유클리드 이후의 그리스 수학. 아르키메데스 ( 기원전 287-212) 죽은 뒤 묘비위에 원기둥에 내접한 구 모형을 만 들어 달라고 저서 : 평면기하에 관한 것 ① 원의 측정 - π 를 계산 하는 고전적인 방법을 처음시도 ② 포물선의 구적법 - 24 개의 명제로 구성,

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1 유클리드 이후의 그리스 수학

2 아르키메데스 ( 기원전 287-212) 죽은 뒤 묘비위에 원기둥에 내접한 구 모형을 만 들어 달라고 저서 : 평면기하에 관한 것 ① 원의 측정 - π 를 계산 하는 고전적인 방법을 처음시도 ② 포물선의 구적법 - 24 개의 명제로 구성, 한 포물선과 그 포물선을 자 르는 현에 의해 생기는 도형의 면적은 밑변이 현 이고 다른 한 꼭지점은 포물선 위의 점으로서 그 곳에서의 접선이 현과 평행이 되는 내접삼각형의 면적의 4/3 이 됨을 보임 ③ 나선에 관하여 - 28 개의 명제로 구 성, 아르키메데스의 나선에 관한 성질

3 ▶ 공간기하학에 관한 것 ▶ 산술에 관한 것 ▶ 응용수학에 관한 것 ▶ 그 밖의 논문 ① 방법 - 적분법의 착상과 대단히 밀접한 관계가 있는 논문 ② 구 제작에 관하여

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5 에라토스테네스 (?- 기원전 194) 지중해의 남쪽 연안에 있는 키레네에서 태어났으며 나이 는 아르키메데스보다 몇 살 쯤 아래이다. 약 40 세쯤 되었을 때 이집트의 톨레미 3 세의 초청으로 알 렉산드리아로 와서 그의 아들의 개인교수로 일했고 또 알 렉산드리아 대학의 도서관장을 지내기도 하였다. 노인이 되었을 때 눈병 때문에 거의 장님이 되다시피 하여, 결국 스스로 단식하여 자살하고 말았다. 수학자, 천문학자, 지리학자, 역사학자, 철학자, 시인, 운 동가로써 명성을 날렸다. 에라토스테네스의 체

6 아폴리니우스 ( 기원전 262- 기원전 190) 앞의 두 사람과 더불어 기원전 3 세기 수학의 3 대 거인 알렉산드리아에 유학해서 유클리드의 후계자로부터 배웠 고 오랫동안 그 곳에 남아 있다가 나중에 서부 소아시아 지방에 있는 페르가뭄을 방문했다가 다시 알렉산드리아 로 돌아와 죽었다. 천문학자이자 수학자 원추곡선론 8 권

7 아폴로니우스의 문제 : 세 개의 원이 주어졌을 때 이들 모 두에 접하는 한 원을 작도하기 A, B 가 고정된 점이고 k 가 주어진 상수일 때 AP/BP=k 인 점 P 의 자취는 원 (k≠1) 이거나 직선 (k=1) 이다.( 아폴리니 우스의 원 ) A, B,… 이 고정된 점이고, a, b, …, k 가 주어진 상수일 때 a(AP) 2 +b(BP) 2 +…=k 인 점 P 의 자취는 원이다.

8 히파르쿠스 (Hipparchus) 기원전 140 년경에 활약한 뛰어난 천문학자 천문학에서 평균 음력 한 달의 길이를 오늘날 값과 1” 밖에 차이가 나지 않는 값을 구함 황도의 경사각을 정확히 계산 연중세차운동을 발견하고 추정 태음시차를 계산 달의 근지점과 평균운동을 밝혔으며 850 개의 항성을 목 록화 원을 360 도 분할한 것을 그리스에 소개한 사람도 그며, 지 구 위의 각 지점의 위치를 위도와 경도로 나타내자고 주장 함 현표를 만듦

9 메넬라우스 (Menelaus) 구면론 - 그리스에서 삼각법의 발전에 대한 연구에 상당한 빛을 준 작품. 두 구면삼각형은 그 대응각의 크기가 같기만 하면 합동이 다. 구면삼각형의 내각의 합은 180 도 보다 크다.

10 프톨레마이오스 (Claudius Ptolemy) 수학대계 - 13 권으로 쓰여진 논 문으로 천문학 내용과 기하학 내용이 들어있음. 로 알려짐. 유클리드의 제 5 공준 ( 평행에 관한 공준 ) 을 최초 가정에서 빼버리기 위하여 에 있는 그 밖의 다른 공리나 공 분으로부터 이를 유도해 보려고 했으나 결국 수포로 돌아 가고 말았다.

11 프톨레마이오스의 정리 : 원에 내접하는 사각형에서 두 대각 선의 곱은 두 쌍의 대변의 곱의 합과 같다. 즉, 사각형 ABCD 가 원에 내접할 때, AB·CD ＋ AD·BC ＝ AC·BD 가 성립한다. 또 역으로 볼록사각형 ABCD 에서 위의 관계가 성립하면, 이 사변형은 원에 내접한다.

12 헤론 공학과 측지에 관한 많은 과학적 기초를 제공 백과사전적 작가 측정론 ▷ Ⅰ권 - 정사각형, 직사각형, 삼각형, 사다리꼴, 그 밖의 다양 한 사각형 또 이등변 삼각형으로부터 12 각형까지의 다각형, 원, 원의 일부분, 타원, 포물선과 선분으로 만들어지는 부분 등의 면적과 원기둥, 원뿔, 구, 구면띠 등의 곡면적을 다루 고 있음.( 헤론의 공식 유도 ) ▷ Ⅱ권 - 원뿔, 원기둥, 평행육면체, 각기둥, 피라미드 등의 부 피와 원뿔, 피라미드, 구, 구면대, 원환체, 다섯 개의 정다면 체, 각대 등의 절두체의 부피를 다루고 있음. ▷ Ⅲ권 - 면적과 부피 등을 주어진 비로 나누는 문제를 다룸.

13 고대 그리스의 대수 ▷ 수사적 대수 - 문제의 해가 약어나 기호를 사용하지 않 고 순수한 산문형태로 쓰여진 것 ▷ 생략적 ( 약어 ) 대수 - 빈번히 나오는 양이나 연산에 관하 여 어떤 약어를 사용하는 것 ▷ 기호대수 - 해가 주로 그것을 표현하는 내용과 별로 관 계없는 기호로 만들어진 수학적 속기의 형태로 나타나는 것 디오판투스 이전의 수학은 거의 다 수사적 대수이고 ( 디오 판투스의 업적 중 하나가 약어 대수의 장을 연 것이다.) 특 히 서유럽에서는 15 세기에 이를 때까지 대부분 대수가 수 사적인 형태로 있었다. 특히 서유럽에서는 15 세기에 이를 때까지 대부분 대수가 수사적인 형태로 있었고 서유럽에 기호대수가 처음 등장한 것은 16 세기 이지만 17 세기 중엽 까지도 널리 퍼지지 못했다. ( 오늘날의 기호체계는 400 년 도 채 못 되었다.)

14 디오판투스 ① 산학 - 13 권의 책으로 구성되었으며 대수적 수론을 해 석적 논법으로 쓴 책으로서 디오판투스를 이 분야에서 천 재로 만들어 준 책이다. 이 저작의 현존하는 부분은 약 130 여 개의 다양한 문제의 해를 다루고 있으나 대체로 1 차 또는 2 차 방정식에 관한 것이다. ② 다각수에 관하여 - 일부분만이 현존 ③ 계론 - 분실됨 생략 속기법의 대수적 표기를 이용한 최초의 인물 (p.173) 미지수, 미지수의 6 승까지의 멱, 뺄셈, 등식, 역수 등에 대 하여 생략표기를 사용함 부정방정식 - 디어판투스는 유리해만 구했음

15 디오판투스의 생애에 관해서 우리가 알 수 있는 것은 에 나오는 묘비명의 다음 요약뿐이다. “ 디오판투스는 그의 생애의 1/6 을 소년으로 보냈고 1/12 을 청년으로 보냈으며 그 뒤 1/7 이 지나서 결혼했다. 결혼 한 지 5 년 뒤에 아들을 낳았고 그 아들은 아버지의 나이의 반을 살다 죽었고 아들이 죽은 지 4 년이 지나 아버지가 죽 었다.” 디오판투스는 몇 살까지 살았는가 ?

16 파푸스 유클리드의 원론, 자료론, 및 프톨레마이오스의 알마게스 트, 평면천체도 등에 대한 주석을 씀 수학집성은 당시까지 알려져 있던 기하학의 연구에 대한 주석 및 안내서로서 많은 독창적인 명제, 개정, 확장, 역사 적 내용 등이 실려져 있다. 이 책은 무려 30 명 이상의 고대 수학자의 작품을 인용하거나 언급하고 있다.

17 Ⅴ권 - 등주도형론에 관한 내용. 동일한 크기의 둘레를 갖는 도형의 면적이나 동일한 크기의 표면적을 갖는 입체의 부 피를 비교 네 개의 반직선이 두 횡단선과 만날 때 그 대응 교점을 A, B, C, D 와 A’, B’, C’, D’ 라 하면 두 복비 (AB, CD) 와 (A’B’, C’D’) 는 같다. 즉, (AC/CB)/(AD/DB)=(A’C’/C’B’)/(A’D’/D’B’)

18 파푸스의 중선 정리

19 토론 과제 원뿔을 잘라 아폴로니우스의 원추곡선 3 가지를 보이고, 그 어원과 각 곡선에 대해 설명하시오. 아폴로니우스의 「평면자취론」에 있는 첫 번째 정리가 무엇인지 쓰고, 일 때 직선이고 일 때 원 이 됨을 증명하시오. (p.161 참조 ) 선분 AC 위에 중점이 아닌 점 B 를 잡는다. 점 B 에 서 AC 에 수선을 올릴 때 그것이 AC 를 지름으로 하는 반원 ( 중심이 O) 과 D 에서 만나고, B 에서 OD 에 내린 수선의 발을 F 라 한다. 그러면 OD, BD, FD 가 각각 두 선분 AB 와 BC 의 산술평균, 기하평 균, 조화평균이 됨을 보이고, AB≠BC 이면 “ 산술평 균 > 기하평균 > 조화평균 ” 이 성립함을 보이시오.