Chapter 6. Conventional Pollution in Rivers

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1 Chapter 6. Conventional Pollution in Rivers
이보라

2 1. 하천의 물질이동식을 유속만 있는 경우와 분산이 있는 경우에 대하여 유도하라.
강/하구에서의 BOD의 물질수지 방정식 정상 상태의 BOD와 결핍 DO의 물질이동방정식 일정한 계수를 가진 2차 선형 상미분방정식의 해석해.

3 1. 하천의 물질이동식을 유속만 있는 경우와 분산이 있는 경우에 대하여 유도하라.
일반적인 2차 대수방정식 형태의 제차 방정식. 일반 해는 다음과 같은 형태로 표현 할 수 있다.

4 1. 하천의 물질이동식을 유속만 있는 경우와 분산이 있는 경우에 대하여 유도하라.
적분상수 A와B를 구하기 위해서, 상류 및 하류의 경계조건을 이용해야 한다. 분석해를 2개 부분으로 나눈다. (1) 폐수 배출지점(W) 상류 구획 (2) 배출지점 하류 구획, 하구인 경우 해양에 이르는 모든 경로 하구에서의 생화학적 산소 요구량(BOD)과 용존산소(DO)

5 1. 하천의 물질이동식을 유속만 있는 경우와 분산이 있는 경우에 대하여 유도하라.

6 1. 하천의 물질이동식을 유속만 있는 경우와 분산이 있는 경우에 대하여 유도하라.
상류에서는 다음과 같은 경계 조건을 가진다. 제 1 경게 조건에 근거하여 적분상수 B는 0이 되어야 한다. 제 2 경계 조건으로부터 적분상수 A가 와 같다는 것을 알수 있다. 상류 구획의 BOD의 해는 다음과 같다.

7 1. 하천의 물질이동식을 유속만 있는 경우와 분산이 있는 경우에 대하여 유도하라.
하류 구획에 대한 다음의 경계 조건에 근거한다. 폐수 배출원에서의 미지의 BOD 농도를 추정하기 위해서는 플러그 유동 하천의 방법을 사용할 수 없고, x=0 지점에서의 물질수지 관계를 고려해야 한다. x=0 지점에서 상류에서 유입되는 물질의 질량의 QL0이다. 유입되는 물질은 유출되는 물질의 양과 같다.

8 2. Streeter-Phelps 방정식의 해를 유도하라.
1925년에, Streeter와 Phelps는 오하이오강의 용존산소 “sag curve”에 관한 근본적인 연구를 발표하였다. 그들은 용존성 유기물의 생화학적 산소 요구량(BOD)의 분해 때문에 하류방향의 거리에 따라 용존 산소가 감소한다는 것을 설명. 그 현상을 설명하기 위하여 이후에  Streeter-Phelps 식으로 잘 알려진, 수학적인 식을 제안.

9 2. Streeter-Phelps 방정식의 해를 유도하라.
탄소성 산소요구량의 산화는 BOD 농도뿐만아니라 산소 농도에 의존한다는 연구가 있었지만, 보통 1차 반응으로 기술된다. 일정한 속도의 하천과 정상상태 조건에 대하여 적용할 수 있으며, 1차 감소 반응으로 다시 쓰면 아래와 같다.

10 2. Streeter-Phelps 방정식의 해를 유도하라.
용존 산소의 물질수지식 유도과정

11 2. Streeter-Phelps 방정식의 해를 유도하라.

12 2. Streeter-Phelps 방정식의 해를 유도하라.
앞장의 식 우변의 두 개 항은 하천에 있어서 서로 반대되는 과정, 탄소성 BOD로 인한 탈산소율과 재포기율을 나타낸다. CS-C는 공기-물상의 경계면에서 대기 산소로부터 수체를 재폭기하기 위한 농도 추진력이다. 위 식은 DO 결핍 식(D)로 표현하는 것이 바람직.

13 2. Streeter-Phelps 방정식의 해를 유도하라.
BOD 농도에 대한 식의 해

14 2. Streeter-Phelps 방정식의 해를 유도하라.
적분인자법으로 DO의 부족량구하기

15 2. Streeter-Phelps 방정식의 해를 유도하라.
적분인자법을 이용하여 해구하기

16 2. Streeter-Phelps 방정식의 해를 유도하라.
1차원, 정상 상태, 플러그 유동 시스템에서, 점 오염원이 BOD를 배출한 이후의, 거리에 대한 용존 산소 부족량의 최종해.   부족량대신 용존 산소 농도를 구할 수 있다. 그 해는 위 식의 CS-C를 D로 치환하여, 아래에 식으로 주어져 있다.

17 3. 하천의 용존산소농도에 영향을 미치는 반응을 서술하라.
증가원 : 재폭기, 조류에 의한 광합성 소비원 : 유기물 분해, 조류의 호흡 (1) 재폭기 양변을 미분하면 k2: 재폭기 계수 D : 용존산소 결핍 농도

18 3. 하천의 용존산소농도에 영향을 미치는 반응을 서술하라.
(2) 유기물 분해 유기물 분해와 재폭기를 고려한 용존산소 수지

19 3. 하천의 용존산소농도에 영향을 미치는 반응을 서술하라.
(3) 온도 재폭기 속도 상수는 온도가 증가함에 따라 증가한다. 용존산소의 용해도는 온다가 증가함에 따라 감소하여 재폭기의 추진력은 다소 감소하게 된다. 탈산소 속도 상수는 온도가 증가함에 따라 증가한다. 온도 증가는 용존산소 포화농도를 현저히 감소시켜, 재폭기에 대한 추진력을 제한함으로서 용존산소농도를 감소시킨다.

20 3. 하천의 용존산소농도에 영향을 미치는 반응을 서술하라.
(4) 하천 유량의 영향 가장 중요한 영향은 초기 BOD 농도 L0 에 대한 것이다. 재폭기 속도 상수는 종종 평균 유속의 지수 함수와 평균 수심의 역지수 함수로 표현된다. 유량과 수심, 유속, 하폭의 관계는 다음과 같다

21 4. 각 반응속도상수를 평가하는 방법을 서술하라.

22 4. 각 반응속도상수를 평가하는 방법을 서술하라.

23 4. 각 반응속도상수를 평가하는 방법을 서술하라.

24 4. 각 반응속도상수를 평가하는 방법을 서술하라.

25 5. 농도의 해를 구하는 방법에 있어서 중첩의 원리를 설명하라.
합성(중첩)의 원리 Streeter-Phelps의 정상상태의 용존산소모형을 수정하여 NBOD, SOD, 순일차생산(P-R), 비점오염원에 의해 발생하는 이면결핍 DO농도의 영향을 해석 할 수 있다. 각각의 영향을 해석하여 합하여 총괄 해를 구한다. 야간에 호흡이 광합성보다 크면 DO는 감소하고, 주간에 일차생산력에 의한 산소의 생성이 호흡보다 크므로 DO가 증가한다. 일출전의 시간이 한계 조건(R>P)이 된다.

26 5. 농도의 해를 구하는 방법에 있어서 중첩의 원리를 설명하라.
DO 부족(D)의 모식도 CBOD(L), 질소에 의한 탈산소를 가지는 (kn) NBOD, 탄소성 탈산소(kd), 재폭기(ka), CBOD의 침전(ks), 순 광합성(P-R), SOD(S)

27 5. 농도의 해를 구하는 방법에 있어서 중첩의 원리를 설명하라.
비균일 상미분 방정식에 대한 해를 적분인자법으로 푼다.

28 5. 농도의 해를 구하는 방법에 있어서 중첩의 원리를 설명하라.
앞 장의 식의 우변에서 첫 항은 초기 부족에 의해 die-away(소멸)하므로 재폭기를 나타낸다. 두 번째 항 : 초기 CBOD. 세 번째 항 : 초기 NBOD. 네 번째 항 : 산소요구량. 다섯 번째 항 : (R-P). 마지막 항 : 비점오염원이 원인인 BOD.

29 6. Fourier 급수를 사용한 하천의 주간변화를 해석하는 방법을 설명하라.
Fourier 급수 - 주기함수를 기본적인 조화함수인 cis함수들의 급수로 나타낸 것. f(x)가 실수에서 복소수로의 함수로 2π의 주기를 갖을 때, 또 모든 유한 구간에서 square integrable 일 때, 위의 식은 measure가 0인 집합이 아닌 임의의 구간에서 f(x)로 수렴한다.

30 6. Fourier 급수를 사용한 하천의 주간변화를 해석하는 방법을 설명하라.
18세기 수학자 Euler와 Bernoulli 등이 파형 f(t)가 고조 정현파의 제곱항들의 유한한 합으로 대략 나타낼 수 있다 것을 발견. 1807년 Baron Jean-Baptiste-Joseph Fourier는 주기파형을 간단 한 정현파의 무한한 합으로 나타낼 수 있다고 제안 Fourier series: 주기함수는 기본파(fundamentalfrequency)와 기본파의 고조파(harmonic frequencies or harmonics)들의 무한한 선형조합(linear combination)으로 표현.

31 6. Fourier 급수를 사용한 하천의 주간변화를 해석하는 방법을 설명하라.
주기가 T 인 함수 f(t)가 정현파의 유한한 합일 경우

32 6. Fourier 급수를 사용한 하천의 주간변화를 해석하는 방법을 설명하라.
일반적으로 계산의 편의상 an과 bn을 많이 사용함. n=1 일때, 파형의 주기는 T초이고 그 때의 주기 파형

33 6. Fourier 급수를 사용한 하천의 주간변화를 해석하는 방법을 설명하라.
이것을 기본파(fundamental freq.)라 한다. n=k일 때, 파형 k가 주기 T에 해당되고 고조파(harmonics)항이라 부른다. N을 무한히 증가시킴으로 정확하게 f(t)를 나타낼 수 있다. 그래서 기본 주파수와 고조 주파수에서의 정현파로 이루어진 주기 신호는 푸리에 급수로써 완벽하게 나타낼 수 있다.

34 6. Fourier 급수를 사용한 하천의 주간변화를 해석하는 방법을 설명하라.
일평균최소허용농도의 수질 기준을 만족하기 위해서는 비정상상태의 수질농도의 해가 필요하므로 다음과같은 용존산소에 대한물질이동식을 고려한다. 위의 식은 특성법을 사용하여 수치해석으로 풀 수 있다. 본 방법은 유체의 흐름을 따라 흘러가면서 농도를 계산한다. 즉, 시각별 농도의 위치를 구한다. 따라서, 입자추적법 이라고도 함. 위의 식은 편미분 방정식이기에 초기조건과 경계조건이 필요함. 초기조건은 t=0시의 농도와 경계조건은 구간의 경계 지점에서의 농도임.

35 6. Fourier 급수를 사용한 하천의 주간변화를 해석하는 방법을 설명하라.
물질이동식은 일차생산에 대한 함수를 필요로 한다. 광합성에 의한 산소생성속도 P(t)는 반주기 sine 곡선으로 표현. Pm는 일차 산소생산의 최대속도 (mg L-1 d-1), ts는 광합성이 시작되는 시간 (d), f는 광합성이 발생하는 시간 (보통 ½일).

36 6. Fourier 급수를 사용한 하천의 주간변화를 해석하는 방법을 설명하라.
하루이상의 기간에 대하여 일차생산의 주기함수를 확장하기 위하여, Fourier급수를 사용함. n는 cycle number임. 산소농도의 주간 변화량도 지배방정식이 편미분 방정식이기 때문에 Fourier 급수를 이용하여 다음과 같이 표현 된다. T는 반주기(0.5일)임.

37 6. Fourier 급수를 사용한 하천의 주간변화를 해석하는 방법을 설명하라.
용존산소농도는 오전 7-8시 사이에 가장 낮다 (야간에는 호흡만 있음). 최대 광합성은 정오와 오후 4시 사이에 일어난다. 최대광합성 생산속도 Pm과 최대용존산소농도는 일치하지 않음.지연시간은 재폭기, 호흡, 광합성속도 등에 의하여 결정됨.

38 6. Fourier 급수를 사용한 하천의 주간변화를 해석하는 방법을 설명하라.
재폭기, 탈산소, 질산화, 최대광합성, 호흡속도 등이 보정이 필요한 파라미터임.

39 7. 6장 6절의 불확실성 분석 방법을 설명하라. 불확실성의 해석이란 통계용어로, 이것은 모형운영자가 오염물 농도(평균)와 예상되는 변화(표준편차)의 최적 평가를 의사결정자에게 제공하여야 한다는 것을 의미한다. 이것은 의사결정자에게 어떤 행동을 결정하기위한 더 많은 정보를 제공해준다. 임의 추출에서, 변수의 기대값은 평균이고, 변이량의 측정값은 분산이다(표준편차의 제곱). 환경질 모형은 실제의 근사값으로 단순화되었기 때문에, 그들은 오차를 포함한다. 모형과 현장자료를 사용함에 있어, 우리는 몇가지 종류의 오차를 받아들여야 한다. 오차는 모형을 통해 전달되어 최종결과에서 불확실성의 야기시킨다. 본 절은 “오차해석” 또는 같은 용어인, 불확실성 해석에 관한 내용이다.

40 7. 6장 6절의 불확실성 분석 방법을 설명하라. 모형은 다음과 같은 형태의 오차를 포함하고 있다. • 모형 오차.
• 상태 변수의 오차 (종속변수 및 초기조건). • 모형을 운영하기 위해서 사용된 입력자료의 오차. • 파라미터 오차 (속도상수, 계수, 독립변수).

41 7. 6장 6절의 불확실성 분석 방법을 설명하라. 오차의 첫 번째 형식인 모형오차는 모형의 부정확한 수식화이다. 즉, 환경과 모형의 미분방정식간의 차이이다. 계산과정이 부적절하게 누락되거나 포함되었을 것이다; 더 많은 상태변수가 생태계를 표현하는데 필요할 것이고; 예측하기 어려운 반응이 파라미터(모수) 공간의 다른 범위 내에서 중요하게 될 것이다. 모든 경우에 있어, 모형 오차의 징후는 현장자료가 모형의 예측치와 일치하는 않는 것뿐이다. 그러나 이유는 알수 없다. 불확실성 분석에서 모형 오차는 대부분 고려하기 어려운 형식이지만, 어떤 근사법은 동일한 적용에 대해 몇 가지 다른 모형을 사용하는 것이다. 그러면 다양한 상황하에서 모형들간의 예측치의 차이에 의하여 모형오차를 평가할 수 있다. 현장조건의 다양한 변화의 모의에서 모형을 유연화(탄력적으로 운영)는 모형간의 차이를 두드러 지게 한다. 모형을 좀더 일정한 환경(상황)하에서 운영한다면, 모형 오차의 원인을 발견할 수 있을 것이다.

42 8. 본 장에서 이용한 1,2계 상 미분방정식의 수학적 해석 방법을 설명하고, 초기 및 경계조건을 이용한 해를 구하라.
- x = 실수값 또는 복소수값을 취하는 변수, y = 실수값 또는 복소수값을 취하는 x의 함수, y는 x에 관해서 n회 미분가능이고, y의 x에 관한 제n계까지의 도함수를 y′,y″,…,y(n)이라 할 때 x,y,y′,…,y(n) 사이에 x에관해서 항등적으로 성립하는 관계식 F(x,y,y′,…,y(n))＝0 을 함수 y(x)에 대한 n계 상미분방정식이라 한다. 1계 상미분방정식을 y′(i＝1,2,…,n)에 관해서 풀었을 때의 yi′＝fi(x,y1,…,yn)을 정규형이라 한다. 일반적으로 n계의 상미분방정식을 y(n)에 관해서 풀었을 때의 y(n)=f(x, y, y′, y″, …, y(n-1))을 실정규형이라고 한다.

43 9. 웹 사이트에 구축되어 있는 전산모형에 대한 내용을 읽고 정리 발표.
QUAL2E QUAL2E는 미국 환경보전국(EPA)에서 개발한 전산 수질 모형이다. 개인용 컴퓨터에서 사용 할 수 있다. 본 모형은 하천에서 수질을 예측하기 위해 개발한 것으로서 해석 방향은 유체흐름 방향이며 횡방향은 완전혼합을 가정으로 한 1차원 모형이다. 최초 F.D. Masch and Associates와 Texas Water Development Board(1970)가 개발한 QUAL-I 모형을 미국 EPA에서 예측수질항목을 추가하여 QUAL-Ⅱ 모형을 만들었다. 미국 환경청(USEPA)의 지원으로 1987년 Brown and Barnwell에 의해 매개변수 불확정성 (Parameter Uncertainty) 등의 이론을 포함시키면서 “Enhanced QUAL-II Model, 즉 QUAL2E 모형이 개발되었다. 본 모형은 이전의 모형에 비해 조류와 용존산소와의 상호관계, 온도보정계수, 댐에 의한 하천수의 산소공급 및 비보존성 물질과 3가지의 보존성 물질, 입․출력 방법 개량 등을 보완시킨 1차원 수질 예측 모형으로서 1차원 정상상태(Stedy State)는 물론이고 동적상태(Dynamic State)도 예측되었다.

44 9. 웹 사이트에 구축되어 있는 전산모형에 대한 내용을 읽고 정리 발표.
완전 동적 해석이 아닌 반동적상태로 동적 해석은 하천의 최상류부점 오염원 및 비점오염원에서의 유량을 비롯한 수질자료들이 정상 상태로 입력되기 때문에 상류로부터 하류부까지의 수질은 점차 정상 상태로 수렴한다. QUAL2E 모형은 현재 국내는 물론 외국에서도 널리 이용되고 있는 하천모형이지만 QUAL2E 모형은 SOD(sediment oxygen demand)를 0차나 일정량으로 처리하였고 부착조류에 의한 용존산소 변화와 부유 조류 사멸 시 발생하는 유기물(SOD)이 고려되지 않았으며, 용존산소가 부족한 상태에서 반응이 활발한 탈질화과정이 포함되지 않아 이들 반응에 의해 수질이 영향을 받는 하천에 적용하기에는 한계를 가지고 있다. QUAL2E 모형의 모의 가능한 구간수는 최대 50개, 계산요소는 구간당 20개로서 전체개수는 500개, 연결 지류수는 최대 9개, 점오염원, 비점오염원은 최대 50개로 제한되어 있어 여러 개의 지류를 가진 대형하천에는 적용하기 어려운 점이 단점이다.

45 9. 웹 사이트에 구축되어 있는 전산모형에 대한 내용을 읽고 정리 발표.
QUAL2K QUAL2K는 하천수질을 모의하기 위한 정상상태의 1차원 모형으로서 QUAL2E를 현대적으로 개정한 모형이다. 미국 EPA에서는 QUAL2K모형을 Microsoft Windows 환경에서 VBA(Visual Basic for Application)를 이용하여 프로그래밍하였다. Excel을 이용하여 모의결과를 그래프로 나타낼 수 있어 사용자가 더욱 쉽게 이용할 수 있고 결과를 한눈에 알아볼 수 있게 되어있다. QUAL2E와는 달리 Standard Element의 길이가 동일하지 않아도 되며, 유기물 지표인 CBOD를 slow CBOD와 fast CBOD로 분리하여 모의하고 입자성 유기물질을 별도로 모의하였다. 저산소에서는 산화반응을 계산하지 않으며, 탈질화는 1차반응으로 이루어지고 DO와 영양염류에 대하여 수층-퇴적층 반응관계를 고려하여야 한다. QUAL2K는 대형하천에도 적용가능하고 QUAL2E가 포함하지 못한 기작들을 포함하게 됨으로써 수질관리효율을 더욱 높일 수 있다.

46 9. 웹 사이트에 구축되어 있는 전산모형에 대한 내용을 읽고 정리 발표.
QUAL2E–PLUS QUAL2E-PLUS모델은 이전의 모델에 비해 조류와 용존산소와의 상호관계, 온도보정계수, 댐에 의한 하천수의 산소공급 및 비보존성 물질과 3가지의 보존성물질, 입․출력방법개량 등을 보완시킨 1차원 하천수질 예측 모델이다. 1차원 정상상태(Stedy state)는 물론이고 가동적상태(Dynamic state)에서도 예측 가능 하다. 모델에 적용 가능한 대구간(Reach)은 최대 50개 이며 대구간당 소구간(element)수는 20를 넘을 수 없고 소구간은 총 500개를 초과할 수 없다. 합류점 소구간(Junction element)은 9개까지, 수원 소구간(Headwater element)는 10개까지, 점오염원 유입소구간(Input element)과 취수 소구간(Withdrawl element)는 50개까지 사용 가능하다.