Chapter 2 FLUID STATICS.

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1 Chapter 2 FLUID STATICS

2 유체정역학 : 유체내에서의 압력과 압력의 변화에 대한 연구 압력에 의하여 유한한 면적에 미치는 힘 유체가 마치 고체처럼 운동하는 특별한 경우는 작용하는 힘들이 정지유체의 경우와 유사하므로 정역학의 범주에 포함시킨다. 왜냐하면 어느 유체층과 인접층 사이에 상대운동이 없고 유체에서의 전단응력도 일어나지 않기 때문이다. 그러므로 유체정역학에서 다루는 모든 자유물체는 그 표면에 작용하는 힘으로서 압력에 의한 수직력만을 갖는다.

3 2.1 PRESSURE AT A POINT 평균압력은 평면을 미는 수직력을 그 면적으로 나누면 계산된다. 한 점에서의 압력 이란 그 점을 포함하는 작용면적이 0으로 접근될 때 그 면에 작용하는 수직력의 면적 에 대한 비의 극한값이다. 정지유체내의 임의 점에 작용하는 압력은 모든 방향에 대 하여 동일한 값을 갖는다. 이러한 사실은 정지유체속에 잠겨 있는 매우 작은 函素가 그 중심을 고정시키고 자유로이 회전할 때. 그 방향에 관계없이 일정한 크기의 힘이 面素 양면에 작용한다는 것을 의미한다. 이러한 사실을 입증하기 위하여 정지유체내의 한 점 (x,y)에서 단위폭을 갖는 패기모양의 자유물체를 택하여 이것에 대한 힘의 평형을 생각하여 본다(그림 2.1).

4 Figure 2.1 Free-body diagram of wedge-shaped particle

5 이 경우 전단력은 사용하지 않고, 다만 수직표면력과 중력만이 작용하므로
이 경우 전단력은 사용하지 않고, 다만 수직표면력과 중력만이 작용하므로. x와 y․ 방향의 운동 방성식은 각각 다음과 같이 표시된다. 여기서 px, py, ps는 각각 세 면에 작용하는 평균압력이고, ｒ는 유체의 비중량, ρ는 밀도,  ax, ay는 가속도의 x, y 성분이다 θ 를 그대로 유지하면서 경사면을 점 (x, y)에 접근 시키는 방법으로 자유물체의 크기를 0으로 축소시켜 극한을 취하고 기하학적 관계인 를 고려하면 방정식은 다음과 같이 간략화 된다 두번째 식의 마지막 항은 高位의 無限小이므로 무시할 수 있다.

6 이 경우 한 점에 작용하는 압력은 그 점에 작용하는 임의 直交 三軸 垂童壓縮應力의 평균으로 정의된다.
δy와δx로 나눈 다음 두 방정식을 조합하면 다음 관계를 얻는다. θ 를 임의의 각으로 택하였으므로 위의 식은 정지유체내에서 한 점에 작용하는 압력은 모든 방향에서 같음을 증명해 주고 있다. 이 증명은 2차원인 경우를 증명한 것이지만, 3면의 좌표평면과 1면의 임의 경사면을 갖는 작은 삼각뿔의 유체입자에 평형방정식 을 적용하면 3차원에 대해서도 똑같이 증명할 수 있다. 유체가 움직여서 한 층이 인접층에 대하여 상대운동을 한다면 전단응력이 발생하계 되어 일반적으로 한 점에 작용하는 수직압력이 모든 방향에서 같아지지 않게 된다. 이 경우 한 점에 작용하는 압력은 그 점에 작용하는 임의 直交 三軸 垂童壓縮應力의 평균으로 정의된다. 점성계수가 0인 가상유체, 즉 마찰이 없는 유채에서는 유채가 어떤 운동을 하더라도 전단응력이 발생하지 않으므로 한 점에서의 압력은 모든 방향에서 같다.

7 2.2 BASIC EQUATION OF FLUID STATICS
정지유체내에서의 여러가지 압력 Force balance: 정지유체내의 요소에 작용하는 힘 (Fig. 2.2) : 표면력(surface forces ), 체적력( body forces) 체적력으로서 중력만이 작용한다고 가정할 때,  을 y축으로 택하면 체적력은 y방향으로 -γ δx δy δz 가 작용한다. 중심 (x, y, z)에서의 압력을 p라 할 때 y축에 수직하고 원점에 가장 가까운 면에 작용하는 힘과 반대면에 작용하는 힘은 여기서 δy/2는 중심으로부터 y축에 숙직하는 면까지의 거리이다.

8 Figure 2.2 Rectangular parallelepiped element of fluid at rest

9 y방량으로 작용하는 힘을 합하면 다음과 같다. x와 z방향에 대해서는, 이 방향의 체적력성분이 존재하지 않으므로 그림2.2의 요소에 작용하는 힘 벡터 δF는 다음과 같다. δx δy δz = δV 로 양변을 나누고, 요소의 크기를 0으로 접근시키면 이 값은 한 점에서 단위부피당 작용하는 결과력을 의미하며, 정지유체 중에서는 그 크기가 0이 되어야 한다 구배 ∇ 는

10 p의 음기울기 -∇p는 압력에 의해 단위체적에 작용하는 표면력의 벡터장 f이다.
압력변화에 관한 정역학법칙은 다음과 같이 된다 운동하고 있는 비점성유체나, 혹은 유체내 모든 점에서 전단응력이 0이 되도록 흐르는 유체에 Newton의 운동 제 2법칙은 다음과 같은 형으로 표시된다. 여기서 a는 유체요소의 가속도이다. (f - jr)는 중력이 체적력만으로써 작용할 때 유체에 작용하는 결과력이다.

11 미분방정식은 압축성, 비압축성유체 모두에 적용되는 것으로, 유체내의 압력변화는 비중량과 높이의 변화에 관계됨을 보여주고 있다.
식(2.2.4)를 성분별로 나누어 표시하면 아래의 식이 된다. 수평방향의 압력변화를 나타내는 편미분계수 는 일종의 Pascal의 원리를 나타낸 것이다. 즉, 연속되어 있는 정지유체내에서 같은 높이에 있는 두 점에서의 압력은 같다는 것을 말해준다. p는 y만의 함수이므로 미분방정식은 압축성, 비압축성유체 모두에 적용되는 것으로, 유체내의 압력변화는 비중량과 높이의 변화에 관계됨을 보여주고 있다. 균질, 비압축성유체에서는 r가 상수이므로 식 (2.2.7)을 적분하고 적분상수를 c라 하면 아래의 식과 같이 된다. 압력변화에 관한 靜水力學的 法則은 흔히 다음 형태로 쓰고 있다. 여기서 h 는 자유표면으로부터 수직하향 깊이 (h = -y )이고 p는 자유표면에서의 압력보다 증가된 압력의 크기를 나타낸다

12 [예제 2. 1] 해양학자가 높이 5m인 해양실험실을 설계하려 한다
[예제 2.1] 해양학자가 높이 5m인 해양실험실을 설계하려 한다. 실험실의 윗면이 바다 속 100m되는 곳에 잠기더라도 견딜 수 있어야 한다. 海水의 비중을 1.020으로 하고 윗면에서의 압력과 측면에서의 압력변화를 구하라. At the top, h = 100 m, and 실험실 윗면으로부터 아래로 잰 깊이를 라 하면 압력변화는

13 壓縮性流體內에서의 壓力變化 한 유체가 등온 하에서 정지상태에 있는 완전기체라 할 때 식 (1.6.2)로부터 다음 식을 얻을 수 있다. 식 (2.2.7)에서 γ 의 값을 ρg로 대체하고, 식 (2.2.7)과 식 (2.2.9)로부터 ρ 를 소거하면 아래 식을 얻을 수 있다. 만약P = P0 에서 ρ = ρ0로 놓고 이 적분한계에 대하여 정적분을 하면 이식은 등온 기체 내 에서의 고도에 따른 압력고도를 나타내는 방정식이다. 대기는 흔히 다음과 같이 일정온도기울기를 갖는다고 가정한다. 標準大氣에서는 성층권에 이르기까지 ( K/m)이다. 완전기체의 법칙으로부터, 밀도는 압력과 고도의 항으로 표시될 수 있다.

14 [예제 2. 2] 대기를 지배하는 등온조건을 가정하여, 2,000m 高度에서의 압력과 밀도 를 계산하라
[예제 2.2] 대기를 지배하는 등온조건을 가정하여, 2,000m 高度에서의 압력과 밀도 를 계산하라. 해면에서의 압력과 밀도는 각각 Pa abs, 1.24kg/ 이다. 식 (2.2.12)로 부터 식 (2.2.9)로 부터 #

15 2.3 UNITS AND SCALES OF PRESSURE MEASUREMENT
압력은 어떤 기준에 곤련시켜 나타낼 수 있다. 널리 사용되고 있는 기준으로는 절대 0인 압력(absolute zero) 국소 대기압(local atmospheric pressure) 절대압력(Absolute pressure): 완전진공과의 차이로 표시할 때 압력 계기압력(Gage pressure):국소대기압과의 차이로 표시 할 때 압력

16 Figure 2.3 Bourdon gage.

17 The bourdon 압력계 (Fig. 2.3): 계기압력을 측정하는 대표적인 압력계 압력감지요소는 납작한 타원형 금속관을 원형으로 구부려 만들었으며. 한쪽 끝은 막혀 있고, 다른쪽 끝은 측정하고자 하는 압력에 연결시키도록 되어 있다. 감지관내부 압력이 증가하면 관을 곧게 펴려하는 경향 때문에 지시기구에 붙어 있는 연결간을 잡아당겨 움직이게 한다. 압력의 크기에 관계없이 관의 안과 바깥 압력이 같을 때 지시 눈금은 0으로 타나난다. 같은 압력계는 관 주위의 매체압력을 기준한 상대적 압력의 크기를 측정한다. 매체압력으로서 보통 국소대기압인 경우가 많다.

18 Figure 2.4 Units and scales for pressure measurement

19 그림 2.4: 압력측정을 위한 단위들 사이의 관계와 그의 자료들을 예시하였다.
표준대기압은 해면에서의 평균압력으로 29.92inHg. 액주의 높이 로 표시한 압력은 액주 밑바닥의 단위면적당 작용하는 힘에 상응한다. 액체내에셔 높이에 따른 압력변화의 관계식 p = γh는 비중량 γ인 액주의 높이 h와 압력 p사이의 관계를 나타낸다. 물: γ는 9806 N/m3.

20 Figure 2.5 Mercury barometer
국소 대기압(Local atmospheric pressure) 수은기압계(mercury barometer) Aneroid 기압계(Aneroid barometer): 대기압과 진공상자 사이, 혹은 bourdon 압력계와 유사하나 시켜 놓은 진공 감지관 사이의 압력차로 국소대기압을 측정한다. 수은 기압계(Mercury barometer): 한쪽 끝이 막혀 있는 유리관에 수은을 가득 채우고 거꾸로 뒤집어 열려 있는 쪽을 수은 속에 잠기도록 한 것이다. 계기에서 수은기둥 R은 직접 읽을 수 있도록 눈금이 새겨져 있다. 수은 윗부분 공간에는 수은증기가 포함되어 있고, 수은증기의 압력 hv가 mmHg로 주어지고, R은 mm 단위로 하면 A점의 압력은 다음과 같이 표시할 수 있다. Figure 2.5 Mercury barometer

21 그림 2.4에서 계면의 상향방향을 압축력으로 생각하고, 절대 0을 기준한 압력과 국소대기압을 기준으로 하는 압력을 도시하여 놓았다.
계기기준을 국소대기압으로 할때 국소대기압아래에 위치하는 점에 대응하는 압력(국소대기압보다 낮은 압력)을 음압 혹은 진공(vacuum)이라 한다. 예로서, 기압계의 압력이 720mmHg 일 때 점 1에서의 절대 압력이 460mmHg 이면 계기 압력으로는 -260mmHg, 11inHg 진공 등으로 표현 할 수 있다.그러므로 절대압력과 계기압력과의 관계는 다음 식으로 표시된다. . Note: Pabs = pbar + pgage 절대압력 : P, 게이지압력 : p.

22 [예제2. 3]대기에서 고도에 따른 온도변화율을 기온감율이라 한다
[예제2.3]대기에서 고도에 따른 온도변화율을 기온감율이라 한다. 공기의 어느 부위의 운동은 그 주위 공기와의 밀도 차에 의존한다. 공기의 한 부위가 상승할 때 압력은 감소하고 체적은 팽창하며 온도는 건조단열기온감율(dry adiabatic laps late)이라 하는 비율로 감소한다. 지상으로부터 30ft 높이에서 버섯모양을 한 연기의 온도는 주변공기의 온도보다 20oF 높을 것으로 추정된다. 다음 조건하에서 연기의 어떤 변화가 일어날 것인가? (a) (a) 표준대기의 β = oC/m, t0 =20oC. (b) 역기온감율  β = oC/m이다.

23 식(2.2.7)과 (2.2.14)를 결합하면 열전달 없이 (등엔트로피과정, 7.1절)팽창하는 기체의 질량에 대한 온도와 압력관계는 여기서 T1은 연기의 초기 절대온도 P0는 초기 절대 압력이고, K는 비열비이다. 공기와 2원자분자 기체에서 K는 1.4이다. . 두 식에서 P/P0 를 소거하면 기체는 그 주위온도와 같아질 때 까지 상승 할 것이다. 마지막 두 식으로 부터 y를 구하면 β = oC per metre, R = 287 m·N/(kg·K), a = 2.002, 이고 y = 3201 m. 대기온도 변화가 β = oC per metre이면, a = , 이고 y = m. #

24 2.4 MANOMETERS 액주계는 액체 기둥을 사용하여 압력차를 측정하는 장치이다. 그림 2.6a: 기본적인 액주계
이 액주계는 계기압력이 0보다 큰 액체압력을 측정하는 데 사용한다. 유리관이 압력을 측정하고자 하는 용기에 연결되어 연직으로 설치되어 있어 평형이 유지될 때까지 액체가 관속으로 상승하게 되어 있다. 압력은 관속의 凹面(액체표면)으로부터 용기속의 측정위치까지 수직깊이 h로 주어진다. 이때 h 는 용기내 액체의 액주길이단위로 주어진다. Piezometer로는 陰의 계기압가 관속으로 상승하게 되어 있다. 압력은 관속의 凹面(액체표면)으로부터 용기속의 측정위치까지 수직깊이 h 로 주어진다. 왜냐하면 관을 통하여 용기속으로 공기가 흘러들어 갈 것이기 때문이다. 또한 A점의 압력이 높을 경우에 압력을 측정하려면 수직관이 매우 길어야 하므로 실용성이 없다. 액체의 비중을 S라 하면 A점의 압력을 水柱길위단위로 hS가된다.

25 Figure 2.6 Simple manometers.

26 그림 2.6b: 작은 음 또는 양의 계기압력을 측정한다
 그림에서 보는바와 같이 여기서는 液柱凹面(관속의)이 점 아래로 올 수도 있다. 液柱凹面에서는 계기압력으로 0이 되고 또 h의 증가와 더불어 A점의 압력이 감소되므로    units of length H2O 큰값의 음 또는 양의 계기압력을 측정하기 위하여는 그림 2.6(c)와 같이 비중이 아주 큰 제2의 액체를 사용한다. 제2의 액체는 측정하고자 하는 제1의 유체와 혼합되지 않는 것이어야 한다 제1의 유체는 기체인 경우도 있다. A점에 있는 제1유체의 비중을 S1 액주계에 있는 제2유체의 비중을 S2 라 하고 A점 또는 액주계 液柱凹面을 출발하여 액주계를 따라 진행하면서 A점의 압력에 대한 방정식을 세우면 다음과 같이 표현할 수 있다. hA – 측정하고자 하는 A 점의 압력을 수주의 높이로 표시한 것, h1, h2 - 길이단위

27 Figure 2.7 Differential manometers

28 差壓液柱計(그림2. 7)는 A, B 어느 점에서도 실제압력을 측정할 수 없을 때 두 점 사이의 압력차를 측정할 수 있게 한다
差壓液柱計(그림2.7)는 A, B 어느 점에서도 실제압력을 측정할 수 없을 때 두 점 사이의 압력차를 측정할 수 있게 한다. 앞에서 기술한 계산 과정을 그림2.7(a)에 적용하면, For Fig. 2.7b: 만약 A, B압력을 액체 칼럼의 길이로 사용할 수 있다면 Fig. 2.7a, For Fig 2.7b:

29 [예제 2. 4] 그림 2. 7(a)에서 A와 B에 있는 액체는 물이고, 액주계에는 비중 S=0. 8인 기름이 들어 있다
[예제 2.4] 그림 2.7(a)에서 A와 B에 있는 액체는 물이고, 액주계에는 비중 S=0.8인 기름이 들어 있다. h1=300mm, h2=200mm, h3=600mm 이다. (a) pA-pB는 몇 Pa인가? (b) pB=50kPa 이고 기압계 읽음이 730mmhg 이라면 A에서의 절대 압력은 수주높이로 몇 m에 해당하는가? (a) (b) (a)

30 Micromanometers 매우 작은 압력차나 큰 압력차를 정밀하게 측정하기 위하여 만들어진 몇 가지 종류의 액주계가 시판되고 있다. 어떤 것은 액주계의 두 경계면계 사이의 액위차를 정밀하게 측정할 수 있도록 고안된 것이 있다. 즉, 두 관을 가로지르는 이 장착된 작은 현미경이 있어 두 경계 면의 광실모변를 버니어(vernier)로 정밀하게 읽을 수 있도록 되어 있다. 현미경은 피니언(pinion)과 스크류에 의하여 상하로 움직일 수 있는 랙(rack)에 설치되어 있어, 광실모변의 위치를 정확하게 조절하 수 있도록 되어 있다.

31 Figure 2.8 Micromanometer using two gage liquids

32 Fig. 2.8: 서로 혼합되지 않는 두 개의 액체가 들어 있어 작은 압력자는 계기내 유체의 큰 위차R로 증폭시킬 수 있다.
무거운 계기액을 U자관의 0-0 면까지 채운 다음, 다시 가벼운 계기액을 양쪽 관에 첨가하여 큰 리저버(reservoir)의 1-1면까지 채운다. 측정하고자 하는 압력을 C와 D에 연결하면 측정하려는 기체 또는 액체가 1-1면 상부로 주입될 것이다. C에서의 압력이 D보다 약간 높다고 가정하면 경계계면은 그림 2.8과 같이 변할 것이다. 각 리저버에서 배제된 체적과 같아야 하므로 Manometer 식 γ1, γ2 and γ3 are the unit gravity force

33 Example 2. 5 그림 2. 8의 액주계로 두 공기압의 압력차를 측정하려고 한다. S2 = 1. 0, S3 = 1
Example 그림 2.8의 액주계로 두 공기압의 압력차를 측정하려고 한다. S2 = 1.0, S3 = 1.10, a/A = 0.01, R = 5 mm, t = 20oC, and 대기압 760 mm Hg이다. 공기의 압력차는 몇 Pa인가 γ1(a/A)는 아주 작으므로 무시한다. 식. (2.4.1)에 대입하면 #

34 Figure 2.9 Inclined manometer The inclined manometer: frequently used for measuring small differences in gas pressures. Adjusted to read zero, by moving the inclined scale, when A and B are open. Since the inclined tube requires a greater displacement of the meniscus for given pressure difference than a vertical tube, it affords greater accuracy in reading the scale. Surface tension causes a capillary rise in small tubes. If a U tube is used with a meniscus in each leg, the surface-tension effects cancel.

35 2.5 FORCES ON PLANE AREAS 기체의 미소압력차틀 측정하기 위하여 傾斜微壇計(inclined manometer)가 흔히 사용된다(그림 2.9). A와 B가 개방되었을 때 傾斜液柱를 움직여 눈금이 0이 되도록 조절한다. 같은 압력차에서도 경사관의 변위가 수직관의 변위보다 훨씬 크므로 좀더 정확하게 눈금을 읽을 수 있다. 작은 관에서는 표면장력으로 인한 모세관상승이 일어난다. U자관을 사용할 예 각관에서의 경계凹面을 동일하게 해 주던 표면장책효과는 서로 상쇄된다. 지름 0.5in이상의 관에서는 모세관상승을 무시할 수 있다.

36 Horizontal Surfaces 정지 유체 속에 수평으로 잠겨 있는 평면에는 전평면을 통하여 일정한 압력이 작용한다.
표면의 한 쪽에 작용하는 힘의 크기는 이 경우 面積素 A에 작용하는 요소별 힘 pdA는 모두 평행이고 크기가 같으르로 이러한 모든 요소별 힘 pdA의 스칼라합(scalar summation)은 合力의 크기로 나타난다. 이 합력은 평면에 수직한 p가 양이면 합력의 向方은 면을 향한다. .    합력의 작용선 혹은 작용점(임의의 축에 대한 모멘트가 0인 점)을 찾기 위해서는 그림 2.10과 같이 임의의 xy축을 잡는다. 작용점을 구하기 위하여, 임의의 축에 관한 합력의 모멘트는 분포력의 모멘트의 합과 같아야 하므로 y축에 이 관계를 적용하면 다음과 같다. 여기서 x'는 y축으로부터 합력의 작용점까지의 거리이다. p가 일정하므로 다음과 같다. 는 도형의 도심(부록 A참조)까지의 거리이다. 따라서 정지유채압력이 수평면에 미치는 合力은 면적의 圖心을 통과한다. x’ – y축으로부터 합력의 작용점까지의 거리

37 Figure 2.10 Notation for determining the line
of action of a force

38 Momentum (1) First moment
The moment of an area A about the y axis The moment about a parallel axis, for example, x = k, the moment Centroidal axis Volume center Mass center: center of gravity of a body

39 Figure A.1 Notation for first and second moments

40 (2) Second moment The second moment of an area A (the moment of inertia of the area) The moment about a parallel axis, for example, x = k, the moment Figure A.2 Moments of inertia of simple areas about centroidal axes

41 The product of inertia Ixy of an area
- the product of inertia about centroidal axes parallel to the xy axes.

42 Inclined Surfaces Fig. 2.11: a plane surface is indicated by its trace A'B‘;it is inclined θo from the horizontal. x axis: intersection of the plane of the area and the free surface. y axis: taken in the plane of the area, with origin O in the free surface. The xy plane portrays the arbitrary inclined area. The magnitude, direction, and line of action of the resultant force due to the liquid, acting on one side of the area, are sought. For δA: Since all such elemental forces are parallel, the integral over the area yields the magnitude of force F, acting on one side of the area, Magnitude of force exerted on one side of a plane area submerged in a liquid is the product of the area and the pressure at its centroid The presence of a free surface is unnecessary

43 Figure 2.11 Notation for force of liquid on one side of a plane inclined area.

44 Center of Pressure Fig. 2.11: the line of action of the resultant force has its piercing point in the surface at a point called the pressure center, with coordinates (xp, yp). Center of pressure of an inclined surface is not at the centroid. To find the pressure center, the moments of the resultant xpF, ypF are equated to the moment of the distributed forces about the y axis and x axis, respectively  - may be evaluated conveniently through graphical integration, for simple areas they may be transformed into general formulas:

45 When either of the centroidal axes is an axis of symmetry for the surface, vanishes and the pressure center lies on x = x- . Since may be either positive or negative, the pressure center may lie on either side of the line x = x-. To determine yp by formula, with Eqs. (2.5.2) and (2.5.6) In the parallel-axis theorem for moments of inertia in which IG is the second moment or the area about its horizontal centroidal axis. If IG is eliminated from Eq. (2.5.9)

46 Figure 2.12 Triangular gate
[예제 2.6] 삼각수구문(gate) CDE(그림 2.12)가  CD를 따라 힌지(hinge)로 연결되어 있고 E에 작용하는 수직럭 P에 의하여 열려진다. 수문 윗부분에는 비중 0.8인 기름이 채워져 있고 아래부분은 대기 중에 개방되어 있다. 수문의 무게를 무시하고 다음을 구하여라. (a) 수문에 작용하는 힘의 크기를 적분으로, 그리고 식 (2.5.2)를 적용하여 구하라. (b)압력중심의 위치, (c)수문을 여는데 필요한 힘의 크기 P. Figure Triangular gate

47 (a) Fig. 2.12를 참조하여 적분하면, x, y에 따라 선형적으로 변화하고, y = 4에서, x = 0, y = 6.5에서, x = 3, 이므로 a, b에 관해서 풀고, a, b의 값을 제1식에 대입하여 x의 값을 y의 항으로 나타낼 수 있다 같은 방법으로 , y = 6.5, x = 3; y = 9, x = 0; x = 6/5(9 - y). 따라서, 이 식을 적분하고 γsinθ의 값을 대입하면, 합력의 크기를 얻는다. 식. (2.5.2)으로부터

48 (b) 도시된 좌표축에 대하여 식. (2.5.8)에서 작용면은 x축에 평행한 도심선에 관하여 대칭이므로 I-xy= 0 따라서 In Eq. (2.5.11), 즉 압력중심은 도심보다 수문면을 따라 측정해서 0.16m 아래에 위치한다. (c) 기름에 의한 효과를 합력으로 대치하고, CD에 관한 모멘트평형을 취하면 ,

49 The Pressure Prism 평면에 작용하는 합력과 작용선을 구하는 또 하나의 방법으로서 압력프리좀의 개념을 이용하는 방법이 있다. 압력프리즘이란 주어진 작용면을 밑면으로 하고, 평면의 임의점에서의 높이를 압력 p = γh로 하는 프리즘형 부피를 말한다. 여기서, h는 밑면의 임의적으로부터 자유표면까지의 연직거리이다(그림2.13).(실제로 자유표면이 존재하지 않을 때는 h를 정의하기 위하여 가상자유표면을 사용할 수 있다.) 그림에서 γh의 크기를 적절한 척도로 하여 그 연결선이 OM이 되도록 한다. 이때 면적 에 작용하는 δA 힘은 (2.5.12) 가 되어 압력프리즘의 한 부피비와 같게 된다. 이식을 적분하면 F = ϑ 가 된다. 이는,즉 압력프리즘의 부피가 평면의 한쪽 면에 작용하는 합력과 같다는 것을 의미한다.    식. (2.5.5)와 (2.5.6)로부터, (2.5.13) 여기서 xp, yp는 압력프리즘의 체심[centroid, 식 (A.5)]까지의 거리를 나타낸다. 따라서 합력의 작용선은 압력프리즘의 체심을 통과한다. 몇 가지 간단한 도형에 대해서는 압력프리즘 방법이 적분이나. 공식을 이용하는 것보다 훨씬 편리하다. 예를 들어, 한 모서리가 자유표면과 일치하는 직사각형 평면에서는 쐐기모양(wedge-shaped)의 프리즘을 형성하고, 그 체심은 밑면으로부터 1/3 높이에 있다. 따라서 압력중심은 밑변으로부터 1/3 높이에 존재한다

50 Figure Pressure prism

51 Effects of Atmospheric Pressure on Forces on Plane Areas
압력에 의한 힘을 논의하면서 압력의 기준을 언급하지 않았다. 자유표면으로부터 깊이 되는 지점의 압력은 p = γh 로 계산 하였다. 따라서 이 경우 기준 압력은 계기압력 0, 즉 국소대기압으로 택하였다. 평면의 반대쪽이 대기 중에 노출되어 있다면 절대압력 0을 기준압력으로 하는 대기압 P0 와 그 면적 A와의 곱, 인 P0A 힘이 그 면에 작용하게 될 것이다. 한편, 액체에 접해 있는 쪽의 평면에 작용하는 힘은 그러므로 대기압에 의한 힘 P0A 는 양면에 똑같이 작용하게 되어 합력의 크기와 압력중심의 위치에 아무런 영향을 미치지 않게 된다. 자유물체의 모든 면에 작용하는 압력에 동일한 기준압력을 사용하는 한은, 이 기준으로 압력이 0이 되는 자유표면을 설정하고 앞서의 방법들을 그대로 적용하면 합력과 모멘트를 결정할 수 있다.

52 [예제 2. 8] 평면에 작용하는 압력에 의한 힘의 한 응용으로서 중력댐(gravity dam)의 설계가 있다
[예제 2.8] 평면에 작용하는 압력에 의한 힘의 한 응용으로서 중력댐(gravity dam)의 설계가 있다. 댐에 작용하는 힘들로부터 댐 밑면에서의 최대압축응력과 최소압축응력을 계산할 수 있다. 그림 2.15는 콘크리트 댐의 한 단면을 표시한 그림이다. 콘크리트의 비중량은 2.5γ이고, γ는 물의 비중량이다. 폭 1ft의 댐을 자유물체로 생각한다. 자유물체에 작용하는 힘들은 콘크리트, 물, 기초압력(foundation pressure)그리고 (hydrostatic uplift)등에 의한 힘을 들 수 있다. 정수력학적 융기의 크기를 걸정하는 문제는 이 책의 정도를 벗어나지만, 여기서는 댐의  상단에서 (hydrostatic head)의 1/2이 작용하고, 이것이 정수정력수두 선형적으로 감소하여 하단에서는 0이 된다고 가정한다. 충분한 마찰력, 다시 말해서 전단응력이 댐의 밑바닥에 발생되어 수압에 의하여 댐을 밀어내는 힘과 평형을 이루어야 한다. 즉, Rx = 5000γ 이다. 밑바닥에서 댐을 밀어 올리려는 결과력은 댐의 무게에서 定數力學的(정수력학적)隆起力(융기력)을 뺀 것과 같다. 즉, Ry = 6750γ γ γ = 7625γ N 이고, 작용점은 자유물체가 평형을 이루는 점이다. 0점에 관한 모멘트를 취하면

53 Figure 2.15 Concrete gravity dam

54 통상 기초압력은 댐 밑면에 걸쳐 선형적으로 변화하는 것으로 가정한다
통상 기초압력은 댐 밑면에 걸쳐 선형적으로 변화하는 것으로 가정한다. 즉, 압력 프리즘은 Ry 와 같은 부피를 갖는 사다리꼴이 된다. 따라서, 여기서 σmax 와 σmin 은 의 단위라 표시한 최대, 최소압축응력이다. 압력프리즘의 體心(체심)은 x = 44.8 m 지점에 위치한다. 체심의 위치를 σmax 와 σmin 의 항으로 나타내기 위하여 점0에 관한 모멘트를 취한다. 이식을 정리하면 을 얻는다. 밑면에 작용하는 합력의 작용점이 댐 밑면을 3등분 했을 때 중앙부분에 오기만 하면 σmin 은 항상 압축응력이 된다. 콘크리트는 이張에 매우 취약하므로 좋은 설계가 되기 위하여는 합력이 밑면의 3등분 중 중앙에 작용하도록 설계하는 것이 요망된다.

55 2.6 FORCE COMPONENTS ON CURVED SURFACES
곡면위의 어느 面積素 에 작용하는 力素 p δA 의 방향은 변한다. 그러므로 합력을 계산할 때 이들 力素 는 벡터량으로 취급하여 벡터합을 계산하여야 한다. 즉,서로 직교하는 3방향 성분을 각각 스칼라로서 합한 후 이들 세 성분을 벡터적으로 합해야 한다. 서로 직교하는 두 개의 수평성분과 하나의 연직성분(한 곡면에 대하여 쉽게 계산할 수 있다.)을 알면 합력을 구할 수 있다. 각 성분의 작용선도 쉽게 결정된다.

56 Horizontal Component of Force on a Curved Surface
곡면에 작용하는 전압력의 수평성분은 곡면의 연직투영 면적에 작용하는 전압력과 같다. 연직투영면과 수평성분의 방향은 서로 수직한다. 그림 2.16의 곡면은 임의의 3차원 곡면을 나타내고 있다. δA는 미소 면적소이고 δA에 수직한 수직선은 음의 x축과 의 θ각을 이룬다. δA의 한쪽 면에 작용하는 전압력의 x방향성분은

57 Figure 2.16 Horizontal component of force on a curved surface
Figure Projections of area elements on opposite sides of a body

58 Vertical Component of Force on a Curved Surface
The vertical component of pressure force on a curved surface is equal to the weight surface and extending up to the free surface Can be determined by summing up the vertical components of pressure force on elemental areas δA of the surface In Fig.2.18 an area element is shown with the force p δA acting normal to it. Let θ be the angle the normal to the area element makes with the vertical. Then the vertical component of force acting on the area element is p cos θ δA, and the vertical component of force on the curved surface is given by (2.6.2) p replaced by its equivalent γh; cos θ δA is the projection of δA on a horizontal plane  Eq. (2.6.2): ( ) in which δϑ is the volume of the prism of height h and base cos θ δA, or the volume of liquid vertically above the area element

59 Figure 2.18 Vertical component of force on a curved surface
Figure Liquid with equivalent free surface

60 상의 임의점 압력은 그 점으로부터 가상자유표면까지의 연직거리와 비중량을 곱해서 계산한다.
또한 곡면에서 작용하는 전압력의 연직성분은 곡면 상방에 놓여있는 액체의 假想부피의 무게와 같아진다. 假想자유표면을 설정할 때 가상액체는 곡면과 접하고 있는 액체와 동일한 비중량을 갖는 액체이어야 한다. 동일하지 않으면 곡면에 분포되는 압력분포가 올바르게 표현되지 않기 때문이다. 가상액체가 곡면 위에 채워져 있고 곡면의 두께를 무시하면 곡면 양쪽에 작용하는 압력분포는 크기가 같고 방향은 반대가 될 것이다. 그러므로 곡면 아래쪽에 액체가 접하고 있을때 곡면에 작용하는 전압력의 연직성분은 곡면 상부에 놓여 있는 가상 액체의 무게와 방향은 같고 방향은 반대방향(上向)이 된다. 그러므로 곡면위에 가상액체가 있을 때에는 연직성분의 방향만이 반대가 된다. 경우에 따라서는 곡면 상부가 밀폐되어 그 안에 액체 주입되어 있는 경우가 생긴다. 이때 액체가 加壓되어 있느냐 또는 연직성분 진공상태에 있느냐에 따라 가상 액체를 첨가 또는 제거하여 자유표면을 결정하여야 한다.

61 연직성분의 작용선은 임의의 편리한 축에 대한 전압력의 모멘트를 面積素에 작용하는 鉛直成分素 모멘트의 값과 같게 놓음으로써 얻을 수 있다. 점 O를 지나는 한축에 관한 모멘트를 취하면 (Fig.2.18), x는 O로 부터 작용선까지의 거리이다 Fv = γθ 즉 x 체심까지의 거리이다. 그러므로 연직성분의 작용선은 곡면의 연직상방에 실제 또는 가상으로 놓이는 채적의 체심을 통과한다.

62 [예제 2. 11] 원통 장애물이 그림과 같이 물을 막고 있다(그림2. 20). 원통 벽면의 접촉은 매끄럽다
[예제 2.11] 원통 장애물이 그림과 같이 물을 막고 있다(그림2.20). 원통 벽면의 접촉은 매끄럽다. 폭 1m인 원통에 대하여 다음을 구하라. (a)원통의 무게 (b)벽면에 미치는 힘. (a) 평형상태하에서 원통의 무게는 수압으로 원통에 작용하는 전압력의 연직성분과 일치한다.(CD부분에 대한 假想 자유표면은 A와 같은 높이에 있다.) BCD에 작용하는 연직력은 AB에 작용하는 연직력은 따라서 단위 길이당 원통의 무게는 (b)벽면에 작용하는 힘은 ABC에 작용하는 전압력의 수평성분에서의 CD에서의 수평성분을 뺀 것이다. BC와 CD에서의 수평성분은 서로 相殺되므로 연직면에 작용하는 BCD의 투영면적은 0이다. 그러므로 위의 계산에서 투영면적은 2이고 투영면 도심에서의 압력은 9806Pa 이다.

63 Figure 2.20 Semifloating body

64 Tensile Stress in a Pipe and Spherical Shell
內壓을 받는 원형파이프는 원둘레방향에 인장력이 걸린다. 길이방향의 인장응력이 발생하지 않는다고 가정하면, 관 벽은 그림 2.21에 도시한 바와 같이 접선방향의 引張狀態에 놓이게 된다. 단위길이의 圓管部分, 다시 말해서 圓管軸에 수직하고 단위길이의 간격을 갖는 두 평형평면에 의하여 절단되는 圓環體에 작용하는 힘의 평형관계를 생각하여 본다. 圓環體의 반을 자유물체로 택하면 상하면에 작용하는 단위길이당 인장력은 그림과 같이 각각 과 이다. 內壓에 의한 합력의 수평성분은 투영면적의 압력중심에 작용하여 그 크기는 2pr 이다. 여기서 p는 중심선에서의 압력이고 r은 파이프내 반지름이다. 높은 압력에 대하여 압력중심은 파이프중심으로 택할 수 있으므로 T1 = T2=T가 된다. 여기서 T는 단위길이당의 인장력이다. 벽 두께를 e라 하면 파이프 벽면에서의 인장력은 다음과 같이 예상된다.

65 Figure 2.21 Tensile stress in pipe

66 [예제 2. 12] 내경 100 mm-ID 인 강판의 벽 두께가 in이다
[예제 2.12] 내경 100 mm-ID 인 강판의 벽 두께가 in이다. 허용 인장응력이 70 MPa 이라할 때 최대內壓은 얼마까지 가능한가?

67 2.7 BUOYANT FORCE 정지 유체속에 잠겨 있거나 떠 있는 물체의 표면에 작용하는 표면력의 합력을 부력이라고 한다. 부력은 항상 연직상방으로 작용한다. 잠겨 있는 물체 혹은 부양체에서 잠겨 있는 부분의 연직면에 수직한 투영면적의 합은 항상 0이므로 전표면력의 수평성분은 존재하지 않는다. 잠겨 있는 물체에 작용하는 부력은 물체의 하면에 작용하는 전압력의 연직성분과 상면에 작용하는 전압력의 연직성분과의 차이다. 그림 2.22에서 하면에 작용하는 상력은 곡면 ABC위에 연직으로 놓이는 실제 또는 가상 액체의 무게와 같다.

68 Figure 2.22 Buoyant force on floating and submerged bodies

69 다시 말하면, ABCEFA 안에 들어 있는 액체의 무게이다. 상면에 작용하는 하력은 ABCDEFA 부분의 액체 무게와 같다
다시 말하면, ABCEFA 안에 들어 있는 액체의 무게이다. 상면에 작용하는 하력은 ABCDEFA 부분의 액체 무게와 같다. 이 두 힘의 차를 부력이라 말하고, 이 힘은 잠긴 물체를 연직 상방으로 밀어올린다. 그리고 이 힘의 크기는 잠긴 물체에 의하여 배제된 유체의 부피인 ABCD의 무게와 같다. 식으로 나타내면 FB 부력, V 유체의배제체적, γ 유체의 비중량 부양채의 경우도 를 배제된 액체의 체적으로 하면 식(2.7.1)을 그대로 적용할 수 있다. 그림 2.22는 이 사실을 명백히 보여주고 있다.

70 그림 2.23에서 단면적 δA인 연직기둥 모양을 하고 있는 체적소에 작용하는 연직력은
여기서 δV는 기둥의 체적이다. 가 전 체적을 통하여 일정할 때 전 체적에 걸쳐 적분하면 γ : 전체적상수 부력의 작용선을 구하기 위하여 임의 축 O에 관한 모멘트의 합을 부력의 이 축에 관한 모멘트와 같게 놓는다. 즉, 여기서 x는 축 0로부터 작용선까지의 거리이다. 이 식은 역시 배제체적의 체심까지의 거리를 의미한다. 그러므로 부력의 작용선은 물체에 의해 배제된 체적의 체심을 통과한다. 이는 잡긴 물체나 떠 있는 부양체 모두에 적용된다. 배제된 유체체적의 체심을 부심(center of buoyance)이라 한다.

71 Figure 2.23 Vertical force components on element of body

72 임의 형태를 한 물체를 서로 다른 두 가지 유체속에 집어 넣고 무게를 달면 그 물체의 무게, 체적, 비중량 및 비중을 계산할 수 있다.
그림 2.24은 같은 물체를 두 가지 유체속에 넣고 무게를 재는 자유물체도이다. F1,, F2 를 각각 두 유체속에서 잰 물체의 무게 γ1 , γ2 를 각 유체의 비중량이라 하면 물체의 무게 W 와 부피 V는 평형방정식은

73 Figure 2.24 Free body diagrams for body suspended in a fluid

74 ΔV = aΔh를 고려하면 식. (2.7.2) 와 (2.7.3)를 풀면
액체비중계(hydrometer)는 부력의 원리를 이용하여 액체의 비중을 알아내는 계기이다. 그림 2.25은 두 액체에 들어 있는 비중계를 그려 놓은 그림이다. 비중계 기둥의 단면적을 a라고 가정한다. 왼쪽 그림에 있는 액체를 비중 S=1.0인 증류수라 하면 비중계는 일 때 평형을 이루고, 물속에 떠 있게 된다. 여기서 V0는 물에 잠긴 부분의 체적, γ는 물의 비중량이다. 이때 물의 자유표면과 교차하는 기둥 위치에 단위비중 S를 나타내는 1.0를 표시한다. 다음에 비중 S를 알고 있는 다른 액체 속에 넣으면, 비중계에 대한 평형방정식은 ΔV = aΔh를 고려하면 식. (2.7.2) 와 (2.7.3)를 풀면

75 Figure 2.25 Hydrometer in water and in liquid of relative density

76 [예제 2. 13] 공기 중에서 1. 5N인 광석덩어리를 물속에서 측정할 때, 무게가 1. 1N이었다

77 2.8 STABILITY OF FLOATING AND SUBMERGED BODIES
정지유체에 떠 있는 물체는 연직방향으로 안정하다. 연직상방으로 작은 변위가 일어나면 배제체적이 감소되어, 불평형 하향력이 발생되어 물체는 원래 위치로 되돌아간다. 유사하게 아래 방향으로 작은 변위가 일어나면 과잉의 부력을 야기시켜, 비평형 상향력의 원인이 되어 더욱 부력을 발생한다. 이와 같이 임의 방향으로 물체에 작은 선형변위를 주었을 때 원위치로 돌아가려는 복원력이 생기면 이 물체는 선형 방향으로 안정하다고 말한다. 마찬가지로 임의의 작은 각변위에 대하여 복원 모멘트가 생길 때 이 물체는 회전 방향에 대하여 안정하다고 말한다.

78 회전안정성을 결정하는 방법에 관하여 기술하고자 한다
회전안정성을 결정하는 방법에 관하여 기술하고자 한다. 물체는 액체속에서 안정평형, 불안정평형 혹은 중립평형상태 중 어느 한 상태에서 떠 있을 수 있다. 물체가 불안정평형상태에 있을 때는, 어떤 작은 각 변형은 각변형을 증가하는 경향이 있는 모멘트를 발생한다. 중립평형상태에 있는 물체는 어떤 작은 각 변위도 아무런 회전력이 발생하지 않는다. 그림 2.26에 3가지 평형상태의 경우에 예시하여 놓았다. (a)는 가벼운 나무 밑부분에 금속추가 달려 있는 경우로서 안정평형상태인 경우이다. 그림 (b)는 금속추가 나무 꼭대기에 달려 있는 경우로서 물체는 불안정평형상태에 있다. 그러므로 작은 각 변위에 대하는 물체는 (a)와 같은 안정위치로 전복되려 한다. 그림 (c) 는 균질의 구 또는 원통이 액체 위에 떠 있는 경우로서 모든 각 변위에 대하여 평형을 유지하는 중립평형상태이다. 즉, 각 변위에 대하여 회전력을 유발하지 않는다.

79 Figure 2.26 Examples of stable, unstable, and neutral equilibrium

80 Figure 2.27 Rotationally stable submerged body

81 통상 너무 무거워서 뜰 수 없는 물체는 유체속에 잠겨 바닥에 닿을 때까지 내려간다.
깊이가 깊어질수록 유체의 비중량은 증가하지만, 높은 압력에 의한 압축으로 물체가 수축되거나 고체 중에 있는 氣孔이 유체로 채워지기 때문에 결과적으로 부력이 감소한다. 예컨대, 한 번 유체 속에 완전히 잠긴 선박은 바닥까지 가라앉는다. 왜냐하면 선박의 이곳저곳에서 막혀진 공기가 압축되어 수축되기 때문이다

82 Determination of Rotational Stability of Floating Objects
그러나 어떤 부양체는 무게 중심이 부력의 중심보다 상부에 위치할 때에도 안정평형상태에서 떠 있을 수 있다. 우선 물체의 안정성을 먼저 검토하고, 다음에 일반적인 부양체가 미소 각변위를 할 때의 안정성에 관한 해석에 들어가기로 한다. 그림 2.38(a)는 모든 평행 단면들이 같은 모양을 갖는 물체의 단면도이다. 부심은 항상 배제부피의 도심에 위치한다. 그러므로 이 경우 부심은 액체표면 아래에 잠겨 있는 단면적의 중심에 위치한다.

83 Figure 2.28 Stability of a prismatic body

84 따라서 물체가 그림 2.30(b)와 같이 기울었을 때 부심은 사다리꼴 ABCD의 도심 B′에서 상부로 작용하며, 중력은 중심 G에서 하부로 작용한다.
B′를 지나는 연직선이 원래의 중심선을 G 위쪽의 점 M에서 끊으므로, 복원모멘트가 생성되어 물체는 안정 평형을 이룬다. 부력의 작용선과 물체의 중심선과의 교점을 경심이라 하고, M으로 표시된다. M이 G위에 위치하면, 물체는 안정되고, G밑에 위치하면 불안정하다. G에 있을 때는 중립평형이다. 거리 MG를 경심높이라 한다. 이 값은 물체의 안정성을 판정하는 직접적 지표가 된다. 복원모멘트는 다음과 같다. θ : 각변위, W : 부양체의 무게

85 [예제 2. 14] 그림 2. 30모양의 바지선은 폭이 6m이고 길이 20m, 총 무게가 200Mg이다
[예제 2.14] 그림 2.30모양의 바지선은 폭이 6m이고 길이 20m, 총 무게가 200Mg이다. 중심은 수면 위 30cm인 곳에 있다. Δy=30 cm일 때 부심 높이와 복원모멘트를 구하라. 물 속에 잠긴 부분의 깊이 h는 이다. 기울어진 상태에서는  心은 AB와 BC에 대한 면적모멘트를 취하여

86 G는 밑면에서 7.0ft높이에 있으므로 가 양의 값을 가지므로 평판(바지선)은 안정이고 복원모멘트는 다음과 같다. #

87 Nonprismatic Cross Sections
부심의 수평 이동거리 r[그림2.29(b)]은 쐐기 모양의 잠긴 부분에 작용하는 부력의 변화를 관찰함으로써 얻어낼 수 있으며, 왼쪽 꽤기 부분은 물에 잠기게 되어 부력 ΔFB가 상 방향으로 작용하며, 한편 오른쪽 쐐기부분은 같은 크기의 ΔFB만큼 부력을 감소시킨다. 따라서 B에 작용하는 원래의 부력과 쐐기모양 부분으로 야기되는 부력 ΔFBs로 구성되는 부력 는 B′에 작용하는 같은 크기의 부력으로 일어나는 결과와 같아야 한다. 따라서 B에 관한 모멘트를 취하면 부심의 변천 r의 크기를 얻을 수 있다.

88 Figure 2.29 Stability relations in a body of variable cross section

89 회전력의 크기는 액체표면과 물체와의 교차면, 즉 부양면의 중심선인 점O에 관한 모멘트를 취하여 구할 수 있다
부양면상의 면 δA 에 대한 쐐기부분의 체적은 xθ δA이다. 이 쐐기로 인한 부력은 γx2θ δA이다. 여기서 θ는 작은 경사각을 라디안으로 표시한 것이다. 이 모멘트를 전면적에 걸쳐 적분하면 다음과 같이 모멘트를 구할 수 있다. 여기서 I는 정장면의 중심축 y∙y에 관한 면적 관성모멘트이다[그림2.29(a). 이 관계를 식 (2.8.1)에 대입하면 V : 부양체가 밀어낸 총 배제체적 Θ는 매우 작으므로

90 GB = 2 – 0.5 = 1.5 m For rolling For pitching #
[예제 2.15] 배수질량이 1Mkg 이고 수면에서의 수평단면(부장면)이 그림 2.32와 같은 바지선이 있다. 부심은 수면 아래 2.0m에 있고 중심은 수면보다 0.5m 아래에 있다. 배가 y-y축 주위로 좌우로 흔들릴 때(rolling)와 x-x축에 대해 앞뒤로 흔들릴 때(pitching) 경심의 높이를 구하라. GB = 2 – 0.5 = 1.5 m For rolling For pitching #

91 Figure 2.30 Horizontal cross section of a ship at the waterline

92 2.9 RELATIVE EQUILIBRIUM Fluid statics: no shear stresses  the variation of pressure is simple to compute For fluid motion such that no layer moves relative to an adjacent layer, the shear stress is also zero throughout the fluid A fluid with a translation at uniform velocity still follows the laws of static variation of pressure. When a fluid is being accelerated so that no layer moves relative to an adjacent one (when the fluid moves as if it were a solid), no shear stresses occur and variation in pressure can be determined by writing the equation of motion for an appropriate free body Two cases are of interest, a uniform linear acceleration and a uniform rotation about a vertical axis When moving thus, the fluid is said to be in relative equilibrium

93 Uniform Linear Acceleration
Fig. 2.31: a liquid in an open vessel is given a uniform linear acceleration a After some time the liquid adjusts to the acceleration so that it moves as a solid, i.e., the distance between any two fluid particles remains fixed  no shear stresses occur By selecting a cartesian coordinate system with y vertical and x such that the acceleration vector a is in the xy plane (Fig. 2.31a), the z axis is normal to a and there is no acceleration component in that direction Fig. 2.31b: the pressure gradient ∇p is then the vector sum of -ρa and -jγ Since ∇p is in the direction of maximum change in p (the gradient), at right angles to ∇p there is no change in p. Surfaces of constant pressure, including the free surface, must therefore be normal to ∇p

94 Figure 2.31 Acceleration with free surface

95 To obtain a convenient algebraic expression for variation of p with x, y, and z, that is, p = p(x, y, z), Eq. (2.2.5) is written in component form : Since p is a function of position (x, y, z), its total differential is Substituting for the partial differentials gives which can be integrated for an incompressible fluid,

96 To evaluate the constant of integration c: let x = 0, y = 0, p = p0; then c =  p0 and
When the accelerated incompressible fluid has a free surface, its equation is given by setting p = 0 in the above eq. Solving it for y gives The lines of constant pressure, p = const, have the slope and are parallel to the free surface. The y intercept of the free surface is

97 Example The tank in Fig is filled with oil, relative density 0.8, and accelerated as shown. There is a small opening in the rank at A. Determine the pressure at B and C; and the acceleration ax required to make the pressure at B zero. By selecting point A as origin and by applying Eq. (2.9.2) for ay = 0 At B, x = 1.8 m, y = m, and p = 2.35 kPa. Ft C, x = m, y = m, and p = kPa. For zero pressure at B, from Eq. (2.9.2) with origin at A,

98 Figure 2.32 Tank completely filled with liquid

99 Example A closed box with horizontal base 6 by 6 units and a height of 2 units is half-filled with liquid (Fig. 2.33). It is given a constant linear acceleration ax = g/2, ay = -g/4. Develop an equation for variation of pressure along its base. The free surface has the slope: hence, the free surface is located s shown in the figure. When the origin is taken at 0, Eq. (2.9.2) becomes Then, for y = 0, along the bottom,

100 Figure 2.33 Uniform linear acceleration of container

101 Uniform Rotation about a Vertical Axis
Forced-vortex motion: rotation of a fluid, moving as a solid, about an axis Every particle of fluid has the same angular velocity This motion is to be distinguished from free-vortex motion, in which each particle moves in a circular path with a speed varying inversely as the distance from the center A liquid in a container, when rotated about a vertical axis at constant angular velocity, moves like a solid alter some time interval. No shear stresses exist in the liquid, and the only acceleration that occurs is directed radially inward toward the axis of rotation. By selecting a coordinate system (Fig. 2.34a) with the unit vector i in the r direction and j in the vertical upward direction with y the axis of rotation, the following equation may be applied to determine pressure variation throughout the fluid: (2.2.5)

102 Figure 2.34 Rotation of a fluid about a vertical axis

103 For constant angular velocity w, any particle of fluid P has an acceleration w2r directed radially inward (a = -iw2r) Vector addition of -jγ and -ρa (Fig. 2.34b) yields ∇p, the pressure gradient. The pressure does not vary normal to this line at a point  if P is taken at the surface, the free surface is normal to ∇p Expanding Eq. (2.2.5) k is the unit vector along the z axis (or tangential direction). Then p is a function of y and r only: For a liquid (γ ≈ const) integration yields c is the constant of integration

104 If the value of pressure at the origin (r = 0, y = 0) is p0, then c = p0 and
When the particular horizontal plane (y = 0) for which p0 = 0 is selected and the above eq. is divided by γ, : the head, or vertical depth, varies as the square of the radius. The surfaces of equal pressure are paraboloids of revolution.

105 When a free surface occurs in a container that is being rotated, the fluid volume underneath the paraboloid of revolution is the original fluid volume The shape of the paraboloid depends only upon the angular velocity with respect to the axis (Fig. 2.35). The rise of liquid from its vertex to the wall of the cylinder is w2r02/rg (Eq. (2.9.6)), for a circular cylinder rotating about its axis. Since a paraboloid of revolution has a volume equal to one-half its circumscribing cylinder, the volume of the liquid above the horizontal plane through the vertex is When the liquid is at rest, this liquid is also above the plane through the vertex to a uniform depth of Hence, the liquid rises along the walls the same amount as the center drops, thereby permitting the vertex to be located when w, r0, and depth before rotation are given

106 Figure 2.35 Rotation of circular cylinder about its axis

107 Example 2. 17 A liquid, relative density 1
Example A liquid, relative density 1.2, is rotated at 200 rpm about a vertical axis. At one point A in the fluid 1 m from the axis, the pressure is 70 kPa. What is the pressure at a point B which is 2 m higher than A and 1.5 m from the axis? When Eq. (2.9.5) is written for the two points, Then w = 200 x 2π/60 = rad/s, γ = 1.2 x 9806 = N/m3, rA = 1 m, and rB = 1.5 m. When the second equation is subtracted from the first and the values are substituted, Hence

108 Example A straight tube 2 m long, closed at the bottom and filled with water, is inclined 30o with the vertical and rotated about a vortical axis through  its midpoint 6.73 rad/s. Draw the paraboloid of zero pressure, and determine the pressure at the bottom and midpoint of the tube. In Fig. 2.36, the zero-pressure paraboloid passes through point A. If the origin is taken at the vertex, that is, p0 = 0, Eq. (2.9.6) becomes which locates the vertex at O, m below A. The pressure at the bottom of the tube is or At the midpoint, =.289 m and

109 Figure 2.36 Rotation of inclined tube of liquid about a vertical axis

110 Fluid Pressure Forces in Relative Equilibrium
The magnitude of the force acting on a plane area in contact with a liquid accelerating as a rigid body can be obtained by integrating over the surface The nature of the acceleration and orientation of the surface governs the particular variation of p over the surface When the pressure varies linearly over the plane surface (linear acceleration), the magnitude of force is given by the product of pressure at the centroid and area, since the volume of the pressure prism is given by pGA For nonlinear distributions the magnitude and line of action can be found by integration.