제 8 장 표본추출법과 중심극한정리.

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1 제 8 장 표본추출법과 중심극한정리

2 학 습 목 표 (1) 표본추출법을 이해 할 수 있다 (2) 표본오차를 계산 할 수 있다
학 습 목 표 (1) 표본추출법을 이해 할 수 있다 (2) 표본오차를 계산 할 수 있다 (3) 표본평균의 표본분포를 이해 할 수 있다 (4) 중심극한정리를 설명 할 수 있다 표본평균분포를 활용 할 수 있다 중심극한 정리 평균으로 회귀

3 핵심 : 시간과 비용 절약, 표본조사로 충분한 경우
표본추출법 1. 표본을 사용하는 이유 - 모집단에 대한 조사는 시간이 많이 소요된다 → 전체 유권자를 접촉하여 조사한다면 수 백년의 시간이 필요 - 모집단에 대한 조사는 많은 비용이 필요하다 → 2000가구를 조사하는데 4만 달러의 비용이 필요 - 모집단에 대한 조사는 물리적으로 불가능한 경우가 많다 → 호수의 수질검사, 동물의 개체나 생태 연구에서 활용 - 조사를 통해 모집단의 요소가 소멸되거나 손상될 수 있다 → 와인의 시음, 표본의 파열강도 실험 등에서 품질검사용으로 활용 - 표본조사만으로 충분한 경우가 많다 → 표본조사가 모집단에 대한 조사 결과와 큰 차이가 없다 핵심 : 시간과 비용 절약, 표본조사로 충분한 경우

4 표본오차(Sampling Error) 1. 표본은 모집단의 특성을 추론하기 위하여 사용
- 표본평균은 모집단의 평균(모평균)을 추정하기 위하여 사용 - 표본은 모집단의 일부분이므로 표본평균이 모평균과 정확한 일치는 불가 - 표본의 표준편차 역시 모집단의 표준편차(모표준편차)의 추정을 위해서 사용될 수는 있어도 정확히 값이 일치하지는 않는다 모집단의 평균과 표준편차와 표본의 평균과 표준편차즉, 표본 통게량 간의 차이가 발생 이러한 차이를 표본오차 표본오차 : 표본통계량과 이에 대응하는 모집단 모수통계 간의 차이

5 n=30개인 모집단에서 x=5개인 추출 가능한 표본의 수 = 30C5
표본오차(Sampling Error) 1. 표본은 모집단의 특성을 추론하기 위하여 사용 Foxtrot Inn 6월 투숙객실수 표본 1 표본 2 표본 3 1일 11일 3 21일 4 2일 2 12일 22일 7 3일 13일 23일 4일 14일 24일 6 5일 15일 25일 1 6일 16일 26일 합계 19 17 9 7일 17일 5 27일 표본평균 3.8 3.4 1.8 8일 18일 28일 표본오차 0.6667 0.2667 9일 19일 29일 10일 20일 30일 모평균(μ) 3.1333 n=30개인 모집단에서 x=5개인 추출 가능한 표본의 수 = 30C5 표본오차 = 표본평균 - 모평균

6 표본평균의 표본분포 1. Foxtrot Inn의 표본평균을 계산한결과
- 표본 1 : 3.8, 표본 2 : 3.4, 표본 3 : 1.8로 계속해서 변화 30C5 = 142,506개의 표본에서 평균값을 계산 가능 평균값들을 모두 구하여 분포를 구성한다면 표본평균의 표본분포 표본평균의 표본분포 : 동일한 크기의 모든 가능한 표본들로부터 얻어진 표본평균들의 확률분포

7 표본평균의 표본분포 2. Tartus Industries사의 사레를 이용 표본평균의 표본분포설명 7.7142857
- 7명의 생산직 근로자 고용, 각 직원의 시간당 임금 현황 <표 8-2> 1. 모평균은 얼마인가?

8 표본평균의 표본분포 2. Tartus Industries사의 사레를 이용 표본평균의 표본분포설명 21개의 표본이 있으므로
2. 표본크기 2인 표본의 표본평균분포를 구하라. 21개의 표본이 있으므로 각각의 표본을 추출하여 평균을 계산하면

9 표본평균의 표본분포 2. Tartus Industries사의 사레를 이용 표본평균의 표본분포설명
2. 표본크기 2인 표본의 표본평균분포를 구하라. 도수분포표로 나타내면 표본평균 평균의 개수 확 률 7.00 3 0.1429 7.50 9 0.4285 8.00 6 0.2857 8.50 21 1.0000

10 표본평균의 표본분포 2. Tartus Industries사의 사레를 이용 표본평균의 표본분포설명 7.7142857
3. 표본평균분포의 평균은 얼마인가? 4. 모집단분포와 표본평균분포에 대한 관찰을 통해 어떤 사실을 알 수 있는가? ←모평균과 동일한 값을 보인다 ←도수분포표로 나타내면 표본평균의 분포가 모집단평균의 분포에 비해 좁다. 표본평균의 분포는 종 모양에 가까우며 정규분포의 형태와 비슷한 형태

11 중심극한정리(Central Limit Theorem)
1. 중심극한정리 - 정의 : 표본의 크기가 큰 경우(통상 n≥30)의 표본평균분포는 정규분포와 비슷하다는 것 → 표본의 특성이 모집단의 특성을 잘 설명할 수 있다 → 표본의 크기가 커질수록 표본평균분포는 정규분포에 좀 더 가까워짐 - 중심극한정리의 장점 → 모집단의 분포형태에 상관없이 이러한 원리가 적용 → 모집단 분포에 대한 정보가 전혀 없는 경우에도 표본의 크기를 증가 시키면 표본평균의 분포는 정규분포에 근사적으로 가까워 진다 중심극한정리 : 어떤 모집단으로부터 동일한 크기의 모든 가능한 표본들을 추출하고 이로부터 표본평균분포를 구하면 정규분포에 근사하게 된다. 이러한 근사화는 표본의 크기가 커질수록 더욱 강화된다.

12 중심극한정리(Central Limit Theorem)
1. 중심극한정리 데이터의 발생형태 : 쌍봉형 데이터, 좌측 치우침, 균등분포, 우측 치우침 등 최소한 30개 이상의 표본크기가 필요

13 중심극한정리(Central Limit Theorem) Spence Sprockets 사 40명 직원의 근속연한 조사 결과
1. 중심극한정리 Spence Sprockets 사 40명 직원의 근속연한 조사 결과 11 4 18 2 1 3 19 8 7 5 14 16 9 10 ←빈도수를 세고 히스토그램으로 나타내면 <그림 8-3>의 형태가 됨 ←우측으로 치우친 형태를 보임 ←모집단의 평균(모평균)을 구하면 4.8 ←구성수를 5로 하는 샘플을 추출한다면 40C5개의 샘플을 추출할 수 있다 ←이중 우리는 25개 샘플을 추출했다고 가정하고, 추출한 다음 표본 평균값을 계산한다 ←범위는 0~20사이의 값을 보인다 평균

14 중심극한정리(Central Limit Theorem) Spence Sprockets 사 40명 직원의 표본(n=5)과 표본평균
1. 중심극한정리 Spence Sprockets 사 40명 직원의 표본(n=5)과 표본평균 표본 ID 표본자료 표본평균 표본오차 A 1 9 19 14 8.6 3.8 B 7 4 3 -1.0 C 8 2 7.6 2.8 D 18 11 7.0 2.2 E F 1.6 -3.2 G 1.8 -3.0 H 5.6 0.8 I 4.4 -0.4 J 3.0 -1.8 K 10 -2.0 L 16 4.6 -0.2 M N 4.0 -0.8 O -2.6 P 6.2 1.4 Q 5 7.2 2.4 R 3.6 -1.2 S T U V W X 2.6 -2.2 Y 합 105.8 평균 4.2 ←표본 A의 평균을 구하고 모집단의 평균을 구하면 됨 이러한 방식으로 25개의 표본에 대하여 평균값을 계산한다 ←표본평균의 평균값(μx)값을 구하면 4.2로 나타남 ←표본평균을 바탕으로 하여 히스토그램으로 작성 한다면

15 중심극한정리(Central Limit Theorem)
1. 중심극한정리 Spence Sprockets 사 40명 직원의 표본(n=5)과 표본평균 히스토그램 ← 오른쪽으로 치우침이 많이 완화 되었다 ← 평균값의 위치 역시 오른쪽으로 이동 하였다 ← 범위 값은 1.6~8.6으로 감소하였다 평균

16 중심극한정리(Central Limit Theorem)
1. 중심극한정리 Spence Sprockets 사 40명 직원의 표본(n=20)과 표본평균 표본 ID 표본자료 표본평균 A 3 8 2 1 11 5 4 7 16 3.950 B 3.250 C 14 9 19 5.950 D 10 4.350 E 18 5.350 F 4.000 G 6.550 H 4.250 I J 4.050 K 4.200 L M 4.400 N 4.750 O 5.100 P 5.000 Q R 3.650 S 7.100 T 3.050 U V 6.850 W X 4.300 Y 5.050 합 116.90 평균 4.676 ←표본 A의 평균을 구하고 모집단의 평균을 구하면 됨 이러한 방식으로 25개의 표본에 대하여 평균값을 계산한다 ←표본평균의 평균값(μx)값을 구하면 4.676으로 나타남 ←표본평균을 바탕으로 히스토그램을 그리면

17 중심극한정리(Central Limit Theorem)
1. 중심극한정리 Spence Sprockets 사 40명 직원의 표본(n=20)과 표본평균 히스토그램 ← 평균을 중심으로 대칭의 형태가 나타나기 시작했다 ← 평균값의 위치 역시 가운데로 이동 하였다 ← 범위 값은 3.05~7.10으로 감소하였다 표본의 구성 갯수(n)이 증가 할수록 점점 대칭적인 형태를 보인다 평균

18 중심극한정리(Central Limit Theorem) N이 증가하면 표본평균의 표준오차는 감소한다
1. 중심극한정리 - 모집단의 분포 형태에 상관없이 얻어진 표본평균분포는 점차적으로 정규분포에 수렴한다 - 표본의 크기가 커질수록 이러한 수렴의 속도는 빨라 짐 → Spence Sprockets 사의 사례를 통해 확인 - 표본평균분포의 평균은 모집단의 평균 값과 일치하여 가는 형태를 보임 μx = μ의 형태를 보임 그리고 앞서 n = 5 일 경우 4.2 n = 20 일 경우 4.676 따라서 n이 더 크게 증가한다면 모평균인 4.8에 더욱 근접할 것임 모집단의 표준편차가 σ일 경우 표본평균들의 표준편차는 σ/√n 표본평균의 표준오차 σX = σ/√n N이 증가하면 표본평균의 표준오차는 감소한다

19 아니면 허용할 만한 표본오차로 판단해야 하는가? 하루 평균 6시간 TV 시청한다는 조사결과가 맞는가?
표본평균분포의 활용 1. 표본평균을 이용한 주요한 의사결정 - Arm Hammer사 세탁세제 사례 → 모집단의 평균은 100온스, 표준편차는 2온스라고 표시 → 40개의 샘플을 추출하여 측정한 결과 평균이 99.8온스로 표시 생산을 중단해야 하는가? 아니면 허용할 만한 표본오차로 판단해야 하는가? - A.C Nelson 사 TV시청률 사례 → 성인 미국인 평균적으로 하루 6시간 TV시청, 표준편차는 1.5.시간 조사 → 보스톤 지역 50명 성인을 대상으로 조사한 결과는 표본평균 6.5시간 하루 평균 6시간 TV 시청한다는 조사결과가 맞는가?

20 표본평균에서 표준정규분포의 z값 구하는 공식
표본평균분포의 활용 2. 지난 시간에 배운 내용 - 정규분포의 모집단으로부터 추출된 표본의 표본평균분포는 표본크기에 관계없이(상관없이) 정규분포를 이룬다 - 모집단이 정규분포가 아니라고 하더라도 표본의 크기가 30이상이면 표본평균 분포는 중심극한정리에 의하여 정규분포와 유사한 형태를 보인다 모집단에서 표준정규분포의 z값 구하는 공식 Z = x – μ / σ를 활용 표본평균에서 표준정규분포의 z값 구하는 공식

21 표본평균분포의 활용 3. Cola Inc 사의 Jumbo Bottle 콜라 생산 사례
- 회사 내의 품질관리 부서는 생산된 콜라에 담긴 콜라 양을 주요한 품질관리 대상으로 판단하고 있으며 정해진 양(규격)보다 적거나 많은 두 가지 경우(92%를 초과하거나 작은 경우) 모두 품질에 문제가 있다고 판단한다. 과거자료를 통해 각 병에 담긴 콜라 양은 정규분포이며 평균 31.2온스, 표준편차 0.4온스라는 사실을 알고 있다. 오늘 오전 8시에 품질검사를 담당하는 직원이 16개 제품을 검사한 결과 표본평균이 31.38온스였다. 이 경우 콜라를 주입하는 공정에 문제가 있는 것으로 판단하는 것이 옳은가 아니면 허용할 수 있는 표본오차로 판단하는 것이 옳은가? 0.18의 오차는 일상적인 것으로 판단하여야 하는가 ?

22 결론 : 현재의 공정은 문제가 있으며, 조치를 취하여야 한다
표본평균분포의 활용 3. Cola Inc 사의 Jumbo Bottle 콜라 생산 사례 - 표본의 구성수 16과 표본평균 31.38을 이용하여 Z값을 구하면 표준정규분포대입 92%의 z=±1.75 4%=0.04보다 작음 Z=1.75 4% 92% 4% 불량 양품 불량 결론 : 현재의 공정은 문제가 있으며, 조치를 취하여야 한다

23 표본평균분포의 활용 평균이 75이고 표준편차가 5인 정규분포에서 40개 표본자료를
추출했을 때 표본평균이 다음과 같을 확률을 계산하시오. 1. 74이하 2. 74와 76사이 3. 76과 85사이 4. 88이상 5. 확률 값(%)이 97%라고 하는 경우 표본평균은 어디와 어디 사이인가? 6. 확률 값(%)이 87%라고 하는 경우 표본평균은 어디와 어디 사이인가?