Principles and applications of Electrical Engineering Ch

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1 Principles and applications of Electrical Engineering Ch
Principles and applications of Electrical Engineering Ch.5 Transient response 문주윤25% 이상원25% 강수종25% 허여름25%

2 1차회로 - 저항회로에 하나의 에너지 저장 소자를 추가한 회로 예) RL 회로, RC 회로 - 회로 방정식 : 1차 미분방정식
di(t)/dt + (1/)i(t) = b  i(t)= b (1-e-t/) - 전원이 없는 1차 회로의 응답 (무입력응답) 회로 소자에 저장된 에너지에 의해 기인된 응답 - 전원이 있는 1차 회로의 완전응답 회로 자체의 본성에 의해 결정되는 응답인 고유응답과 회로에 인가된 독립 전원에 의해 결정되는 응답인 강제응답의 합

3 단순한 RC, RL회로 RC회로의 고유 응답 : v(t) = v(0)e-(t/RC) - 회로 방정식 : iC + iR=0
Cdv/dt + v/R = 0  dv/dt + (1/RC)v = 0 - 방정식의 해 : v(t)=Kest 라 하고 위식에 대입하면 d(Kest)/dt + 1/RC(Kest) = (s+1/RC)(Kest) = 0 s=-1/RC v(t) = Ke-(t/RC) 에서 v(0) = K = V0 이므로 v(t) = V0e-(t/RC) 이다.  V0 C R t=0 v(t) + - t0 v(0-)= v(0+)= V0, wc(0)=1/2*CV02 iC iR 

4 Note: 저항과 커패시터가 클수록 전압은 천천히 0으로 수렴한다.
단순한 RC, RL회로 V0 e-(t/RC) Note: 저항과 커패시터가 클수록 전압은 천천히 0으로 수렴한다. t - 에너지 관계 wc(t) = 1/2Cv2(t) = 1/2C[V0e-(t/RC)]2 = 1/2CV02e-(2t/RC) = wc(0)e-(2t/RC) pR(t) = vR2/R = [V0e-(t/RC)]2/R = (V02/R)e-(2t/RC) WR(t) = 1/2CV02(1-e-(2t/RC)) = wc(0) (1-e-(2t/RC)) = wc(0) - wc(0)e -(2t/RC)) = wc(0)- wc(t)  WC(t) = WC(0) - WR(t) - 커패시터에 저장된 에너지 감소분은 그 때까지 저항에서 소비한 에너지와 동일 - t = 이면 wc(t) = 0, wR(t) = wc(0)

5 단순한 RC, RL회로 RL회로의 고유 응답 : i(t) = i(0)e-(R/L)t R  I0 L i(t)
i(0-)= i(0+)= I0, wL(0)=1/2*LI02 - 회로 방정식 : vL + vR=0 Ldi/dt + Ri = 0  di/dt + (R/L)i = 0 - 방정식의 해 : i(t)=Kest 라 하고 위식에 대입하면 d(Kest)/dt + R/L(Kest) = (s+R/L)(Kest) = 0 s=-R/L v(t) = Ke-(R/L)t 에서 i(0) = K = I0 이므로 i(t) = I0e-(R/L)t 이다.

6 단순한 RC, RL회로 I0 e-(R/L)t t - 에너지 관계 wL(t) = 1/2Li2(t) = 1/2L[I0e-(R/L)t]2 = 1/2LI02e-2(R/L)t = wL(0)e-2(R/L)t pR(t) = i2(t)R = [I0e-(R/L)t]2R = I02Re-2(R/L)t WR(t) = 1/2LI02(1-e-2(R/L)t) = wL(0) (1-e-2(R/L)t)  WL(t) = WL(0) - WR(t) - 인덕터에 저장된 에너지 감소분은 그 때까지 저항에서 소비한 에너지와 동일 - t = 이면 wL(t) = 0, wR(t) = wL(0)

7 시상수 - 초기변화율에 따라 전류가 감소해서 0이 될 때까지의 시간 - RC, RL 회로의 시상수
- 시상수값이 크면 응답 곡선이 더 천천히 감소하고 저항을 통해 소비하는데 더 많은 시간이 걸린다. v(t)/V0 e-t/RC 1 i(t)/I0 e-(R/L)t  v(t)/V0 = e-(t/RC) (1/RC) = 1   = RC v(t) = V0e-(t/) i(t)/I0 = e-(R/L)t (R/L) = 1   = L/R i(t) = I0e-(t/) t t

8 일반적인 1차회로 - 인덕터에서 본 등가 저항 : Req = R3 + R4 + R1 R2/(R1+R2)
- i(t) = I(0)e-(Req/L)t = I(0)e-t/, i2(t) = - R1/(R1+R2) I(0)e-t/ - Req = R2 + R1 R3/(R1+R3), v(t) = v(0)e-t/(ReqC) = v(0)e-t/ R3 L i(t)  L i(t) Req R1 R2 R4 i1 i2 R2 + R1 R3  C v(t) Req + C v(t) - i1 -

9 일반적인 1차회로 예) 다음 회로에서 iL과 i1을 구하라. iL + - i1 iL + - i1
t=0 1mH 50 + 18V - 90 180 2mH 3mH i1 iL 50 + 18V - 90 180 i1 i) t<0, 인덕터는 모두 단락회로 iL(0-) = 18/50 = 0.36A, i1(0-) = 18/90 = 0.2A

10 일반적인 1차회로 iL Leq  iL Req i1 ii) t0, iL(0-) = iL(0+) = 0.36A,
1mH 50  Leq iL Req 90 180 2mH 3mH i1 ii) t0, iL(0-) = iL(0+) = 0.36A, i1(0+) = -iL(0+)  180/(90+180) =  180/270 = -0.24A Req = (90//180) + 50 = 110, Leq = 1 + (2//3) = 2.2mH  = Leq/Req = 2.2  10-3/110 = 20 us iL = A, t<0 0.36e-50000t A, t0 i1 = 0.2A, t<0 -0.24e-50000t A, t0

11 직류전원이 있는 1차회로 1) RC 회로의 완전 응답 : v(t) = v() + (v(0)-v())e-(t/RC)
- 회로 방정식 : i(t) = Cdv/dt RCdv(t)/dt + v(t) = E  dv/dt + (1/RC)v = E/(RC) - 완전응답 = 고유 응답 + 강제 응답 (t = 에서의 응답) v(t) = vn(t) + vf(t)라고 위식에 대입하면 d(vn(t)+vf(t))/dt + (1/RC)(vn(t)+vf(t)) = E/(RC) [dvn(t)/dt+(1/RC)(vn(t))] + [dvf(t)/dt+(1/RC)(vf(t))] = [0]+[E/RC] E C R t=0 v(t) + - i(t) v(0) = V0

12 직류전원이 있는 1차회로 - 고유 응답 (natural response)
dvn(t)/dt + (1/RC)(vn(t)) = 0  vn(t) = Ke-(t/RC) - 강제 응답 (forced response) dvf(t)/dt + (1/RC)(vf(t)) = E/RC  vf(t) = E 초기값의 영향이 없는 t = 에서는 커패시터는 DC 전압에 대해 개방 회로이므로 강제 응답은 인가한 전원값과 동일 - 완전 응답 v(t) = vn(t) + vf(t) = E + Ke-(t/RC) v(0) = V0이므로 K= V0-E,  v(t) = E + (V0-E)e-(t/RC) E E + (V0-E)e-(t/RC) V0 t v(t) = final value(t =) + (initial value-final value)e-t/ v() = E, v(0) = V0

13 직류전원이 있는 1차회로 2) RL 회로의 완전 응답 : i(t) = i() + (i(0)-i())e-(R/L)t R
- 회로 방정식 Ri(t) + Ldi(t)/dt = E  di/dt + (R/L)i = E/L - 완전응답 = 고유 응답 + 강제 응답 (t = 에서의 응답) i(t) = in(t) + if(t)라고 위식에 대입하면 d(in(t)+if(t))/dt + (R/L)(in(t)+if(t)) = E/L [din(t)/dt + (R/L)in(t)] + [dif(t)/dt+(R/L)if(t)] = [0]+[E/L] t=0 R E i(t) L i(0) = I0

14 직류전원이 있는 1차회로 - 고유 응답 (natural response)
din(t)/dt + (R/L)in(t) = 0  in(t) = Ke-(R/L)t - 강제 응답 (forced response) dif(t)/dt + (R/L)(if(t)) = E/L  if(t) = E/R 초기값의 영향이 없는 t = 에서는 인덕터는 DC 전압에 대해 단락 회로이므로 강제 응답은 인가한 (전원값/저항값)과 동일 - 완전 응답 i(t) = in(t) + if(t) = E/R + Ke-(R/L)t i(0) = I0이므로 K= I0-E/R,  i(t) = E/R + (I0-E/R)e-(R/L)t E/R E/R + (V0-E/R)e-(R/L)t I0 t i(t) = final value(t =) + (initial value-final value)e-t/ i() = E/R, i(0) = I0

15 직류전원이 있는 1차회로 예) 다음 회로의 전류 i(t)를 구하라. i(t) + - i(t)
2 i(t) + 100V 6 3H - 50V 2 i(t) i) t<0, 인덕터는 단락회로 i(0-) = 50/2 = 25A, 6 50V i(t) i(t) 2 1.5 +  (테브냉 정리) + 100V 6 3H 75V 3H - -

16 직류전원이 있는 1차회로 i(t) ii) t>0, i(0+) = i(0-) = 25A +
1.5 ii) t>0, i(0+) = i(0-) = 25A i() = 75/1.5 = 50A + 75V 3H -  = L/R = 3/1.5 = 2s in(t) = Ke-0.5t , if(t) = i() = 50A i(t) = in(t) + if(t) = 50 + Ke-0.5t 에서 i(0) = 25이므로 K=-25  i(t) = 50-25e-0.5t i(t) = i() + (i(0)- i())e-t/ = 50 + (25-50)e-0.5t = 50-25e-0.5t i(t) = 25A, t<0 50-25e-0.5t A, t>0

17 단위 스텝함수  - 단위스텝함수 : 그 함수의 인수가 음일 때는 0이고 양일 때는 1인 함수 u(t-t0) u(t) t0
u(t-t0) = 0, t<t0 1, t>t0 u(t) = 0, t<0 1, t>0 Circuit Circuit t = t0 +  - V0u(t-t0) V0 + -

18 단위 스텝함수 - 직사각형 펄스(rectangular pulse) v(t) v(t) = 0, t<t0
V0u(t-t0) V0 + - V0u(t-t0) t t0 t1 - + V0u(t-t1) -V0u(t-t1)

19 스텝응답과 펄스응답 - 스텝 함수가 인가되면 t<0 동안 회로에 전압이 인가되지 않기 때문에 스텝 응답은 초기 에너지 축적이 없는 DC입력에 대한 응답 예) RC 회로에 스텝 함수가 인가될 때 스텝 응답을 구하라. R t=0 R + + vs= u(t)[V] + C v(t) + v(t) - 1V C - - - v(0) = 0 v() = 1 i) t<0, v(0) = 0 ii) t>0, v(t) = 1-e-t/RC v(t) = 0, t<0 1-e-t/RC, t>0 ∴v(t) = (1-e-t/RC)u(t)

20 예) RL 회로에 직사각형 펄스를 인가할 때의 전류를 구하라.
스텝응답과 펄스응답 예) RL 회로에 직사각형 펄스를 인가할 때의 전류를 구하라. R v(t) + V0u(t) V0 - i(t) L + t -V0u(t-t0) i(0) = 0 - t0 - 중첩의 원리 이용 i(t) = i1(t) + i2(t) i1(t) = V0/R(1-e-(R/L)t)u(t), i2(t) = -V0/R(1-e-(R/L)(t- to))u(t-t0) i(t) = V0/R(1-e-(R/L)t)u(t) - V0/R(1-e-(R/L)(t- to))u(t-t0)

21 2차회로 2차회로의 고유응답 RLC 직렬회로 RLC회로의 완전응답

22 2차회로 - 에너지 저장소자가 있는 회로의 회로방정식은 미분방정식 RC 회로 : dv/dt + av = f(t)
RL 회로 : di/dt + ai = f(t) RLC 직렬 회로 : d2i/dt2 + a1di/dt + a0i = f(t) RLC 병렬 회로 : d2v/dt2 + a1dv/dt + a0v = f(t) - 2차 시스템 : RLC 회로, Mass-Damper-Spring 시스템 - RLC 회로의 완전응답 = 고유 응답 + 강제 응답 고유응답 형태 : K1es1t + K2es2t - RLC 회로에서는 R, L, C값에 따라 응답 특성이 많이 달라진다. Over damping, Critical damping, Under damping

23 2차회로 예 6.1) 다음 회로의 전류 i2를 구하라. + - i1 i2
Vs + - 1H 2H 8 4 i1 i2 -Vs + 8i1 + 2di1/dt + 4(i1-i2) = 0  2di1/dt + 12i1 - 4i2 = Vs 4(i2 - i1) + di2/dt = 0  -4i1 + di2/dt + 4i2 = 0   i1 = (di2/dt + 4i2 )/4 위의 식을 미분하면 di1/dt = (d2i2/dt2 + 4di2 /dt)/4 i1과 + di1/dt에 대한 식을 첫번째 식에 대입하면 2di1/dt + 12i1 - 4i2 = Vs  d2i2/dt2 + 10di2 /dt + 16i2 = 2Vs

24 2차회로의 고유응답  RLC 직렬 회로의 고유응답 i(t) R L C v(t) + - v(0) i(0)
- 회로방정식 (KVL) : 위식을 미분하면  Rdi/dt + Ld2i/dt2 + i(t)/C = 0  d2i/dt2 + (R/L)di/dt + (1/LC)i(t) = 0 - Assume i(t) = Kest, 위 식에 대입하면 Ks2est + (R/L)Ksest + (1/LC)Kest = K(s2+(R/L)s+(1/LC))est=0  s2+(R/L)s+(1/LC) = 0  s1,2 = -(R/2L)  (R/2L)2-(1/LC)

25 2차회로의 고유응답 - i(t) = K1es1t + K2es2t s1 = -(R/2L) + (R/2L)2-(1/LC)
- K1과 K2는 초기 전류 i(0)과 인덕턴스의 초기 전압 vL(0)에 의해 결정된다. vL(t) = Ldi/dt = L(K1s1es1t + K2s2es2t) i(0) = K1 + K2, vL(0) = L(K1s1 + K2s2) = -(Ri(0)+v(0)) - (R/2L)2  (1/LC)이면 i(t)는 실수근을 가진다. - (R/2L)2 < (1/LC)이면 i(t)는 복소수근을 가진다. i(0) (R/2L)2 > (1/LC) : over damping (R/2L)2 = (1/LC) : critical damping (3) (R/2L)2 < (1/LC) : under damping (1) (2) (3) i(t)

26 2차회로의 고유응답  RLC 병렬 회로의 고유 응답 - 회로방정식 (KCL) :
위식을 미분하면  (1/R)dv/dt + (1/L)v(t) + Cd2v/dt2 = 0  d2v/dt2 + (1/RC)dv/dt + (1/LC)v(t) = 0 - Assume v(t) = Kest, 위 식에 대입하면 Ks2est + (1/RC)Ksest + (1/LC)Kest = K(s2+(1/RC)s+(1/LC))est  s2+(1/RC)s+(1/LC) = 0  s1,2 = -(1/2RC)  (1/2RC)2-(1/LC) R L i C v(t) + - v(0) i(0)

27 2차회로의 고유응답 - v(t) = K1es1t + K2es2t s1 = -(1/2RC) + (1/2RC)2-(1/LC)
- K1과 K2는 초기 전압 v(0)와 커패시터 초기 전류 iC(0)에 의해 결정된다. iC(t) = Cdv/dt = C(K1s1es1t + K2s2es2t) v(0) = K1 + K2, iC(0) = C(K1s1 + K2s2) = -(v(0)/R+i(0)) - (1/2RC)2  (1/LC)이면 v(t)는 실수근을 가진다. - (1/2RC)2 < (1/LC)이면 v(t)는 복소수근을 가진다. v(0) (1) (2) (3) v(t) (1/2RC)2 > (1/LC) : over damping (1/2RC)2 = (1/LC) : critical damping (3) (1/2RC)2 < (1/LC) : under damping

28 2차회로의 고유응답 예) 다음 회로의 커패시터 전압 v(t)를 구하라. i + i(0) = 1.5A v(0) = 0 1H
0.1F v(t) + - i(0) = 1.5A v(0) = 0 10/7  s2 + (1/RC)s + (1/LC) = s2 + 7s +10 = (s+2)(s+5) = 0  s = -2, -5 v(t) = K1e-2t + K2e-5t, iC(t) = Cdv/dt = -0.2K1e-2t – 0.5K2e-5t v(0) = K1 + K2 = 0, iC(0) = -(v(0)/R+i(0)) = -1.5 = -0.2K1 -0.5K2  K1 = -5, K2 = 5  v(t) = -5e-2t + 5e-5t

29 RLC 직렬회로의 완전응답 R L i(0) i(t) + E C v(t) - v(0)
- 회로 방정식 (KVL) : Ri(t) + Ldi/dt + v(t) = E i(t) = Cdv/dt  RCdv/dt + LCd2v/dt2 + v(t) = E/LC  d2v/dt2 + (R/L)dv/dt + (1/LC)v(t) = E/LC - 완전 응답 v(t) = 고유 응답 vn(t) + 강제 응답 vf(t) - 고유 응답 : d2vn/dt2 + (R/L)dvn/dt + (1/LC)vn(t) = 0  vn(t) = K1es1t + K2es2t s1 = -(R/2L) + (R/2L)2-(1/LC) s2 = -(R/2L) - (R/2L)2-(1/LC)

30 RLC 직렬회로의 완전응답 - 강제 응답 : d2vf/dt2 + (R/L)dvf/dt + (1/LC)vf(t) = E/LC
 vf(t) = v() = E - 완전 응답 : v(t) = vn(t) + vf(t) = E + K1es1t + K2es2t - K1과 K2는 초기 전압 v(0)와 초기 전류 i(0)에 의해 결정된다. i(t) = Cdv/dt = C(K1s1es1t + K2s2es2t) v(0) = K1 + K2, i(0) = C(K1s1 + K2s2) - R, L, C 값에 따라 응답이 달라진다. E (1) (2) (3) v(t) (R/2L)2 > (1/LC) : over damping (R/2L)2 = (1/LC) : critical damping (3) (R/2L)2 < (1/LC) : under damping

31 RLC 직렬회로의 완전응답 예) 다음 RLC 직렬회로의 커패시터 전압 v(t)를 구하라. i(t) v(t) + -
t<0, u(t) =0 이므로 i(0) = 0, v(0) = 0 u(t) 5 1H 1/4F 고유 응답 : s2 + (R/L)s + (1/LC) = s2 + 5s +4 = (s+1)(s+4) = 0  s = -1, -4  vn(t) = K1e-t + K2e-4t 강제 응답 : vf(t) = E = 1, 완전 응답 : v(t) = 1 + K1e-t + K2e-4t 커패시터 전류 : i(t) = Cdv/dt = (-K1e-2t – 4K2e-5t)/4 초기 전류, 전압 : v(0) = 1 + K1 + K2 = 0, i(0) = (-K1 - 4K2)/4 = 0  K1 = -4/3, K2 = 1/3  v(t) = 1 - 4/3e-2t + 1/3e-5t

32 - 저항 회로 : 강제 응답만이 존재 - 에너지 저장 소자를 포함한 회로 : 강제 응답 + 고유 응답 - 강제 응답 : 인가되는 강제 함수와 동일한 형태를 가짐 예) 직류 전원 : 일정한 DC값, 정현파 강제 함수 : 정현파 응답 - 정현파 함수는 일정한 주파수와 위상을 가짐 예) v(t) = Vmsin(ωt + ) = Vmsin(2ft + ) - 모든 시간 함수는 특정 주파수를 가지는 정현파 함수의 조합으로 표현 가능  u(t) = k Vksin(2fkt + k) - 시간 영역 해석 방법 : 미분방정식을 이용한 해석 방법 - 주파수 영역 해석 방법 : 퓨리에, 라플라스 변환을 이용한 해석 방법 예) 대역폭, 필터(LPF, HPF, BPF), 영상 및 음성 신호처리 분야