확률현상의 관찰과 실험 아주대학교 이승호 031-219-2560

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1 확률현상의 관찰과 실험 아주대학교 이승호 031-219-2560 sholee@ajou.ac.kr

2 X( ) 확률변수 1, 3, 5, 2, 4, 6, 를 던지면 ==> 무엇이 나올 지 모른다 (?)  나올 수 있는 것들을 다 적어보자 표본공간

3 3, 2, 6, 1, 2, 3, 5,... ? 02136457 실험 : 를 실제로 굴려 무엇이 나오는 지 관찰하자 X 확률변수 실현 값 관측 값 X 확률변수 실현 값 관측 값

4 3, 2, 6, 1, 2, 2, 5, ? 02136457 실험 : 를 계속 굴려보면 각 값들이 어떻게 나올까 ? ?

5 124365 1/6 ???

6 (1, 3) => 2.0 (6, 2) => 4.0 (2, 5) => 3.5

7 124365 1/6 ???

8 DISCRETE PROBABILITY DISTRIBUTIONS The Binomial Distribution The Geometric and Negative Binomial Distributions The Hypergeometric Distribution The Poisson Distribution The Multinomial Distribution

9 Probability mass function and cumulative distribution function of a B (8, 0.5) random variable

10 Probability mass function and cumulative distribution function of a B (8, 1/3) random variable

11 Probability mass function and cumulative distribution function of a B (8, 0.5) random variable

12 CONTINUOUS PROBABILITY DISTRIBUTIONS 1 The Uniform Distribution 2 The Exponential Distribution 3 The Gamma Distribution 4 The Weibull Distribution 5 The Beta Distribution

13 Probability density function of a U(a, b) distribution Probability density function of a U(a, b) distribution

14 Probability density function of an exponential distribution with parameter = 1

15 Probability density functions of gamma distributions

16 Probability density functions of the Weibull distribution Probability density functions of the Weibull distribution

17 Probability density functions of the beta distribution

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19 The standard normal distribution THE NORMAL DISTRIBUTION

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21 대수의 법칙 Law of Large Numbers Borel 의 대수의 법칙 => Kolmogorof 의 대수의 법칙 =>

22 Generation of Pseudo-Random Numbers The Standard Uniform Distribution ( mid-square method, congruence method) The Integral Transform Methods ( Exponential Distribution, etc. ) The Accept-Reject Methods ( Gamma Distribution, The Weibull Distribution)

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26 안과 밖에서 접하는 정다각형으로 조여가는 근사방법을 사용하여 3.14 까지 얻는데 몇 각형이 필요한 지 짐작해본다. 원주율 를 어떻게 구할지 겨루어본다. 원주율 를 어떻게 구할지 겨루어본다.

27  아르키메데스 BC 250 년경 -> 소수 2 자리 ( 3.14)  유휘 ( 중국 ) 263 년경 정 3072 각형 -> 소수 5 자리 (3.14159)  루돌프 코일렌 ( 독일 1540 - 1610 ) -> 소수 35 자리 ... 를 계산하고자 노력한 사람들을 소개한다. 를 계산하고자 노력한 사람들을 소개한다.

28  미적분학의 발견이후 무한급수법 발견  1958 년 -> 1 만 자리  1995 년 -> 42 억 9 천 4 백 96 만 자리  2002 년 도쿄대학 -> 1 조 2400 억 자리

29  넓이 1 인 정사각형 안에 골고루 들어가는 화살을 쏘는 장치가 있다면 를 계산하는데 응용할 수 있는지 생각해본다.  이 방법을 “ 몬테칼로 방법 ” 이라 한다고 알려줌. 난수를 이용하여 값을 구해보자

30 화살이 맞은 자리 를 0 과 1 사이에서 임의로 뽑은 두 개의 난수로 표시하기로 하고, 이 화살이 4 분의 1 쪽 과녁에 명중인지 아닌 지 판별 하도록 한다. 유니폼 난수를 이용하여 값 구하기

31  MINITAB 쏘프트웨어를 이용하여 화살을 번 쏘아 명중횟수 을 센다.  를 사용하여 값을 근사 계산하여 본다.  을 100, 500, 1000, 10000 으로 늘려 가면서 근사값이 어떻게 변하는 지 살펴본다. 난수 발생 소프트웨어

32  MINITAB PROGRAM MTB > let k1=100 MTB > random 100 C1 C2; SUBC> Uniform. MTB > let c3=c1*c1+c2*c2 MTB > let c4=1-c3 MTB > let c5=(signs(c4)+1)/2 MTB > let k2=mean(c5) MTB > let k3=4*k2 MTB > let k10=4*sqrt(k2*(1-k2)/100) MTB > print k1 k2 k3 k10 Data Display K1 100.000 K2 18.0000 K3 3.28000 K10=0.129985 MTB > MINITAB PROGRAM

33 piest <- function(n) { # # Obtain the estimate of pi and its standard error # for the simulation # # n is the number of simulations c1 = runif(n) c2 = runif(n) c5 = rep(0,n) c4 = c1^2+c2^2-1 c5[c4 < 0 ]= 1 k2= mean(c5) K10= 4*sqrt(k2*(1-k2)/n) est = 4*k2 list(estimate=est, standard=k10) } piest <- function(n) { # # Obtain the estimate of pi and its standard error # for the simulation # # n is the number of simulations c1 = runif(n) c2 = runif(n) c5 = rep(0,n) c4 = c1^2+c2^2-1 c5[c4 < 0 ]= 1 k2= mean(c5) K10= 4*sqrt(k2*(1-k2)/n) est = 4*k2 list(estimate=est, standard=k10) } R – program for estimation Monte-Carlo

34 Monte-Carlo Integration

35 MINITAB PROGRAM for Monte Carlo Integration MTB > Random 1000 c3; SUBC> Unif 0,1. MTB > let c4=4*sqrt(1-c3*c3) MTB > let k2=mean(c4) MTB > print k1 k2 Data Display K1 3.02425 K2 3.12203

36 piest2 <- function(n) { # # Obtain the estimate of pi and its standard error # for the simulation through Monte Carlo Integration # # n is the number of simulations samp <- 4*sqrt(1-runif(n)^2) est <- mean(samp) se <- sqrt(var(samp)/n) list(estimate2=est, standard2=se) } piest2 <- function(n) { # # Obtain the estimate of pi and its standard error # for the simulation through Monte Carlo Integration # # n is the number of simulations samp <- 4*sqrt(1-runif(n)^2) est <- mean(samp) se <- sqrt(var(samp)/n) list(estimate2=est, standard2=se) } R - PROGRAM for Monte Carlo Integration

37  확률변수와 이의 실현된 관찰치인 난수를 이해하도록 한다. 난수의 생성을 지배하는 분포를 이해한다.  Uniform 분포 외, 정규분포 등 다양한 분포가 있을 수 있음을 이해한다.  화살의 갯수가 증가함에 따라 값이 점점 정확하게 구해짐을 관찰함으로써 대수의법칙 (Law of Large Nunbers) 을 추측하도록 유도한다. 정리 및 요약