최소 자승 오차법 (Least Squares Method)

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1 최소 자승 오차법 (Least Squares Method)
7조 홍윤호( )-1등 이건우( )-2등 조영선( )-3등 정진웅( )-4등 정다운( )-5등

2 최소 자승 오차법 이란? 온도 전압 관계식? Example) 디지털 온도계
주어진 데이터 점(independent variables)들을 이용하여 두 점들 사이의 값(dependent variable)을 추정하는 방법 Example) 디지털 온도계 전자 회로 화면 출력 온도 전압 관계식?

3 두 온도에서의 전압을 토대로 구한 함수식을 통하여 0도와 100도 사이의 값을 추측할 수 있을까?
가장 정확한 방법은 모든 온도에서의 전압을 측정 현실적으로 불가 전압(Y) Y=0.2X+10 30mA 10mA 100 온도(X) 두 온도에서의 전압을 토대로 구한 함수식을 통하여 0도와 100도 사이의 값을 추측할 수 있을까?

4 0도와 100도 사이에 몇 개의 온도를 측정해 그래프에 나타내었다. 최적의 그래프? 어떠한 그래프가 결과조건을
최대한으로 만족할까? 오차율이 제일 작은 그래프는?

5 최적의 그래프가 선형적(linear)이라고 가정하자.
일차 함수 (xi, yi) Y=aX+b ei Data가 i개 있다고 가정하면 ei 값들의 표준편차를 최소로 만드는 값에 해당 되는 함수가 최적의 그래프이다.

6 계산 방법 (xi, yi) Y=aX+b en ei (x1, y1) (xn, yn) e1 e2 (x2, y2) Data
Residual x y x1 y1 x2 y2 … xn yn e y1-(ax1+b) y2-(ax2+b) … yn-(axn+b)

7 미분을 이용해 a,b값 구하기 = 두 일차 연립 방정식을 계산하면 a 와 b의 값을 구할수 있다.

8 행렬을 이용한 풀이 방법 행렬식으로 위의 함수들을 나타내면 측정한 모든 점과 기준점을 연결하여 점의 개수만큼의
그래프를 그렸다고 하자. y1=a x1 +b y2=a x2 +b y1=a x1 +b y2=a x2 +b … yn=a xn +b … yn=a xn +b 행렬식으로 위의 함수들을 나타내면

9 = 2 x n n × 2 2 × 1 n × 1 1 x n a,b값을 구하기 위해 양 변에 A행렬의
x₁ x₂ ·· ·· xn ·· ·· 1 x₁ 1 x₂ 1 ·· ·· xn 1 a b = y₁ y₂ ·· yn x₁ x₂ ·· ·· xn ·· ·· 1 2 x n n × 2 2 × 1 n × 1 1 x n a,b값을 구하기 위해 양 변에 A행렬의 트랜스 포즈 AT 를 곱해준다

10 Exponential 함수 또는 고차 함수에서도 최소오차법을 적용 할 수 있다.
「 고차원함수 」 「Exponential함수」 Exponential 함수 또는 고차 함수에서도 최소오차법을 적용 할 수 있다.

11 위와 같은 행렬식을 이용하면 비선형성을 가진 다른 함수들에도 적용하여 문제가 해결 가능하다.
추정함수 추정함수 예 1차식 지수식 고차 다항식 다변수 함수 타원 방정식 컴퓨터 프로그램인 MATLAB을 이용하면 답을 보다 쉽게 계산할수 있다.

12 MATLAB 실습 - 1차 함수 입력값 : a=20, b=200

13 MATLAB 실습 - 2차 함수 입력값 : a=-2, b=3, c=4

14 The End