Signal Processing First <LECTURE #1>

Signal Processing First <LECTURE #1>
Introduction

Signal Processing First
Contents 소개 : Signal & system이란 무엇인가? 1.1 신호의 수학적 표현 1.2 시스템의 수학적 표현 1.3 시스템에 대한 고려 Signal Processing First

신호의 수학적 표현 신호(signal) 변화의 패턴으로 정보를 표현 연속시간 신호 (continuous-time signal) 로 표현 그림 1-1 참조 Signal Processing First

Signal Types Signal Processing First

Signals and Systems Defined
A signal is any physical phenomenon which conveys information Systems respond to signals and produce new signals Excitation signals are applied at system inputs and response signals are produced at system outputs Signal Processing First

A Communication System
A communication system has an information signal plus noise signals This is an example of a system that consists of an interconnection of smaller systems Signal Processing First

이산시간 신호(discrete-time signal) 일정 간격으로 sampling하여 얻어짐. 로 표현. : 정수, : 샘플링 주기(sampling period) 그림 1-2 참조 그림 1-3 : 정지영상에 대한 두 개의 공간 변수로 구성된 신호 표현 Signal Processing First

이산 시간 신호(Discrete Time Signals) 기본적인 이산시간 신호 (1) 단위 임펄스 신호(unit impulse Signal) n=0 (2) 단위 계단 신호(unit step Signal) n=0 Signal Processing First

Elementary Discrete Time Signals)(1) (3) 단위 경사 신호(unit ramp signal) n=0 Signal Processing First

기본 이산 시간 신호(2) (4) 지수함수 신호(exponential signal) 1 n=0 Signal Processing First

이산 시간 신호(Discrete Time Signals)의 분류 에너지신호(energy signal)와 전력신호(power signal) (1) 에너지 신호 (energy가 유한한 신호) (2) 전력 신호 (power가 유한한 신호 단 energy는 무한) Signal Processing First

이산 시간 신호 분류: 주기신호 / 비주기신호 주기 신호(periodic signal)의 정의 : [Question] 는 주기 신호 인가? (즉 가 유리수)이면 주기 신호. 주기 신호는 전력신호(power signal)이다. 비주기 신호(aperiodic signal) : 주기신호가 아닌 신호 Signal Processing First

이산 시간 신호의 분류 : 대칭 / 비대칭 신호(1) 대칭신호(symmetric signal)와 비대칭 신호(antisymmetric signal) (1) 대칭신호 (2) 비대칭신호 ㈜ 대칭신호 우함수 신호(even signal) 비대칭신호 기함수 신호(odd signal) Signal Processing First

이산 시간 신호의 분류 : 대칭 / 비대칭 신호(2) 임의의 신호 x(n) 은 우함수 신호와 기함수 신호로 분리 가능하다. n=0 = + Signal Processing First

이산 시간 시스템(Discrete Time System) 시스템의 입출력 표현 system T or Signal Processing First

이산 시간 시스템(Discrete Time System) 블록도) 이산 시스템의 블록도 표현 (1) 덧셈기 (adder) Signal Processing First

이산 시간 시스템(Discrete Time System) 블록도 (2) 상수 곱셈기 (3) 신호 곱셈기 c Signal Processing First

이산 시간 시스템(Discrete Time System) 블록도 (4) Delay (5) Advance z -1 z Signal Processing First

(1) 정적시스템과 동적시스템(static and dynamic systems) Signal Processing First
이산 시간 시스템(Discrete Time System)의 분류 (1) 정적시스템과 동적시스템(static and dynamic systems) 정적 시스템: 출력이 현재 값에만 의해 결정(memoryless system) (예) 동적 시스템: 출력이 과거, 현재, 미래 값에 영향 받음. Signal Processing First

이산 시간 시스템(Discrete Time System)의 분류 (2) 시불변 시스템 (time – invariant system) If T T then - 즉 시불변 시스템에서는 x[n]의 출력이 y[n]이면 x[n-k]의 출력은 y[n-k]임. Signal Processing First

이산 시간 시스템의 분류: 선형/비선형 시스템 (3) 선형시스템과 비선형 시스템 (linear vs. non-linear System) 선형 시스템의 경우, 다음 관계식 만족 이때 Superposition principle 을 만족한다고 함. Signal Processing First

Causal system & Non-causal systems Causal 시스템: 출력 값이 현재 또는 과거의 입력 값에 의해서만 결정. Non-causal 시스템: 출력 값이 미래 값에 의해 서로 영향 받음. (예) (실시간 구현 불가능) Signal Processing First

안정(stable) 시스템과 비안정(unstable) 시스템 안정 시스템: 유한한(bounded) 입력신호가 입력되었을 때 유한한 출력신호 출력 (BIBO). 주: BIBO = Bounded Input Bounded Output Signal Processing First

이산 시간 시스템의 직렬연결 직렬 연결 (cascade connection) T1 T2 이때 전체 시스템 Tc도 LTI(시불변 시스템) Signal Processing First

이산 시간 시스템의 병렬연결 병렬연결(parallel connection) T1 T2 Signal Processing First

이산시간 선형 시불변 (DT LTI)시스템의 분석(1)
선형 시불변 시스템(Linear Time-Invariant System)의 일반적인 입출력 관계식은 다음과 같은 차분방정식 (difference equation)으로 표현된다. Signal Processing First

이산시간 선형 시불변 시스템의 분석(2) 신호의 분석 임의의 신호를 임펄스 신호 의 선형합으로 나타낼 수 있음 x[n] 2 -2 2 -2 2 -2 2 -2 2 -2 2 -2 2 -2 + + + + + Signal Processing First

이산시간 선형 시불변 시스템의 분석(1) 임의의 입력에 대한 선형시불변(LTI) 시스템의 응답 LTI 임펄스 응답(impulse response) LTI LTI system 임의의 신호 x[n]는 다음과 같이 표현가능 Signal Processing First

이산시간 선형 시불변 시스템의 분석(2) 선형 시불변 시스템이므로 superposition principle이 적용 Signal Processing First

콘벌루션의 특성 및 LTI 시스템과의 상호 관계
- 즉 다음 x[n]과 h[n]의 역할을 바꾸어도 동일한 출력 Signal Processing First

콘벌루션의 특성(1) 교환 법칙(commutative law) - 물리적인 의미는 다음과 같음. Signal Processing First

콘벌루션 특성(2) (2) 결합법칙 (Associative law) 만일 즉, Signal Processing First

콘벌루션 특성(3) (3) 분배 법칙 Signal Processing First

인과적(causal) LTI 시스템 인과적(causal) 시스템인 경우 이 때, 만일 입력신호도 인과적(causal)신호이면, Signal Processing First

LTI 시스템의 stability 선형 시불변 시스템은 다음 조건을 만족 시킬 때, 출력은 stable(BIBO). (증명) 유한한 입력(bounded input)을 가정하면, 이때 출력의 절대 값은 Signal Processing First

1.2 시스템의 수학적 표현 연속시간 시스템(Continuous-time system) 입력 신호 : 출력 신호 : 예) 블록 다이어그램으로 표현 연산자 Ideal C/D Converter 연속시간 시스템을 표현 방법 이산시간시스템을 표현 방법 Signal Processing First

1.3 시스템에 대한 고려 그림 1-7 : 오디오 CD 기록 및 재생 과정 C/D 변환기와 A/D 변환기의 차이점 A/D Converter Optical Disk Writer CD Optical Disk Reader D/A Converter Signal Processing First

Conversions Between Signal Types
Sampling Quantizing Encoding Signal Processing First

Message Encoded in ASCII
Signal Processing First

Noisy Message Encoded in ASCII
Progressively noiser signals Signal Processing First

Bit Recovery in a Digital Signal Using Filtering

Image Filtering to Aid Perception
Original X-Ray Image Filtered X-Ray Image Signal Processing First

Sound Recording System

Recorded Sound as a Signal

디지털 신호처리(Digital Signal Processing) Input (Analog) A/D Converter DSP D/A Converter Output (Analog) Digital (입력) Digital (출력) 디지털 신호처리가 아날로그 신호처리보다 좋은 점 유연성(Flexibility): program vs. hardware 정확도 제어 가능 오류 없이 저장 또는 전송 가능 보다 정밀한 신호처리 가능 Signal Processing First

신호의 분류 : 다채널 신호 및 다차원 신호 다채널 신호(벡터 신호) 다차원 신호 M개의 독립 변수로 이루어진 함수 Signal Processing First

신호의 분류 : 연속시간 신호 및 이산시간 신호 연속시간 신호 및 이산시간 신호 연속시간 신호 : 연속된 변수로 이루어진 함수 이산시간 신호 : 특정 시간에서만 정의된 함수 Signal Processing First

신호의 분류 : 연속치 신호 및 이산치 신호 Digital signal [정의] 디지털 신호 (digital signal): 이산치를 갖는 이산 시간 신호 표본화 양자화 sampling quantization 연속치-이산시간신호 Continuous-valued Discrete-time signal 이산치-이산시간신호 Discrete-valued Discrete-time signal 연속시간신호 Analog signal Signal Processing First

신호의 분류 : 결정신호 및 랜덤신호 결정신호, 랜덤신호 (1) 결정신호(Deterministic signal) 수학적 표현, 데이터 테이블, 명확한 규칙에 의해 표현되는 신호 (예) (2) 랜덤신호(Random signal) 미래의 값이 예측되어질 수 없는 신호 (예) 음성신호, noise Signal Processing First

샘플링 이론(Sampling Theorem)(1) Sampling 이론 최대 주파수가 Fmax 인 대역제한 아날로그 신호(band-limited analog signal)를 Fs(>2Fmax)로 표본화하면 표본 값에서 원래 신호를 복원할 수 있다. [관찰] 대역제한 신호는 sinc함수의 선형 합으로 표현 가능 즉 는 대역제한 신호의 베이시스(basis) ㈜ {}는 집합의미 Signal Processing First

샘플링 이론(Sampling Theorem)(2) t t t t Signal Processing First

양자화(Quantization)(1) Δ x(n) xq(n) eq(n) 양자화된 신호 에러 신호 Error signal : eq(n)=xq(n)-x(n) 이때 eq(n)의 범위는 Signal Processing First

양자화(Quantization)(2) [정의] 동적범위(Dynamic range): 신호가 가질 수 있는 범위로 다음과 같이 계산됨 만일 L레벨을 사용한다면, 양자화 간격은 다음과 같이 주어짐 Signal Processing First

정현파 신호의 양자화(1) -τ τ t Δ/2 -Δ/2 eq(t) 직선으로 근사화 가능 Δ Δ/2 -τ τ t Mean square error power 만일 b bit를 하면 Signal Processing First

정현파 신호의 양자화(2) Average signal power SQNR(Signal to Quantization Noise) Signal Processing First

1.1 신호의 수학적 표현 신호(signal) 변화의 패턴으로 정보를 표현 연속시간 신호 (continuous-time signal) 로 표현 그림 1-1 참조 Signal Processing First

이산시간 신호(discrete-time signal) 일정 간격으로 sampling하여 얻어짐. 로 표현. : 정수, : 샘플링 주기(sampling period) 그림 1-2 참조 그림 1-3 : 정지영상에 대한 두 개의 공간 변수로 구성된 신호 표현 Signal Processing First

1.2 시스템의 수학적 표현 연속시간 시스템(Continuous-time system) 입력 신호 : 출력 신호 : 예) 블록 다이어그램으로 표현 Ideal C/D Converter 연산자 연속시간 시스템을 표현 방법 이산시간시스템을 표현 방법 Signal Processing First

1.3 시스템에 대한 고려 그림 1-7 : 오디오 CD 기록 및 재생 과정 C/D 변환기와 A/D 변환기의 차이점 A/D Converter Optical Disk Writer CD Optical Disk Reader D/A Converter Signal Processing First

정현파(Sinusoids)

Contents 소개 : 정현파(Sinusoids) ? 2.1 소리굽쇠 실험 2.2 사인 코사인 함수 복습 2.3 정현파 신호 2.4 정현파의 샘플링과 그리기 2.5 복소 지수 함수와 페이저 2.6 페이저 합 Signal Processing First

Introduction 왜 정현파를 공부하는가? 대부분의 신호는 정현파의 합으로 구성되어 있음. cos() 함수의 표현 Ex) 그림 2-1 참조 라디안 주파수(Radian frequency) 위상 변이(phase shift) 진폭(Amplitude) Signal Processing First

2.1 소리굽쇠 실험 그림 2-2 참조 소리굽쇠와 마이크로폰 사진 A-440(라) : 단일 주파수 440Hz의 라음을 나타냄. 파형은 정현파로 표현됨.(뒷장) Ex) 파형이 정현파가 아닐 경우 정현파의 합으로 구성 주파수 분석을 통해 정현파를 분리  주파수 스펙트럼 Signal Processing First

DIGITIZE the WAVEFORM x[n] is a SAMPLED SINUSOID A list of numbers stored in memory Sample at 11,025 samples per second Called the SAMPLING RATE of the A/D Time between samples is 1/11025 = 90.7 microsec Output via D/A hardware (at Fsamp) Signal Processing First

STORING DIGITAL SOUND x[n] is a SAMPLED SINUSOID A list of numbers stored in memory CD rate is 44,100 samples per second 16-bit samples Stereo uses 2 channels Number of bytes for 1 minute is 2 X (16/8) X 60 X = Mbytes Signal Processing First

2.2 사인 코사인 함수 복습 표 2-1 : 사인 코사인 함수의 기본 특성 그림 2-4 : 직각 삼각형에서의 의 정의 그림 2-5 : 사인 코사인 파형 의 주기를 가짐 표 2-2 : 간단한 삼각함수 공식 Signal Processing First

2.3 정현파 신호 : 진폭(Amplitude) +A ~ -A 사이에서 진동 : 위상 변이(phase shift) 동질성을 이용  코사인 함수로 표현 : 라디안 주파수(radian frequency) 단위 : rad/sec 주기 주파수(cyclic frequency) : 단위 : Hertz(cycles/sec) Signal Processing First

예제) 아래 신호에 대한 그림을 그리시오(그림2-6 참조) 2.3.1 주파수와 주기와의 관계 주파수 변화에 따른 파형 변화 그림 2-7 참조 일때 DC 성분 존재  : 신호의 주기 Signal Processing First

2.3.2 위상 변이와 시간 변이의 관계 : 양수이면 지연(delayed) : 음수이면 선행(advanced) 수식 표현 Signal Processing First

예) Signal Processing First

예제) Determine period: Determine a peak location by solving Peak at t=-4 Signal Processing First

2.4 정현파의 샘플링과 그리기 예) 이산 시간 으로 샘플링하면 위 식으로 MATLAB로 프로그래밍 Ts 간격에 따라 변화하는 신호를 관찰 Ts : 0.005, , Plot 명령어로 linear interpolation 하여라 Signal Processing First

Measure the period, T Between peaks or zero crossings Compute frequency: w = 2p/T Measure time of a peak: tm Compute phase: f = -w tm Measure height of positive peak: A 3 steps Signal Processing First

(A, w, f) from a PLOT Signal Processing First

2.5 복소 지수 함수와 페이저 정현파 신호 분석에는 복소 지수 신호(complex exponential signals)를 이용하면 간단. 2.5.1 복소수 복습 실수부 : 허수부 : 직각좌표 극좌표 Signal Processing First

Relate (x,y) to (r,q) 극좌표계를 표현하는데 복소 지수의 Euler 공식을 이용  복소수 곱셈/나눗셈 계산 용이(부록 A 참조) Most calculators do Polar-Rectangular Signal Processing First

Euler’s FORMULA Complex Exponential Real part is cosine Imaginary part is sine Magnitude is one Ex) w=20p rad/s Rotates 0.2p in 0.01 secs Signal Processing First

2.5.2 복소 지수 신호 의 크기 : , 의 각도 : 직각 좌표계로 표현하면 Signal Processing First

Real & Imaginary Part Plots
PHASE DIFFERENCE = p/2 Signal Processing First

복소 지수 신호에서 실수 코사인 신호 표현 2.5.3 회전하는 페이저 해석 그림 2-12 참조 Signal Processing First

복소수를 아래와 같이 정의하면 어떤 순간 에서 는 진폭이 이고 각도가 인 복소 지수 신호는 복소수 진폭(complex amplitude), 페이저(phasor) 라고 부름 Signal Processing First

General Sinusoid Complex AMPLITUDE = X Then, any Sinusoid = REAL PART of Xejwt Signal Processing First

POP QUIZ: Complex Amp Find the COMPLEX AMPLITUDE for: Use EULER’s FORMULA: Signal Processing First

- 양과음의 주파수를 가진 복소 지수로 표현 가능 - 두 개의의 복소 회전 페이저의 합 복소수 진폭 Signal Processing First

2.6 페이저 합 주파수는 같고 진폭과 위상 변이가 다른 몇 개의 정현파의 합을 구하는 방법 결과 : 동일한 주파수를 가지는 하나의 코사인 신호가 됨 Signal Processing First

Phasor Addition Proof Signal Processing First

WANT to ADD SINUSOIDS 2.6.3 페이저 합 규칙 : 예제 ALL SINUSOIDS have SAME FREQUENCY HOW to GET {Amp,Phase} of RESULT ? Signal Processing First

ADD SINUSOIDS EXAMPLE tm1 tm2 tm3 Signal Processing First

Tm1, Tm2, Tm3 에서의 최대치는? 두 신호의 페이저 합 계산 방법 1. 두 신호를 페이저로 표현. 2. 두 페이져를 직각 좌표계로 변형 3. 실수부와 허수부를 합 다시 극좌표형으로 변환 Signal Processing First

ADD SINUSOIDS X1 VECTOR (PHASOR) ADD X3 X2 Signal Processing First

ADD SINUSOIDS Sum Sinusoid has SAME Frequency Signal Processing First

스펙트럼 표현 ( Spectrum Representation)

Contents 3.1 정현파들의 합에 대한 스펙트럼 3.2 비트 음색 3.3 주기적인 파형들 3.4 푸리에 급수 3.5 푸리에 급수 스펙트럼 3.6 주기적인 신호의 푸리에 분석 3.7 시간-주파수 스펙트럼 3.8 주파수 변조 : 처프신호(Chirp Signals) Signal Processing First

Review 정현파 표현 페이저 : 동일 주파수를 갖는 정현파의 덧셈을 간단히 표현 할 수 있음. 3장에서는 서로 다른 진폭과 위상, 주파수를 갖는 사인파의 합으로 구성된 파형 설명 Signal Processing First

3.1 정현파들의 합에 대한 스펙트럼 서로 다른 주파수, 크기, 위상을 갖는 N개의 정현파의 합 각 정현파 요소의 복소 크기항으로 표현 여기서 인 실수인 상수, 각 복소 크기는 Signal Processing First

역 오일러 공식 적용하면 2N+1개의 복소 크기(페이저)와 2N+1개의 주파수로 구성된 정현파들의 양츠대역 스펙트럼(two-sided spectrum)으로 정의 스펙트럼은 주파수 fk에 기여하는 페이저 들의 쌍의 집합으로 표현 Signal Processing First

SPECTRUM Interpretation
Cosine = sum of 2 complex exponentials: One has a positive frequency The other has negative freq. Amplitude of each is half as big Signal Processing First

SPECTRUM of SINE Sine = sum of 2 complex exponentials: Positive freq. has phase = -0.5p Negative freq. has phase = +0.5p Signal Processing First

GRAPHICAL SPECTRUM EXAMPLE of SINE w 7 -7 AMPLITUDE, PHASE & FREQUENCY are shown Signal Processing First

예제 3-1 양측파대 스펙트럼 3.1.1 표기법 변환(Notation Change) X0를 제외한 스펙트럼에서 모든 Xk 에 ½이 곱해져 있음으로 새로운 기호 a k 로 정의 Signal Processing First

3.1.2 스펙트럼의 그래프 그림 100 250 –100 –250 f (in Hz) Signal Processing First

Gather (A,w,f) information
Frequencies: -250 Hz -100 Hz 0 Hz 100 Hz 250 Hz Amplitude & Phase 4 -p/2 7 +p/3 10 0 7 -p/3 4 +p/2 Note the conjugate phase DC is another name for zero-freq component DC component always has f=0 or p (for real x(t) ) Signal Processing First

Add Spectrum Components-1
Frequencies: -250 Hz -100 Hz 0 Hz 100 Hz 250 Hz Amplitude & Phase 4 -p/2 p/3 10 0 7 -p/3 p/2 Signal Processing First

Add Spectrum Components-2
100 250 –100 –250 f (in Hz) Signal Processing First

3.2 비트 음색 3.2.1 정현파들의 곱셈 두 정현파를 역 오일러 공식으로 변환하여 푼다. 예) 3.2.2 비트 음색 파형 1/2 f f1 fc f2 Signal Processing First

3.2.3 진폭 변조(Amplitude Modulation) 낮은 주파수 신호에 높은 반송 주파수를 곱하는 과정 포락선이 0이 되지 않는다. 그림 3-5 참조 5/2 1 1 fc - fΔ fc fc + fΔ Signal Processing First

AM Radio Signal Same as BEAT Notes Signal Processing First

SPECTRUM of AM (Beat) 4 complex exponentials in AM: –672 –648 648 672 f (in Hz) What is the fundamental frequency? 648 Hz ? 24 Hz ? Signal Processing First

3.3 주기적인 파형들 주기 신호는 두 개 이상의 고조파 주파수를 가진 정현파의 합으로 합성할 수 있다. 고조파(harmonic)는 기본 주파수(fundamental frequency)의 정수배임 고조파 주파수 Signal Processing First

기본 주파수 : 최대 공약수로 푼다. 예) 1.2, 2, 6Hz의 기본 주파수는? 코사인의 복소 지수 표현 Signal Processing First

Example: Synthetic Vowel
Sum of 5 Frequency Components Signal Processing First

SPECTRUM of VOWEL (Polar Format)

Vowel Waveform (sum of all 5 components)
200Hz Hz f0 = 200 f0 = 100 f0 = 100 주기적 신호임. f0 = 200 f0 = 100 Hz Signal Processing First

Harmonic Signal (3 Freqs)
T=0.1 Signal Processing First

NON-Harmonic Signal NOT PERIODIC Signal Processing First

3.4 푸리에 급수(Fourier Series)
3.4.1 푸리에 급수 : 합성(synthesis) & 분석(Analysis) 모든 주기 신호의 복소 진폭은 푸리에 적분으로 계산 여기서 T0 는 x(t)의 기본 주기임 DC 성분은 k =0일 때 계산 합성 분석 Signal Processing First

SQUARE WAVE EXAMPLE –.02 .02 0.04 1 t x(t) .01 Signal Processing First

FS for a SQUARE WAVE {ak}

DC Coefficient: a0 Signal Processing First

Fourier Coefficients ak
ak is a function of k Signal Processing First

3.6.2 구형파의 스펙트럼 1/k 로 감소함을 보여줌 Signal Processing First

3.8 주파수 변조 : 처프 신호(Chrip Signals)
3.8.1 처프 또는 선형 변환 주파수(Linearly Swept Frequency) 처프 : 낮은 값에서 높은 값까지 선형적으로 변하는 주파수를 가지는 신호 Signal Processing First

샘플링과 에일리어싱 ( Sampling & Aliasing)

Contents 4.1 샘플링 4.2 샘플링의 스펙트럼 관찰과 복원 4.4 이산-연속(D/C) 변환 4.5 샘플링 정리 Signal Processing First

LECTURE OBJECTIVES SAMPLING can cause ALIASING Sampling Theorem Sampling Rate > 2(Highest Frequency) Spectrum for digital signals, x[n] Normalized Frequency ALIASING Signal Processing First

System IMPLEMENTATION
ANALOG/ELECTRONIC: Circuits: resistors, capacitors, op-amps ELECTRONICS x(t) y(t) DIGITAL/MICROPROCESSOR Convert x(t) to numbers stored in memory COMPUTER D-to-A A-to-D x(t) y(t) y[n] x[n] Signal Processing First

SAMPLING RATE, fs SAMPLING RATE (fs) fs =1/Ts NUMBER of SAMPLES PER SECOND Ts = 125 microsec  fs = 8000 samples/sec UNITS ARE HERTZ: Hz UNIFORM SAMPLING at t = nTs = n/fs IDEAL: x[n] = x(nTs)=x(n/fs) x[n]=x(nTs) x(t) C-to-D Signal Processing First

4.1.1 정현파 신호의 샘플링 예) 그림 4-3 참조 정규화된 라디안 주파수 rad 단위 확인 rad/sec Signal Processing First

DIGITAL FREQUENCY VARIES from 0 to 2p, as f varies from 0 to the sampling frequency UNITS are radians, not rad/sec DIGITAL FREQUENCY is NORMALIZED Signal Processing First

4.1.2 에일리어싱(Aliasing)의 개념 삼각함수가 2*pi를 주기로 하는 주기함수이기 때문에 발생됨. 예) Alias : 다수개의 동일한 이산시간 신호들 Signal Processing First

ALIASING DERIVATION Other Frequencies give the same Signal Processing First

ALIASING CONCLUSIONS ADDING fs or 2fs or –fs to the FREQ of x(t) gives exactly the same x[n] The samples, x[n] = x(n/ fs ) are EXACTLY THE SAME VALUES GIVEN x[n], WE CAN’T DISTINGUISH fo FROM (fo + fs ) or (fo + 2fs ) Signal Processing First

4.1.4 샘플링 이론 Shannon의 sampling theorem 최대 주파수가 fmax인 연속시간 신호 x(t)를 복원하기 위해서는 최소 2fmax보다 크거나 같아야 한다. 최소 샘플링 율 : Nyquist sampling rate 중요성 : 샘플링 율을 최소화함으로써 저장장치와 처리속도 등의 비용을 최소화 예) 오디오 CD : 44.1kHz(가청주파수의 약 2배) 실제로는 2fmax 보다 더 크게 설정함 Signal Processing First

4.1.5 Ideal Reconstruction D/C 변환 과정 Shannon의 샘플링 이론을 만족하면 D/C 변환 후 원래의 파형과 동일하다 출력 파형이 정현파일 경우 ADC 경우, 샘플링 사이의 빈 곳에 값을 넣어야 하기 때문에 복원하기 어렵다 근사화 시켜야 함 : 보간법(Interpolation) Signal Processing First

주파수 (스펙트럼) 측면 이산 신호는 에일리어스 존재 이상적인 C/D 변환기는 가장 낮은 주파수 성분 선택 언제나 – ½fs ~ ½fs 존재 4.2 샘플링의 스펙트럼 관찰과 복원 주파수 꺾기(Folding) 에일리어싱 Signal Processing First

4.2.1 샘플링에 의해 얻은 이산시간 신호의 스펙트럼 샘플링된 이산시간 정현파 : 예) 스펙트럼을 그리시오 Signal Processing First

그림 4-8~4-11 참조 100Hz의 정현파일 때 Fs = 500Hz, 80Hz, 100Hz의 파형 비교 정규화된 스펙트럼 비교 Over-sampling Fmax의 2배보다 더 크게 샘플링할 때 주로 다수개의 에일리어스 중 기본 에일리어스 주파수를 선택한다. 언제나 – ½fs ~ ½fs 존재 그림 4-8 참조 Signal Processing First

SPECTRUM (MORE LINES) 2p(0.1) –0.2p –1.8p 1.8p Signal Processing First

4.2.3 Under-sampling 일때 발생 그림 4-9 참조 에일리어스 존재 Signal Processing First

SPECTRUM (ALIASING CASE)

입력 주파수와 Fs가 같을 경우 주파수가 0인 정현파, 즉 DC를 샘플링한 것과 같음 4.2.4 Under-sampling에 의한 folding 그림 4-11 참조 입력 주파수가 100Hz고 샘플링 율(fs) = 125Hz라고 할때 정규화된 주파수 는 아날로그 주파수 : 위상 부호 변화 확인 위상이 반전됨 Signal Processing First

SPECTRUM (FOLDING CASE)

4.4 이산-연속(D/C) 변환 4.4.1 펄스를 이용한 보간법 p(t) Signal Processing First

4.4.2 zero-order hold interpolation 구형파 펄스일 경우 : Signal Processing First

4.4.3 선형 보간법 삼각 펄스를 이용할 경우 : Signal Processing First

4.4.4 삼차 곡선(Cubic Spline)에 의한 보간법 그림 4-22 참조 점점 더 원 신호에 근접함 4.4.5 과샘플링을 이용한 보간법 그림 4-23, 24, 25 참조 결론 원래의 파형과 유사해 지려면 Sinc 형태 혹은 과샘플링 과정이 필요 Signal Processing First

( FIR filter)

Contents 이동평균필터 일반적인 FIR 필터 FIR 필터의 구현 선형 시불변(LTI) 시스템 콘볼루션과 LTI 시스템 직렬 연결 LTI 시스템 FIR 필터링의 예 Signal Processing First

5.2 이동 평균(moving average) 필터
이동 평균 필터 FIR 필터의 한 종류 데이터 변화가 심하거나 해석하기 전에 매끄럽게할 때 사용 그림 5-2 참조 그림 5-3 참조 출력의 길이가 입력의 길이보다 길게 됨 출력은 입력을 약간 부트럽게 바꾼 형태 Signal Processing First

Moving average 유한길이 입력 신호 x[n] n Signal Processing First

3-PT AVERAGE SYSTEM ADD 3 CONSECUTIVE NUMBERS Do this for each “n” Make a TABLE n=0 Signal Processing First n=1

INPUT SIGNAL OUTPUT SIGNAL Signal Processing First

PAST, PRESENT, FUTURE “n” is TIME Signal Processing First

ANOTHER 3-pt AVERAGER Causal filter : real time system non-causal filter : saved system Uses “PAST” VALUES of x[n] IMPORTANT IF “n” represents REAL TIME WHEN x[n] & y[n] ARE STREAMS Backward average Signal Processing First

GENERAL FIR FILTER FILTER COEFFICIENTS {bk} DEFINE THE FILTER For example, Signal Processing First

GENERAL FIR FILTER FILTER COEFFICIENTS {bk} FILTER ORDER is M FILTER LENGTH is L = M+1 NUMBER of FILTER COEFFS is L Signal Processing First

GENERAL FIR FILTER SLIDE a WINDOW across x[n] x[n-M] x[n] Signal Processing First

FILTERED STOCK SIGNAL INPUT OUTPUT 50-pt Averager Signal Processing First

3점 이동 평균 계산 7점 이동 평균 계산 원하는 신호 잡음 신호 Signal Processing First

FILTERING EXAMPLE 7-point AVERAGER Removes cosine By making its amplitude (A) smaller 3-point AVERAGER Changes A slightly Signal Processing First

3-pt AVG EXAMPLE USE PAST VALUES Signal Processing First

7-pt FIR EXAMPLE (AVG) CAUSAL: Use Previous Signal Processing First LONGER OUTPUT

5.3.2 단위 임펄스 응답 단위 임펄스열 UNIT-IMPULSE 1 n Signal Processing First

UNIT IMPULSE SIGNAL d[n]
d[n] is NON-ZERO When its argument is equal to ZERO Signal Processing First

MATH FORMULA for x[n] Use SHIFTED IMPULSES to write x[n] Signal Processing First

SUM of SHIFTED IMPULSES
This formula ALWAYS works Signal Processing First

4-pt AVERAGER CAUSAL SYSTEM: USE PAST VALUES INPUT = UNIT IMPULSE SIGNAL = d[n] OUTPUT is called “IMPULSE RESPONSE” Signal Processing First

4-pt Avg Impulse Response
d[n] “READS OUT” the FILTER COEFFICIENTS n=0 “h” in h[n] denotes Impulse Response NON-ZERO When window overlaps d[n] 1 n n=–1 n=0 n=1 n=4 n=5 Signal Processing First

FIR IMPULSE RESPONSE Convolution = Filter Definition Filter Coeffs = Impulse Response CONVOLUTION Signal Processing First

LTI: Convolution Sum Output = Convolution of x[n] & h[n] NOTATION: Here is the FIR case: FINITE LIMITS Same as bk Signal Processing First

CONVOLUTION Example Signal Processing First

HARDWARE STRUCTURES INTERNAL STRUCTURE of “FILTER” WHAT COMPONENTS ARE NEEDED? HOW DO WE “HOOK” THEM TOGETHER? SIGNAL FLOW GRAPH NOTATION x[n] FILTER y[n] Signal Processing First

HARDWARE ATOMS Add, Multiply & Store Signal Processing First

FIR STRUCTURE Direct Form SIGNAL FLOW GRAPH Signal Processing First

5.5 LTI 시스템 TESTING Time-Invariance Ex) 제곱 시스템은 시불변인가? Signal Processing First

Superposition TESTING LINEARITY Ex) 제곱시스템은 선형 시스템인가? Signal Processing First

5.6 콘볼루션과 LTI 시스템 5.6.2 LTI 시스템의 특성들 연산자로서의 콘볼루션 콘볼루션의 교환성 콘볼루션의 결합성 Signal Processing First

CASCADE EQUIVALENT Find “overall” h[n] for a cascade ? S1 S2 S2 S1 Signal Processing First

( Frequency response of FIR filter)

Contents 6.1 FIR 시스템 정현파 응답 6.2 중첩과 주파수 응답 6.3 정상 상태와 과도 응답 6.4 주파수 응답의 특성 6.5 주파수 응답의 그래프적 표현 6.6 직렬 선형 불변 시스템 6.7 이동 평균 필터링 6.8 샘플된 연속시간 신호의 필터링 Signal Processing First

입력 : 정규화된 라디안주파수 를 가진 복소 지수라고 하면 x[n] is the input signal—a complex exponential Signal Processing First

COMPLEX EXP OUTPUT 입력 Signal Processing First

FREQUENCY REPONSE 주파수 응답은 극표현식 : Signal Processing First

Ex) 입력 : 출력은? 입력 복소 지수 신호의 크기와 위상에 대한 LTI 시스템의 영향은 주파수 응답 함수에 의해 결정됨. 위상 : 추가적인 위상 변이 발생 크기 : 시스템 이득이 생김 Signal Processing First

EXAMPLE 6.1 차분 방정식의 계수 : Signal Processing First

EXAMPLE 6.2 x[n] y[n] Signal Processing First

EXAMPLE 6.2 (answer) 주파수 응답 입력 Signal Processing First

EXERICE 6.2-1 계수열이 대칭일때, 즉, {bk}={1, -2, 4, -2, 1}이라고 할 때 FIR 필터의 주파수 응답? Signal Processing First

6.2 중첩과 주파수 응답 입력이 복소 지수 신호의 합이면 충첩의 원리로 시스템의 출력을 손쉽게 찾을 수 있음 예) LTI 시스템의 입력 : 복소 지수로 표현하면 을 가지는 복소 지수 신호로 구성 Signal Processing First

시스템의 주파수를 안다면, 각 성분을 해당 주파수에 대응되는 주파수 응답 과 곱하고 더하면 출력 구할 수 있음. Signal Processing First

EXAMPLE: COSINE INPUT y[n] x[n] Signal Processing First

EX: COSINE INPUT Use Linearity Signal Processing First

EX: COSINE INPUT (ans-2)

LTI 시스템의 입력이 실수 신호이고 다음과 같이 표현된다면 이때 이 성립한다면 Y[n]은? Signal Processing First

EXERICE 6.4 계수 {bk}={1, 2, 1}을 갖는 FIR 필터에 대해서 입력이 아래와 같을 때 출력을 구하라 Signal Processing First

6.3 정상 상태와 과도 응답 에서 시작하고 에 대해서만 0이 아닌 복소 지수 신호 LTI FIR 시스템의 출력은 과도상태 정상상태 Signal Processing First

Ex) 필터 계수 시스템의 주파수 응답은 입력 신호 : 3<M일때 과도 영역 상태 M=4일때 정상 상태 Signal Processing First

정상 영역에서 신호는 입력신호를 스케일하였고 2샘플 이동함 Signal Processing First

6.4 주파수 응답의 특성 6.4.1 임펄스 응답과 차분방정식의 관계 시간 영역  주파수 영역 예) 임펄스 응답 필터 계수 차분 방정식 주파수 응답 Signal Processing First

예) 으로부터의 차분방정식 Signal Processing First

의 주기성 6.4.3 켤레 대칭성 반주기의 주파수 응답에 대해서 크기와 위상은 대칭 켤레 대칭(conjugate symmetry) 크기 함수 : 우함수 위상 : 기함수 Signal Processing First

6.5 주파수 응답의 그래프적 표현 6.5.1 지연 시스템 차분 방정식 주파수 응답 필터 계수 : 1 기울기 : -n0 Signal Processing First

차 차분 시스템 LTI 시스템의 주파수 응답 Signal Processing First

주파수 응답의 크기와 위상 표현 고대역 통과 필터 -2pi pi 2pi Signal Processing First

EXAMPLE 6.8 일차 차분의 상수값 제거 입력 출력 간단한 저대역통과 필터(LPF) 그림 6-5 참조 0에서 최대 , Pi 근처에서 최소가 됨을 알 수 있음 위상 크기 Signal Processing First

EXAMPLE 6.9 입력 : 주파수 응답 : MATLAB 사용하여 출력하시오 Signal Processing First

주파수 의 성분이 제거됨을 알 수 있음 x[n] y[n] Signal Processing First

6.6 직렬 선형 불변 시스템 Cascaded LTI systems LTI1 LTI2 LTI2 LTI1 LTI Equivalent 임펄스 응답 주파수 응답 Signal Processing First

예제 6-10 다음 두 시스템이 주어졌을 때 전체 주파수 응답은? 계수 : {2, 4, 4, 2}, {1, -2, 1} 6.7 이동 평균 필터링 Signal Processing First

6.7.1 주파수 응답의 도시(11-points) 분자 : 분모 : 정수 최소 최대 Signal Processing First

함수 의 성질 의 우함수이며 주기 의 주기성을 갖는다. 에서 최대값을 갖는다. 가 증가함에 따라 진동하면서 감소하고 에서 가장 작은 값을 갖는다. 의 0이 아닌 배수에서 영점을 갖는다 Signal Processing First

2.7.2 크기와 위상의 직렬 연결 실수 성분 지연성분 Delay : 홀수일때  정수 : 짝수일때  정수 아님 Signal Processing First

6.8 샘플된 연속시간 신호의 필터링 Ideal C/D Ideal D/C 입력 신호 샘플링 후 신호 샘플링 조건을 만족하면( ) 치환 Signal Processing First

6.8.1 예제 : 저대역통과 필터 Signal Processing First

6.8.2 지연에 대한 해석 지연 시간 : Signal Processing First

Z-변환 ( Z-Transform)

7.1 z-변환의 정의 유한 길이 예) n 영역 z 영역 k 번째의 수열값은 다항식 X(z)에서 z-1의 k 제곱의 계수임 Signal Processing First

예제 7-1 신호의 z 변환 역 z 변환 n n<-1 -1 1 2 3 4 5 n>5 X[n] 6 n n<-1 -1 1 2 3 4 5 n>5 X[n] Signal Processing First

7.2 z 변환과 선형 시스템 7.2.1 FIR 필터의 z-변환 Signal Processing First

예제 7-3 : 시스템 함수의 영점들 FIR 필터 : z 변환 시스템 함수 : 예) z 변환 시스템 함수 : ? 영점 Signal Processing First

7.3 z 변환의 특성 z 변환의 중첩 특성 수열 이고 모두 유한 길이라면 Signal Processing First

7.3.2 z 변환의 시간 지연 특성 n n<-1 -1 1 2 3 4 5 n>5 X[n] 9 X[n]은 다항식 X(z)의 계수들 지수값들은 값들의 시간축 위치에 대응됨 예) 항은 n=2일 때, 신호 값이 4를 의미함. Signal Processing First

Z-1을 다항식에 곱할 때의 영향? n n<-1 -1 1 2 3 4 5 6 n>5 X[n] 9 일반화 한 개의 샘플 지연은 z 변환에 z-1을 곱한다. 단위 지연 특성이라함 Signal Processing First

7.4.3 블록 타이어그램 z-1 Signal Processing First

7.5 콘볼루션 z 변환 MULTIPLY Z-TRANSFORMS Signal Processing First

N-영역에서의 콘볼루션은 z-영역에서의 곱에 해당 Signal Processing First

CASCADE EXAMPLE x[n] y[n] w[n] y[n] x[n] Signal Processing First

Signal Processing First <LECTURE #1>

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