제20장 전위와 전기용량 20.1 전위와 전위차 Electric Potential and Potential Difference

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1 제20장 전위와 전기용량 20.1 전위와 전위차 Electric Potential and Potential Difference
제20장 전위와 전기용량 20.1 전위와 전위차 Electric Potential and Potential Difference 정전기력은 보존력이다. 그러므로 위치 에너지를 정의할 수 있다. 정전기력이 보존력이므로, 이 선적분은 A와 B 사이의 경로에 무관하다. 전위(전기 퍼텐셜: electric potential) V : (단위: J/C = V) 전위차(potential difference) △V = VB-VA 제20장 전위와 전기용량

2 외력이 작용하여 전하 q가 전기장 내에서 등속도로 움직이는 과정에서 외력이 한 일은 위치 에너지를 변화시키는 일을 한 것이다.
점 A와 B 사이의 전위차는 전기장을 만드는 원천 전하의 분포에만 의존한다. 반면에 위치 에너지 차이는 시험 전하가 두 지점 사이를 움직일 때만 존재한다. 외력이 작용하여 전하 q가 전기장 내에서 등속도로 움직이는 과정에서 외력이 한 일은 위치 에너지를 변화시키는 일을 한 것이다. 전기장의 SI 단위(N/C)는 단위 길이당의 전압으로 표현할 수 있다. 전기장은 위치에 따라서 전위가 변화하는 비율의 척도라고 해석할 수 있다. 전자 볼트(electron volt: eV): 1 전자 볼트는 전자(또는 양성자) 한 개가 1V의 전위차 내에서 가속될 때 얻거나 또는 잃게 되는 에너지이다. 제20장 전위와 전기용량

3 20.2 균일한 전기장 내에서의 전위차 -y 방향으로의 균일한 전기장을 가정해 보자.
Potential Difference in a Uniform Electric Field -y 방향으로의 균일한 전기장을 가정해 보자. 음(-)의 부호는 점 B의 전위가 A보다 더 낮다는 것을 의미한다. 전기력선은 항상 전위가 감소하는 방향으로 향한다. 시험 전하 q0가 A에서 B로 이동한다고 가정하자. 양전하가 전기장과 동일한 방향으로 이동할 때, 전하와 전기장으로 이루어진 계는 전기 위치에너지를 잃게 된다. 전기장이 양전하에 일을 한다는 것을 뜻한다. 제20장 전위와 전기용량

4 음전하가 전기장의 방향으로 이동할 때, 음전하와 전기장으로 이루어진 계는 전기 위치 에너지를 얻게 된다.
일반적인 경우로서, 균일한 전기장 내에서 변위 벡터 s로 나타낸 전기력선에 평행하지 않은 점 A와 B 사이로 이동하는 대전 입자를 생각해 보자. 위의 식으로부터, 균일한 전기장 내에서 전기장과 수직인 면에 있는 모든 점의 전위는 같다. 전위가 같은 일련의 점들로 이루어진 면을 등전위면(equipotential surface)이라고 한다. 균일한 전기장 속의 등전위면은 전기장에 수직인 평면들이다. 제20장 전위와 전기용량

5 부호가 다른 전하를 가진 두 평행판 사이의 전기장 예제 20.1
그림과 같이 두 평행한 도체판 사이에 12 V의 전지가 연결되어 있다. 두 판 사이의 거리는 d=0.30cm이고, 판 사이의 전기장이 균일하다고 가정하자(이 가정은 두 판 사이의 간격이 판의 크기에 비해 매우 작고, 판의 모서리 부근에 있는 점들을 고려하지 않는다면 타당하다). 판 사이의 전기장 크기를 구하라. 풀이 제20장 전위와 전기용량

6 균일한 전기장 내에서 양성자의 운동 예제 20.2 양성자가 8.0 × 104 V/m의 균일한 전기장 내에서 정지 상태로부터 놓았다. 양성자가 점 A에서 B까지 E의 방향으로 d=0.50m 만큼 이동한다. 양성자가 0.50m의 거리를 이동한 후의 속력을 구하라. 풀이 이므로 제20장 전위와 전기용량

7 20.3 점전하에 의한 전위와 위치 에너지 Electric Potential and Potential Energy Due to Point Charges 제20장 전위와 전기용량

8 20.3 점전하에 의한 전위와 위치 에너지 Electric Potential and Potential Energy Due to Point Charges 점 전하 q로부터 거리 r만큼 떨어진 지점의 전위를 구하려면, 전위차에 대한 일반적인 식을 사용해야 한다. 제20장 전위와 전기용량

9 둘 이상의 점전하에 의한 전위는 중첩의 원리를 적용해서 구한다.
적분 결과는 A와 B점 사이의 경로에 무관하다. 이 적분은 전기장이 한 일이므로, 전기력은 보존력이다. 보존력과 관계가 있는 장을 보존력장(conservative field)이라 정의한다. 출발점인 무한대 위치에서의 전위가 0이 되도록 기준점을 정의한다. ◀ 단일 점전하에 의한 전위 둘 이상의 점전하에 의한 전위는 중첩의 원리를 적용해서 구한다. ◀ 점전하 군에 의한 전위 제20장 전위와 전기용량

10 두 번째 전하 q1을 가속도 없이 무한대에서 점 P까지 가져오는데 필요한 일은 q1V2이다.
만일 두 전하의 부호가 같으면, U는 양의 값이 된다. 이것은 같은 부호의 전하끼리는 반발한다는 사실에 기인하며, 두 전하를 가까이 가져다 놓기 위해서는 양의 일을 해 주어야 한다는 의미이다. 셋 이상의 점 전하로 이루어진 계의 전체 위치 에너지는 각 전하 쌍의 U를 계산하여 대수적으로 합한 값이다. 제20장 전위와 전기용량

11 두 점전하에 의한 전위 예제 20.3 q1=2.00μC의 점 전하가 원점에 놓여 있고, q2=-6.00μC의 전하가 y축 위의 (0, 3.00)m에 놓여 있다. 좌표가 (4.00, 0)m인 점 P에서 이 들 두 전하에 의한 전체 전위를 구하라. (B) q3=3.00μC의 전하를 무한대에서 점 P까지 가져옴에 따라 세 전하로 이루어지는 계의 전체 위치 에너지 변화를 구하라. 풀이 (A) (B) 제20장 전위와 전기용량

12 20.4 전위로부터 전기장의 계산 Obtaining the Value of the Electric Field from the Electric Potential 어떤 영역에서 전위를 알고 있을 때 전기장을 계산하는 방법 1차원의 경우, 이므로 시험 전하가 등전위면을 따라 ds 만큼 이동할 때, 전위는 등전위면을 따라 일정하기 때문에 dV = 0이다. 이때, dV=-E·ds = 0이 된다. 즉, 전기장 E는 등전위면을 따르는 변위에 수직이어야 한다. 이것은 등전위면은 등전위면을 지나가는 전기력선에 항상 수직이어야 함을 의미한다. 제20장 전위와 전기용량

13 일반적으로, 전위는 세 개의 공간 좌표들의 함수이다
일반적으로, 전위는 세 개의 공간 좌표들의 함수이다. 전위 V가 직교 좌표계로 주어진다면, 전기장 성분 Ex, Ey, Ez는 편미분에 의해 V(x, y, z)로부터 구할 수 있다. 쌍극자에 의한 전위 예제 20.4 그림에서와 같이 거리 2a 만큼 떨어져 크기는 같고 부호가 반대인 두 개의 전하로 이루어진 전기 쌍극자가 있다. 쌍극자는 x축 상에 있고, 중심은 원점에 있다. (A) y축 상의 점 P에서의 전위를 구하라. (B) ＋x축 상의 점 R 에서의 전위를 구하라. (C) 쌍극자로부터 멀리 떨어져있는 곳에서의 V와 Ex를 구하라. 풀이 (A) (B) (C) 제20장 전위와 전기용량

14 20.5 연속적인 전하 분포에 의한 전위 균일하게 대전된 고리에 의한 전위 예제 20.5
Electric Potential Due to Continuous Charge Distributions 미소 전하 dq를 마치 점 전하로 생각하여 연속적으로 분포되어 있는 전하에 의한 전위를 계산할 수 있다. 균일하게 대전된 고리에 의한 전위 예제 20.5 (A) 반지름이 a인 고리에 전체 전하량 Q가 고르게 분포하고 있을 때, 중심축 상의 한 점 P에서 전위를 구하라. 풀이 제20장 전위와 전기용량

15 균일하게 대전된 원반에 의한 전위 예제 20.6 (B) 점 P에서 전기장의 크기를 구하라. 풀이
반지름이 R이고 표면 전하 밀도가 σ인 균일하게 대전된 원판이 있다. (A) 원판의 중심축 상의 한 점 P에서의 전위를 구하라. (B) P 점에서의 전기장의 x 성분을 구하라. 풀이 (A) 이므로 (B) 제20장 전위와 전기용량

16 20.6 대전된 도체에 의한 전위 Electric Potential Due to a Charged Conductor
평형 상태에 있는 도체의 알짜 전하는 도체 표면에 분포한다. 또한 도체 표면 바로 바깥쪽의 전기장은 도체 표면에 수직인 방향이며, 도체 내부의 전기장은 영이다. 평형 상태에 있는 대전된 도체 표면 상에 있는 모든 점의 전위는 같다. 정전기적 평형 상태에 있는 대전된 도체 표면은 등전위면을 이룬다. 또한 도체 내부의 전기장이 영이므로, 도체 내부의 모든 점에서 전위는 일정하며 그 표면의 전위와 같다. 금속 구 표면에서의 전위는 keQ/R 가 된다. 금속 구 내부의 전위는 일정하므로, 금속 구 내부에 위치하는 임의의 점에서의 전위도 keQ/R가 된다. 곡률 반지름이 작은 볼록한 부분에서 전기장이 커지고, 뾰족한 부분에서 매우 강해진다. 제20장 전위와 전기용량

17 연결되어 있는 대전된 두 도체 구 예제 20.7 반지름이 각각 r1과 r2인 도체 구가 이들 구의 반지름의 크기보다 훨씬 더 큰 거리 만큼 떨어져 있다. 두 도체 구를 도선으로 연결하였다. 평형 상태에서 두 도체 구의 전하가 각각 q1과 q2이고, 두 도체 구에 균일하게 대전되어 있다고 하자. 이때 두 도체 구 표면에서의 전기장의 크기의 비를 구하라. 풀이 그림에 나타나 있는 것보다 구들이 훨씬 멀리 떨어져 있다고 생각해 보자. 구들이 매우 멀리 떨어져 있으므로 한 개의 구에 의한 전기장이 다른 구의 전하 분포에는 영향을 미치지 않는다. 두 도체는 도선으로 연결되어 있기 때문에 같은 전위를 가진다. 제20장 전위와 전기용량

18 ◈ 속이 빈 형태의 도체(A Cavity Within a Conductor)
빈 공간 내부의 전기장은 도체 표면의 전하 분포와 무관하게 항상 영이다. 또한, 도체 외부에 전기장이 존재할지라도 빈 공간 내부의 전기장은 역시 영이다. 빈 공간의 표면 위에 있는 두 점 A와 B는 같은 전위 상태에 있다. 전위차는 전위차는 0이므로, 적분은 도체 위의 두 점 사이의 모든 경로에서 영이어야 한다. 따라서 빈 공간 내의 모든 곳에서 전기장은 영이어야 한다. 제20장 전위와 전기용량

19 20.7 전기용량 Capacitance 그림과 같이 두 도체판에 전지를 연결하면 판에 전하가 쌓인다. 이런 배열을 축전기(capacitor)라고 한다. 도체판에 대전되는 전하량은 전위차에 비례한다. 전기용량(capacitance) C : (단위: C/V = F) 축전기 두 도체판 사이의 전위차가 전지 양단의 전위차와 같아질 때까지 축전기는 충전되며, 전위차가 같아지면 더 이상 충전이 이루어지지 않는다. 제20장 전위와 전기용량

20 ◈ 고립된 대전 구의 전기용량 두 동심구에서 바깥 구의 반지름을 무한히 크게 하면 안쪽 도체 구의 전위는 간단히
∆V=keQ/R 가 된다. 따라서 도체 구의 표면과 무한원점 사이의 전기용량은 고립된 대전구의 전기용량은 반지름에만 비례하고 구의 전하량이나 전위차에 의존하지 않음을 알 수 있다. 제20장 전위와 전기용량

21 ◈ 평행판 축전기(Parallel-Plate Capacitors)
도체판 내부 영역의 전기장은 평행판 축전기의 전기용량은 판의 면적에 비례하고 판 사이의 간격에 반비례한다. 제20장 전위와 전기용량

22 평행판 축전기의 경우 전기력선을 주의 깊게 살펴보면 판 사이의 중심 영역에서는 균일하지만, 판의 양 끝 부분에서의 전기장은 균일하지 않다. 그림은 평행판 축전기의 전기력선 모양으로서 끝 부분에서 전기장이 균일하지 않음을 보여 준다. 판의 넓이와 비교해서 판 사이 간격이 작으면 작을수록 이런 가장자리 효과는 무시할 수 있고, 판 사이의 어느 곳에서나 균일한 전기장을 갖는 간단한 모형을 사용할 수 있다. 평행판 축전기를 전지와 연결한 회로이다. 스위치를 닫으면 전지는 전기장을 만들고 도선과 축전기 사이에 전하의 흐름이 생긴다. 이것은 에너지의 이동으로 볼 수 있다. 스위치를 닫기 전에 에너지는 전지 안의 화학 위치 에너지로 저장되어 있다. 이런 에너지는 화학 결합과 관련되어 있고 전기 회로가 작동할 때 전지 안에서 일어나는 화학 반응에 의해 변하게 된다. 즉 전지의 화학 위치 에너지가 축전기의 전기 에너지로 변환되는 것으로 볼 수 있다. 이와 같이 축전기는 전하뿐만 아니라 에너지를 저장하는 장치로 사용될 수 있다. 제20장 전위와 전기용량

23 전기용량 ◈ 원통형 축전기 The Cylindrical Capacitor 동축 케이블의 단위 길이당 전기용량:
제20장 전위와 전기용량

24 20.8 축전기의 연결 Combinations of Capacitors
◈ 병렬 연결(Parallel Combination) 병렬연결에서는 각 축전기의 전위차가 같다. 총 전하량은 각 축전기의 전하량의 합이다. 제20장 전위와 전기용량

25 ◈ 직렬 연결(Series Combination)
직렬연결에서 각 축전기에 저장되는 전하량은 같다. 직렬연결에서 각 축전기 양단의 전위차의 합이 전체전압과 같다. 제20장 전위와 전기용량

26 등가 전기용량 예제 20.8 그림과 같이 연결한 축전기의 점 a와 b 사이의 등가 전기용량을 구하라. 전기용량의 단위는 모두 마이크로패럿이다. 풀이 Ceq = C1 + C2 = 4.0 μF Ceq = C1 + C2 = 8.0 μF 제20장 전위와 전기용량

27 20.9 충전된 축전기에 저장된 에너지 Energy Stored in a Charged Capacitor
축전기를 충전할 때 외부 기전력이 축전지에 대해 일을 한다. 기전력이 소모하는 만큼의 에너지가 축전기에 저장된다. 충전시키는 동안의 어느 순간에 축전기에 전하량 q가 충전되어 있다고 가정하자. 바로 그 순간에, 축전기 양단의 전위차는 ΔV=q/C이므로, 전하가 -q인 판으로부터 +q인 판(높은 전위)으로 미소 전하 dq를 옮기는 데 필요한 일은 제20장 전위와 전기용량

28 축전기를 충전시킬 때 한 일은 축전기에 저장된 전기 위치 에너지 U로 나타난다.
축전기가 충전되면 축전기 내부에 전기장이 형성된다. 즉, 축전기에 저장된 에너지는 충전이 되면서 판 사이에 형성되는 전기장의 형태로 저장된다고 할 수 있다. (에너지 밀도) 전기장 내의 에너지 밀도는 전기장 크기의 제곱에 비례한다. 제20장 전위와 전기용량

29 20.10 유전체가 있는 축전기 Capacitors with Dielectrics
한다. 유전체를 축전기의 도체판 사이에 채우면 축전기의 전기용량이 증가한다. 이미 충전되어 있는 고립된 축전기에 유전체를 삽입하면 도체판 사이의 전위차가 감소한다. κ >1이며, 차원이 없는 인자로서 물질의 유전 상수(dielectric constant)라 부른다. 제20장 전위와 전기용량

30 •도체 극판 사이를 역학적으로 지탱해주는 효과
극판 사이의 거리 d 를 감소시키면, 전기용량을 아주 크게 증가시킬 수 있는 것처럼 보인다. 그러나 실제로는 유전체를 통하여 극판 사이에 방전이 일어나므로 d의 최소값은 한계를 가진다. 주어진 극판 사이의 d에 대하여, 방전을 일으키지 않고 걸어줄 수 있는 최대 전기장을 유전체의 유전 강도(dielectric strength; 최대 전기장의 세기)라고 한다. 유전체 사용의 이점: •축전기의 전기용량 증가 •축전기의 최대 작동 전압 증가 •도체 극판 사이를 역학적으로 지탱해주는 효과 제20장 전위와 전기용량

31 축전기의 형태 Types of Capacitors
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32 축전기에 저장된 에너지 예제 20.10 평행판 축전기를 전지에 연결해서 전하 Q0으로 충전시킨 다음 전지를 제거한다. 그리고 유전 상수가 k인 유전체를 끼워 넣었다. 유전체가 있는 축전기를 계로 보고 유전체를 넣기 전과 후에 계에 저장된 에너지의 비를 구하라. 풀이 유전체를 넣기 전에 축전기에 저장된 에너지를 구한다. 유전체를 넣은 후 축전기에 저장되는 에너지 C=kC0 이므로 제20장 전위와 전기용량