𝑑𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒 한정된 파동함수를 얻기 위해서는 원식 𝑢(ρ) 와 𝐹(𝜌) 에서 주어진 𝑙 값에 대해 어떤 𝒊 값 에서 이 series 가 끝나야 함 𝑖,𝑙>0 Γ=0 한정된 polynomial 항 finite !! 지수적으로 감소하는 함수의 곱 주양자수 𝑖,𝑙→정수 principal quantum number, n λ→정수 cut-off 조건 𝑢(ρ): finite & 고유치에너지 Bohr model 에서 구한 값과 일치!!

주양자수 𝑛 에 대한 각운동량 양자수 𝑙 은 𝑙 𝑚𝑎𝑥 =𝑛−1 보다 클 수 없음 !! Laguerre Polynomials 규격화상수 Cut-off 수소원자 고유함수 고유치 𝐸 𝑛 Cut-off 계수 𝐶 𝑖 recurrence 관계식 Polynomials 𝐹 𝑛𝑙 (𝜌) Degeneracy 주양자수 𝑛 에 대한 각운동량 양자수 𝑙 은 𝑙 𝑚𝑎𝑥 =𝑛−1 보다 클 수 없음 !! 주양자수 𝑛 에만 의존 !! 독립된 고유함수 !! 다른 각운동량의 상태들은 degenerate !! 파동함수는 spherical harmonics, 𝑌 𝑙 𝑚 𝜃,𝜑 , 포함 각 𝑙 값은 2𝑙+1 의 𝑚 𝑙 값 존재 고유치 𝐸 𝑛 에 대한 총 degeneracy

주양자수 n=1,2,3에 대해 가능한 𝑙, 𝑚 상태들 수소와 유사한 원자의 주양자수 n 에 대해 𝑛 2 degenerate 상태들을 보여주는 term diagram 가능한 𝑛, 𝑙, 𝑚 값들

고유함수의 추가적인 성질 Hydrogenic Hamiltonian 의 고유함수와 고유치 규격화 상수 직교성

The Ground State 기저상태 규격화 상수 𝐴 10 ? 수소원자 내의 전자의 고유상태와 고유에너지 2S 2p 3S

수소원자 파동함수의 추가적 성질 무차원 확률밀도함수 무차원 radial 함수 초기상태 𝑡≥0 에서 상태 전하밀도 일정 Radiation이 없음 !!

Probability density configuration ∝ z-축에 대해 회전대칭 1S 2P 3D 4F 2S 3P 4D 5F z-축(polar axis)을 포함한 단면

Hybridization 원자의 파동함수는 원자와 원자 결합에서 기하학적 방향성 보임 예 수소원자 2P 𝑙=1, 2𝑙+1=3 3개의 어떤 선형결합상태도 동일 고유에너지 -ℝ/4 가짐 다음의 3개의 직교하는 파동함수 역시 원래 파동함수와 같이 준차원적 (즉, 𝑙=1 상태) Hilbert 공간을 펼칠 수 있음 각 xyz 축에 8 자의 분포 분자의 형성 Methane 분자, 𝐶 𝐻 4 형성 탄소 2P 전자들의 분포는 2 𝑠 2 2 𝑝 2 배치 이들 4개의 전자들에 적당한 파동함수는 상기의 3개의 2 𝑃 𝑥,𝑦,𝑧 상태들의 선형결합 + 수소의 2S 상태들

이들 4개의 ψ 궤도에 있는 전자는 탄소의 외각에 있는 4개 전자로서 (1,1,1), (-1,-1,1), (1,-1,-1), (-1,1,-1) 의 방향을 따라 파동함수의 확률밀도 maximum 이 있고 공통의 원점을 가짐. 이들은 수소의 2S 전자 와 covalent bonding 을 함

10.7 Radiation의 기초원리 수소원자는 정상상태에서 방사하지 않음 고전전자기학 가속되는 전하는 에너지를 방사하므로 collapse ! 양자역학 수소원자의 𝜓 𝑛𝑙𝑚 상태에서는 잘 정의된 각운동량이 있음. Radiation 을 주는 가속운동 존재 ? 𝐿 2 를 알더라도 3개 중 2개의 𝐿 성분은 불확실. 〈 𝑟 〉 : 위치에 대한 기대치 예 전자위치 기대치 〈 𝑟 〉 ~ 𝑒 𝑧 cos 𝜔𝑡 라면 단순조화진동 “dipole radiation” 원점에 중심을 둠 시간에 의존 않함 Isotropic Hamiltonian 어떤 특별한 방향성을 갖고 있지 않음 〈 𝑟 〉 : 어떤 일정한 vector가 될 수 없음. 수소원자의 고유상태 〈 𝑟 〉=0. 원자에 의한 전자기파의 방사는 ? Gas 내의 원자간 충돌 등으로 원자 내의 전자가 한 에너지 준위에서 다른 에너지 준위로 천이할 때

최종상태 천이가 일어나는 시간 동안 & 시간에 의존 붕괴(천이) 과정 중 전자의 위치에 대한 기대치 총 천이시간 Bohr 진동수 ≠0 order 1 phase factor

Selection Rules 전자조화진동 dipole radiation 고전적 전자 방사 power 쌍극자 Square matrix 계산 𝑛, 𝑛 ′ 선택규칙 예 금지된 전이 & 각운동량을 갖고 나감 : ∆𝑙=−1 각운동량 1 : photon : Boson ∆𝑛 제한없음 : 𝐹𝑟𝑜𝑚 모든 𝑙𝑒𝑣𝑒𝑙 𝑡𝑜 𝑛′=1 : Lyman 계열, 𝑛′=2 : Balmer 계열

∴ 𝒆𝜱 𝒓 충분히 많은 전자를 갖고 있는 원자의 반경 10.8 Thomas-Fermi Model 통계적 처리 가능한 계에 한정 Model 전하 𝑍𝑒 핵 주위에 구 대칭 𝑍 전자들의 분포 Medium 내의 potential Φ 𝑟 : 완만하게 변하는 함수 Fermi energy 0˚K에서 전자군 내의 한 전자가 가질 수 있는 최대 운동에너지 𝐸 𝐹 상온에서 수백배 전자 밀도 𝑛(𝑟) 전자 에너지 일 경우 : 전자탈출 ∴ 𝒆𝜱 𝒓 𝑟 에서 최대운동에너지 Poisson's eq. 경계조건 핵주위 &

(𝑟,Φ) (𝑥, 𝜒) 무차원 변수치환 Thomas-Fermi 방정식의 표준형 경계조건 Z에 따른 원자크기의 변화 한종류의 주양자수(𝑛)내의 주어진 shell(𝑙) 내에서만 들어맞음 𝑎= 원자의 효과적인 반경