Review of concepts of Classical Mechanics

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1 Review of concepts of Classical Mechanics
Generalized Coordinates or "Good" Coordinates. 1개의 자유도를 가진 운동 : a bead on wire 2개의 자유도를 가진 운동 : Particle in a plane Two beads on one wire (x, y) or (r, θ) (x1, x2) ,즉 , 2개의 자유도

2 아령 on a plane ? 2×2-1=3 개의 자유도 (무게중심의 좌표 & x-축에 대한 아령의 각도) "generalized 또는 canonical 또는 good coordinates" 물리적 공간에서 계의 위치와 방향을 유일하게 결정하는 독립된 좌표계 N개의 generalized coordinates를 갖는 계는 N개의 자유도를 가짐 1개 외의 모든 계의 좌표계가 서술된다고 해도 마지막 1개의 좌표계가 서술될 때까지 이 계는 1개의 임의성을 갖음

3 Energy, Hamiltonian, and Angular Momentum.
고전 및 양자 역학에서 1대 1로 대응되는 물리량 한 질량 m 이 potential ,V(x,y,z) , 에 놓여 있다. 직각좌표계를 사용할 경우 궤적 x = x(t) , y = y(t) , z = z(t) 에너지 입자에 대해 미치는 힘 : 단위벡터 Potential V 의 example 1. : 중력이 미치는 공간 z : 기준점(예: sea level)에 대한 높이

4 Potential V 의 example 2 : 두 판의 potential 차이 Ф0 를 갖는 Capacitor 판 내부에 질량 m, 전하 q 를 띈 입자의 potential energy z : 아래 판에 대한 전자의 변위 전자의 에너지는 위의 3개 자유도를 갖는 계에 대하여 직각좌표계는 유일한 good coordinates 는 아님.

5 구좌표계 : Spherical Coordinates
Capacitor plate 원통좌표계 : Cylindrical Coordinates Capacitor plate

6 수소 원자? Proton M 전자 m 6개의 자유도

7 한 계가 외부의 다른 물체와 상호작용하지 않음 고립계 전체에너지, 선운동량, 각운동량 일정 보존력 하에서 움직이는 계의 에너지는 시간에 대해 “상수”: 시간에 따라 변하는 계에 대해서도 항상 유용 (보존력) 이 조건은 물체의 궤적을 구하는데 사용. 입자에 대해 외부의 힘이 특정한 방향으로 가해지지 않으면 그 방향에서 입자의 운동량은 불변

8 불변 이면 ax-by=c x y 평면에 투사된 입자의 궤적 직선

9 Hamilton's Equations 복잡한 계에 대해서는 보존되는 양이 쉽게 찾아지지 않는다.
기계적으로 다루는 방법 : Hamiltonian Mechanics. Capacitor 내의 전자의 에너지. Hamiltonian 이란 coordinates(변위) 와 운동량의 함수로 나타낸 에너지. px ; conjugate to x , py ; conjugate to y 운동방정식(Hamilton‘s equations) 뉴튼 제 2법칙

10 “Capacitor 내의 전자의 운동” Cyclic Coordinates Hamiltonian
Hamilton‘s equations & Hamiltonian에 없는 좌표 Cyclic coordinates 무시할 수 있는 좌표 Cyclic 좌표의 운동량 conjugate 일정 & 뉴튼 방정식! 운동량에 대한 정의!

11 H LZ Capacitor 내의 전자 구좌표계 사용 r , θ, Ф & 구좌표계 Hamiltonian
Conjugate 운동량들 속도 Conjugate 운동량 r r 방향의 linear momentum Conjugate 운동량 θ r, Ф 가 고정, 각변위 θ 에 대한 운동량 : 각운동량 속도 Conjugate 운동량 Ф r, θ 가 고정, 각변위 Ф 에 대한 운동량 : 각운동량 LZ : 속도 : 팔길이

12 pФ 구좌표계로 나타낸 Hamitonian Hamiltonian's equation cyclic 좌표는 Ф : 상수
pФ : 상수 z-방향의 각운동량이 보존 z-방향으로 torque가 존재하지 않음 : 각운동량에 대한 정의 : Radial 방향의 구심력 (1,2 항), r 방향의 전기력(3항) : 구심력 (1항)과 전기력(2항)에 의한 torque. : 팔길이

13 자유 입자 Hamiltonian x, y, z 좌표가 cyclic coordinates
세 linear momentum이 일정(최초의 값) Hamilton 방정식 시간 t : 매개변수 직선 방정식 ! 예를 들어 y 성분 각운동량 x, y, z 가 대칭성을 가지므로 다른 성분도 마찬가지 = 최초값. for free particle.

14 구좌표계 Hamitonian Ф : cyclic : 상수 Hamilton 방정식 구심력 구심력 torque 대칭성이 일치하지 않는 구좌표계에서 등속 직선운동입자 !! Canonical 좌표와 운동량 자유도의 개수가 많아지는 좌표계의 conjugate 운동량 ? N개의 자유도를 갖는 계의 좌표 Canonical 좌표 Conjugate 운동량 Canonical 운동량 Hamiltonian 표준 Hamiltonian 방정식 좌표와 운동량 뉴튼의 운동법칙 Canonical !

15 3 종류의 좌표계에서 자유입자의 Hamiltonian

16 System(계)의 상태 Generalized coordinates 위치 & 방향 고전역학에서 물체의 움직임 위치 & 방향 &
운동 그 순간 계의 상태( Γ )서술 : 한 계의 주어진 순간의 위치, 방향과 운동 예 1 : 3차원 공간의 한 입자의 고전적 상태 6개의 양 or 계의 상태(Γ) : 최대 정보를 제공하는 최소 정보의 집합 Good coordinates & generalized 속도 (또는 canonical 운동량) 예 2 : 한 평면에서 움직이는 2 개의 입자의 상태 8 개 매개 변수 주어진 계의 각종 상태표시는 고전역학에서 같은 숫자의 변수를 가짐 N 개 자유도를 갖는 평면계에 대해서 Γ 는 2N 차원 vector

17 양자역학에서의 상태표시 (representations)
양자역학에서는 위치와 운동량을 동시에 나타낼 수 없다. 예 : x-축에서 움직이는 자유 입자 (1차원 운동) 위치(운동량)가 알려지면 그 입자의 그 위치(운동량)에서 운동량(위치)은 최대로 불분명 만일 운동량을 정확히 알고 있을 때, 그 운동량 정보를 잃지 않은 채 구할 수 있는 다른 정보는? Energy 이 두 변수 외에 자유 입자의 관찰 가능한 다른 성질이 없다면 Px 와 E 값은 최대정보를 줌: Px 와 E : 이 입자 계에 대한 상태 good quantum numbers 최대정보를 갖고 동시에 서술될 수 있는 독립변수의 set : good quantum numbers 각운동량의 직교 좌표 성분 Lx, Ly, Lz 로 나타낸 상태 Lz 의 값 서술하면 Ly 와 Lx 는 불확실해 짐 Lz 와 총운동량의 제곱 L2 은 함께 나타낼 수는 있음 예 : 구 대칭환경에서 움직이는 입자 에너지(E) 도 동시 서술가능 Good quantum numbers : E, L2 , Lz

18 양자역학에서 상태 표시변환 시간에 따른 상태변화 예 1 : 3차원에서 움직이는 한 개 자유 입자
예 2 : 두 입자의 각운동량 문제 시간에 따른 상태변화 L = L1 + L2 은 계의 total angular momentum 고전역학 “뉴튼의 운동 법칙” 양자역학 “Schrödinger 방정식” 의 해 : 파동(상태)함수 파동함수 계의 관찰 가능한 성질의 기대치 계의 상태가 갖는 시간적인 변화 양자역학의 주요 문제 시간에 따른 양자 상태 변화 표시변환

19 1차원 potential 함수의 성질 1차원 입자에서 x=A 에서 힘의 방향
V(x) 의 x 에 대한 negative gradiant. Potential 함수에 의해 서술된 운동은 보존적 에너지 E=T+V : 상수 운동에너지 : T = m v 2/2 = E - V Classically Forbidden Domains at Energy E : ( A-B , C-D : V>E or T<0 )