진동운동과 카오스 컴퓨터시뮬레이션학과 2016년 봄학기 담당교수 : 이형원 E304호,

Presentation on theme: "진동운동과 카오스 컴퓨터시뮬레이션학과 2016년 봄학기 담당교수 : 이형원 E304호,"— Presentation transcript:

1 진동운동과 카오스 컴퓨터시뮬레이션학과 2016년 봄학기 담당교수 : 이형원 E304호, hwlee@inje.ac.kr
운동시뮬레이션 제5주 실습하기 진동운동과 카오스 컴퓨터시뮬레이션학과 2016년 봄학기 담당교수 : 이형원 E304호,

2 작은각 단진동 운동 1차 방정식으로 변환 Modelica 기술 Motion.y2016.Week05.SimplePendulum
𝑑𝜃 𝑑𝑡 =𝜔, 𝑑𝜔 𝑑𝑡 =− 𝑔 ℓ 𝜃 Modelica 기술 𝑑𝑒𝑟 𝑡ℎ𝑒𝑡𝑎 =𝑜𝑚𝑒𝑔𝑎; 𝑑𝑒𝑟 𝑜𝑚𝑒𝑔𝑎 =−𝑔∗𝑡ℎ𝑒𝑡𝑎/𝑙; Motion.y2016.Week05.SimplePendulum

3 불필요한 Package/Class 닫기 Motion 패키지가 사라졌음

4 Package 생성 패키지 명 Motion 패키지 선택 새로운 패키지 Motion이 root(global) 에 생성됨

5 Package 생성 패키지 명 y2016 패키지 선택 상위 패키지 새로운 패키지 y2016가 Motion 아래에 생성됨

6 Package 생성 Week05 Week05

7 Package 저장 D:\lec_hwlee\motion\y2016\week05 Motion.y2016.Week05.mo

8 클래스 생성 새로운 클래스 SimplePendulum이 Motion.y2016.Week05 아래에 생성됨

9 클래스 작성 시간에 따라 변하는 변수는 각과, 각속력을 나타내는 𝜃, 𝜔 이다. 계의 조건에 따른 변수는 진자의 길이 l이다.
Motion.y2016.Week05.SimplePendulum

10 클래스 작성 앞 클래스 기술에서 theta, omega는 변하는 임의의 변수로 구하고자 하는 시간의 함수이다.
𝑙, 𝜃 0 는 시뮬레이션 하는 동안 변하지 않는 값으로 파라메터(parameter)로 선언한다. 8,9번 줄은 𝜃, 𝜔가 만족하는 미분 방정식이다.

11 시뮬레이션 조건 설정 SimplePendulum

12 시뮬레이션 조건 설정 시뮬레이션 시작시간 종료시간 설정 미분방정식 Solver 선택 오차 한계

13 시뮬레이션 조건 설정 결과 출력 형식 mat : 이진 형식 출력, MATLAB, Octave 에서 사용 가능
plt : 일반 텍스트 출력 csv : 자료를 콤마로 구분하여 저장 empty : 출력하지 않음 적분 구간의 개수 ∆𝑡= 종료시간 −시작시간 인터벌 수 ∆𝑡= 10− =0.01초

14 시뮬레이션 실행 콤파일하고 시뮬레이션한 로그를 보여준다.

15 시뮬레이션 실행

16 결과 보이기 보고자 하는 변수 선택

17 결과 그래프 꾸미기 Setup을 통하여 그래프의 형식을 조정할 수 있다.

18 결과 그래프 꾸미기 그래프 타이틀 y축 타이틀 x축 타이틀 범례 선색 선굵기

19 결과 그래프 꾸미기

20 다른 파라메터 값의 결과 보기 파라메터 값을 수정하고 re-simulate을 한다. 오른버튼 클릭

21 새 시뮬레이션 결과 타이틀은 Setup으로 수정

22 결과 해석 그림에서 알 수 있는 바와 같이 시간이 지남에 따라 진폭이 계속 증가함을 알 수 있다.
해석적인 해는 진폭이 일정해야 한다. Euler방법을 사용한 수치적인 해가 문제가 있다. 이런 결과가 나온 이유는 Euler 방법으로 단진자 문제를 푸는 경우 에너지가 지속적으로 증가한다.

23 다른 Solver 적용 Runge-Kutta 선택

24 RK 결과

25 위상 그림

26 감쇠 단진자 미분 방정식 Modelica 기술 𝑑 2 𝜃 𝑑 𝑡 2 =− 𝑔 ℓ 𝜃−q 𝑑𝜃 𝑑𝑡
𝑑𝜃 𝑑𝑡 =𝜔, 𝑑𝜔 𝑑𝑡 =− 𝑔 ℓ 𝜃−𝑞𝜔 Modelica 기술 𝑑𝑒𝑟 𝑡ℎ𝑒𝑡𝑎 =𝑜𝑚𝑒𝑔𝑎; 𝑑𝑒𝑟 𝑜𝑚𝑒𝑔𝑎 =−𝑔∗𝑡ℎ𝑒𝑡𝑎/𝑙 −𝑞∗𝑜𝑚𝑒𝑔𝑎; Motion.y2016.Week05.DampedSHM

27 Modelica 클래스 Motion.y2016.Week05.DampedSHM

28 결과

29 결과

30 결과

31 위상 그림

32 위상 그림

33

34 강제 감쇠 진동 미분 방정식 1차 미분 방정식 Modelica 기술
𝑑 2 𝜃 𝑑 𝑡 2 =− 𝑔 ℓ 𝜃−q 𝑑𝜃 𝑑𝑡 + 𝐹 𝐷 sin Ω 𝐷 𝑡 1차 미분 방정식 𝑑𝜃 𝑑𝑡 =𝜔, 𝑑𝜔 𝑑𝑡 =− 𝑔 ℓ 𝜃−𝑞𝜔+ 𝐹 𝐷 sin Ω 𝐷 𝑡 Modelica 기술 𝑑𝑒𝑟 𝑡ℎ𝑒𝑡𝑎 =𝑜𝑚𝑒𝑔𝑎; 𝑑𝑒𝑟 𝑜𝑚𝑒𝑔𝑎 =−𝑔∗ 𝑡ℎ𝑒𝑡𝑎 𝑙 −𝑞∗𝑜𝑚𝑒𝑔𝑎+𝐹𝑑∗ sin 𝑂𝑚𝑒𝑔𝑎𝐷∗𝑡𝑖𝑚𝑒 ; Motion.y2016.Week05.ForcedSHM

35 Modelica 클래스 Motion.y2016.Week05.ForcedSHM

36 결과

37 위상 그림

38 결과

39 위상 그림

40 결과

41 위상 그림

42 결과 해석 강제 진동 주파수에 따라 정상상태의 진동의 진폭이 많이 달라짐을 알 수 있다.
강제 진동 주파수가 계의 고유 진동수와 같아지면 진폭이 최대가 된다. 고유진동수는 𝜔 0 = 𝑔 ℓ = =3.13 이다.

43 비선형 진자 작은 각 근사를 하지 않은 진자 Modelica 기술 Motion.y2016.Week05.NonlinearSHM
𝑑 2 𝜃 𝑑 𝑡 2 =− 𝑔 ℓ sin 𝜃 𝑑𝜃 𝑑𝑡 =𝜔, 𝑑𝜔 𝑑𝑡 =− 𝑔 ℓ sin 𝜃 Modelica 기술 𝑑𝑒𝑟 𝑡ℎ𝑒𝑡𝑎 =𝑜𝑚𝑒𝑔𝑎; 𝑑𝑒𝑟 𝑜𝑚𝑒𝑔𝑎 =−𝑔/𝑙∗ sin 𝑡ℎ𝑒𝑡𝑎 ; Motion.y2016.Week05.NonlinearSHM

44 Modelica 클래스 Motion.y2016.Week05.NonlinearSHM

45 결과(작은 초기 각)

46 결과(큰 초기 각)

47 결과 (더 큰 초기각)

48 위상 비교

49 결과 해석 비선형 진자의 결과를 보면 초기 각의 값이 커질 수록 진동의 주기가 길어지는 것을 알 수 있다.

50 강제 비선형 진자의 카오스 강제 진동, 감쇠, 비선형 효과 Modelica 기술
𝑑 2 𝜃 𝑑 𝑡 2 =− 𝑔 ℓ sin 𝜃 −q 𝑑𝜃 𝑑𝑡 + 𝐹 𝐷 sin Ω 𝐷 𝑡 𝑑𝜃 𝑑𝑡 =𝜔, 𝑑𝜔 𝑑𝑡 =− 𝑔 ℓ sin 𝜃 −𝑞𝜔+ 𝐹 𝐷 sin Ω 𝐷 𝑡 Modelica 기술 𝑑𝑒𝑟 𝑡ℎ𝑒𝑡𝑎 =𝑜𝑚𝑒𝑔𝑎; 𝑑𝑒𝑟 𝑜𝑚𝑒𝑔𝑎 =−𝑔/𝑙∗ sin 𝑡ℎ𝑒𝑡𝑎 −𝑞∗𝑜𝑚𝑒𝑔𝑎+𝐹𝑑∗sin⁡(𝑂𝑚𝑒𝑔𝑎𝐷∗𝑡𝑖𝑚𝑒); Motion.y2016.Week05.ChaoticSHM

51 Modelica 클래스 Motion.y2016.Week05.ChaoticSHM

52 결과(강제진동이 없는 경우)

53 위상 그림(강제진동이 없는 경우)

54 결과(강제진동 크기가 적은 경우)

55 위상그림(적은 강제진동)

56 결과(큰 강제진동)

57 위상 그림(큰 강제진동)

58 결과 해석 강제 진동의 크기에 따라 계의 진동이 매우 불규칙적으로 변경 된다.
강제 진동의 크기가 더 커지면 카오스 운동이 된다.

59 변수 값 제한하기 when 절 내에서 reinit(x, expr) 사용

60 강제 비선형진자의 안정성 강제진동이 큰 경우 카오스 운동을 한다. 카오스는 무작위 운동과는 다르다.
초기조건이 정해지면 향후의 운동은 정해진다. 그러나 강제진동의 크기가 커지면 운동을 예상하기가 어렵다.(모순) 초기 조건을 약간 다르게 입력한 경우의 두 해의 비교 카오스 인 경우에는 초기 조건의 약간의 오차가 크게 증폭된다.

61 초기값 차이의 변화 기울기 음수 𝑒 𝜆𝑡 , 𝜆<0

62 초기값 차이의 변화

63 초기값 차이의 변화 기울기 양수 𝑒 𝜆𝑡 , 𝜆>0

64 초기값 차이의 변화

65 초기값 차이의 변화

66 결과 해석 강제진동의 크기가 작으면 초기 조건의 작은 차이는 시간이 지나면 없어지고 안정적인 해로 진행한다. 즉 운동은 예상할 수 있고 카오스 운동이 아니다. 강제 지동의 크기가 적당히 크면 초기조건의 조그만 차이가 시간이 지나면서 증폭되어 전혀 다른 운동을 한다. 즉 운동을 예상할 수 없고 카오스 운동이 된다. Δ𝜃≈ 𝑒 𝜆𝑡 , 𝜆: Lyapunov 지수

67 결과 해석 초기 조건이 동일하지 않은 강제 비선형 진자는 시간이 지나면 전혀 다른 진동을 하게 된다.
초기조건의 차이 뿐만 아니라, 진자 길이의차이, 강제진동의 크기의 차이 등 다른 물리량이 조금 씩 달라도 같은 현상을 보인다. 물리량의 참값을 아는 것은 불가능하기 때문에 강제 비선형진자의 운동은 결정론적(deterministic)이지만 예견할 수 없는(unpredictable) 운동이다.

68 카오스 초기조건이 주어지면 이후의 운동을 결정할 수 있지만
운동이 초기 조건에 매우 민감한 계를 카오스계(chaotic) 라고 한다. 카오스계(chaotic)이거나 비카오스계(nonchaotic) 모두 Lyapounov 지수로 기술할 수 있다. 카오스계는 양수, 비카오스계는 음수 이다.

69

70

71 카오스의 특징 위상 그림을 강제진동의 주기에 한 점씩을 그려 본다. 이러한 그림을 포앙카레 단면(Poincare Section) 이라고 한다. 비카오스계에서는 이 경우 시간이 지나면 한 점만 나타난다. 카오스계인 경우에는 복잡한 형태의 모양이 나타난다. 이 점들의 모임을 이상한 끌개(strange attractor)라고 한다.

72 Poincare Section 만들기 Modelica 클래스에서 강제진동의 주기의 정수배 시간에서만 값을 바꾸는 변수를 만들고 이를 계산해야 한다. 주어진 시간에서만 값을 바꾸기 위해서는 when ~ end when; 을 사용하면 된다.

73 Poincare Section 만들기 강제진동 주기 구하기 시간이 강제진동 주기의 정수배인지를 판단하기
Ω 𝐷 𝑃=2𝜋, 𝑃= 2𝜋 Ω 𝐷 시간이 강제진동 주기의 정수배인지를 판단하기 𝑘=𝐼𝑛𝑡𝑒𝑔𝑒𝑟 𝑡 𝑃 𝛿𝑡= 𝑡−𝑘×𝑃 𝛿𝑡<0.5×∆𝑡, ∆𝑡=시간간격

74 Modelica 클래스 Motion.y2016.Week05.PoincareSection

75 자료파일 생성 Output을 csv로 설정 클래스명_res.csv

76 gnuplot 으로 그리기 자료 파일의 첫 줄의 맨 앞에 # 기호 추가 gnuplot 명령
set datafile separator “,” plot ‘파일명’ using ($8):($7) using points pt 7

77 𝐹 𝐷 =0.5 경우 강제진동의 주기로 관찰한 위상 그림에서 점이 결국은 한 점으로 모인다.

78 𝐹 𝐷 =1.2 경우 강제진동의 주기로 관찰한 위상 그림에서
점이 복잡한 모양을 만들고 이를 이상한 끌개(strange attractor)라고 한다.

79 결과 해석 강제진동의 크기가 적은 경우에는 비카오스계가 되고 그 경우에는 포앙카레 단면이 간단한 점 몇 개로만 이루어진다.
강제진동의 크기가 적당히 크면 카오스계가 되고 포앙카레 단면이 복잡한 모양을 나타낸다.

80 카오스로의 진행: 배주기 강제진동의 크기가 작으면 단순 진동을 한다. 그러나 크기가 적당히 크면 카오스계가 된다.
어떻게 단순 진동에서 카오스계로 전환하는가? 일반적인 비선형 진자의 강제진동에 대한 응답은 강제진동 주파수의 정수배로(harmonics) 나타난다. 𝑛 Ω 𝐷 , 𝑛=1,2,⋯

81 카오스로의 진행: 배주기 그러나 강제진동의 크기가 커지면 주파수가 강제진동 주파수보다 작은 것(subharmonic)이 나타난다. 계속하여 Ω 𝐷 2 , Ω 𝐷 4 , Ω 𝐷 8 , ⋯ 주파수가 나타난다. 이는 진동의 주기가 늘어난다는 의미이다. 카오스로 진행한다는 것은 어떻게 알 수 있는가? 가지그림(bifurcation diagram)으로 확인

82 단순 진동

83 두 배 주기

84 네 배 주기

85 단순진동과 배주기 비교

86 가지 그림 그리리 주어진 강제진동의 크기에 대하여 300 강제진동 주기를 지난 후에 400 강제진동 주기까지 강제진동 주기 마다 점을 찍는다. 𝐹 𝐷 가 1.35 부터 까지는 한 점이 찍힌다. 이는 강제진동 주파수로 진동한다는 의미이다. 𝐹 𝐷 가 1.424를 넘으면 두 점이 찍히고 이는 진동수가 강제진동수의 ½ 되었다는 의미이다. 배주기상태는 𝐹 𝐷 가 까지 진행된다.

87 가지 그림

88 가지 그림의 특징 주기가 두 배가 되는 간격은 줄어든다. Faigenbaum 𝛿
𝛿= lim 𝑛→∞ 𝐹 𝑛 − 𝐹 𝑛−1 𝐹 𝑛+1 − 𝐹 𝑛 =4.669⋯ 비선형 진자는 주기가 두 배가 되는 과정을 거쳐서 카오스계로 진행한다. 배주기 과정은 비카오스계에서 카오스계로 가는 과정 중의 하나이다.

89 Logistic 맵: 배주기 이유 진자의 카오스 조건 로지스틱(Logistic) 맵: 동물의 개체 증가 모델
감쇠, 비선형, 강제진동 로지스틱(Logistic) 맵: 동물의 개체 증가 모델 𝑥 𝑛+1 =𝜇 𝑥 𝑛 1− 𝑥 𝑛 𝜇: 획득 가능한 먹이와 연관(증가율 결정) 불연속 맵 : 기존의 연소 미분 방정식과는 다름. 그러나 미분 방정식도 결국은 불연속 맵으로 해결 간단한 불연속 맵의 결과를 일반화 할 수는 없음

90 로지스틱 맵의 특징 작은 𝜇 값에서는 특별한 시작 값을 제외하면 한 값으로 수렴한다. 𝜇값이 좀 크면 두 가지 값을 수렴한다.
𝜇값이 더 커지면 카오스 현상을 보인다. 𝜇값에 따른 가지 그림을 그려보면 비선형진자의 결과와 유사함을 알 수 있다.

91 한 값으로 수렴하는 경우

92 두 개의 값으로 수렴하는 경우

93 네 개의 값으로 수렴하는 경우

94 카오스 결과

95 고정점 작은 𝜇값에서는 한 값으로 수렴하는 데 그 값은 다음 식을 만족하는 값이다.
𝑥 ∗ =𝜇 𝑥 ∗ 1− 𝑥 ∗ 고정점은 𝑥 𝑛+1 =𝜇 𝑥 𝑛 1− 𝑥 𝑛 =𝑓 𝑥 𝑛 식에 의하여 변하지 않는 값이다. 고정점 값은 다음 식으로 주어진다. 𝑥 ∗ =1− 1 𝜇

96 고정점으로의 접근 𝑥 ∗ =1− 1 𝜇 = 1 3 𝑥 1 =𝜇 𝑥 0 1− 𝑥 0 =0.375 𝑥 1 =0.375
𝑥 1 =𝜇 𝑥 0 1− 𝑥 0 =0.375 𝑥 1 =0.375 𝑥 0 =0.5

97 고정점으로의 접근

98 두 개의 값으로 수렴 하는 경우 매 두 스텝을 건너서 같은 값이 나타난다. 수렴하는 두 값은 다음 식을 만족한다.
𝑥 𝑛+2 =𝑓 𝑥 𝑛+1 =𝑓 𝑓 𝑥 𝑛 = 𝑥 𝑛 𝑥 ∗ =𝜇𝑓 𝑥 ∗ 1−𝑓 𝑥 ∗ = 𝜇 2 𝑥 ∗ 1− 𝑥 ∗ 1−𝜇 𝑥 ∗ 1− 𝑥 ∗ 1−𝜇 𝑥 ∗ 1− 𝑥 ∗ 세 개의 고정점이 있으며 그 중 하나는 불안정하다.

99 고정점의 안정성 고정점 근처에서의 함수의 근사
𝑓 𝑥 ∗ +𝛿𝑥 ≈𝑓 𝑥 ∗ +𝑓′ 𝑥 ∗ 𝛿𝑥 𝑓′ 𝑥 ∗ <1 이면 오차를 줄이게 되므로 값은 𝑓 𝑥 ∗ 로 수렴하여 안정하게 된다. 𝑓′ 𝑥 ∗ >1 이면 오차를 키우게 되므로 값은 𝑓 𝑥 ∗ 로부터 멀어지게 되어 불안정하게 된다.

100 1주기 고정점의 안정성 1주기 고정점은 다음 식을 만족한다. 𝑓 ′ 𝑥 =𝜇 1−2𝑥 , 𝑓 ′ 𝑥 ∗ =0.5<1
𝑥 ∗ =𝑓 𝑥 ∗ =𝜇 𝑥 ∗ 1− 𝑥 ∗ 𝜇=1.5, 𝑥 ∗ =1/3 𝑓 ′ 𝑥 =𝜇 1−2𝑥 , 𝑓 ′ 𝑥 ∗ =0.5<1 따라서 안정하다.

101 2주기 고정점의 안정성 2주기 고정점은 다음 식을 만족한다. 고정점에서의 미분 값은 다음과 같다.
𝑥 ∗ = 𝜇 2 𝑥 ∗ 1− 𝑥 ∗ 1−𝜇 𝑥 ∗ 1− 𝑥 ∗ 𝜇=3.3, 𝑥 ∗ =0.479, 0.697, 은 위 식을 만족한다. 고정점에서의 미분 값은 다음과 같다. 𝑓 ′ =−0.290 𝑓 ′ =1.690 𝑓 ′ =−0.290 따라서 점 0.697은 불안정하다.

102 Mathematica로 로지스틱 맵 그리기
로지스틱 함수 정의 𝑓 1 𝜇,𝑥 =𝜇𝑥 1−𝑥 𝑓 2 𝜇,𝑥 =𝜇 𝑓 1 𝜇,𝑥 1− 𝑓 1 𝜇,𝑥

103 1 주기 함수 𝜇=1.5

104 1 주기 함수 𝜇=3.3

105 2 주기 함수 𝜇=3.3

106 4 주기 함수 𝜇=3.5

107 Modelica로 로지스틱 계산 불연속 맵을 미분 방정식으로 변형 𝑥 𝑛+1 =𝜇 𝑥 𝑛 1− 𝑥 𝑛
𝑥 𝑛+1 =𝜇 𝑥 𝑛 1− 𝑥 𝑛 𝑥 𝑛+1 − 𝑥 𝑛 ∆𝑡 =𝜇 𝑥 𝑛 1− 𝑥 𝑛 − 𝑥 𝑛 𝑑𝑥 𝑑𝑡 =𝜇𝑥 1−𝑥 −𝑥 Euler 방법, ∆𝑡=1 이면 동일

108 Modelica 클래스 Motion.y2016.Week05.Logistic

109 로렌츠(Lorenz) 모델 단순화한 Navier-Stokes 방정식, E.N. Lorenz(1963)
𝑑𝑥 𝑑𝑡 =𝜎 𝑦−𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑡 =−𝑥𝑧+𝑟𝑥−𝑦 𝑑𝑧 𝑑𝑡 =𝑥𝑦−𝑏𝑧 유체의 상하에 온도차를 일정하게 유지했을 때의 유체의 운동 Euler 방법으로 해결 가능

110 Rayleigh-Benard 문제 낮은 온도 차 : 정지 상태 중간 정도의 온도차 : 정상상태(대류)

111 작은 r 값

112 작은 r 값

113 큰 r 값

114 위상 그림

115 위상 그림

116 위상 그림

117 포앙카레 단면 30초 이후의 x=0 , y=0 에서의 위상 그림

118 카오스로의 진행

119

120 간헐적 카오스

121

122 카오스로의 진행 r<160 인 경우 비선형진자와 유사하게 배주기 과정을 거친다.

123 Modelica 클래스 Motion.y2016.Week05.Lorenz

124 당구공 문제 미분 방정식 속도는 벽과 충돌하는 경우에만 바뀐다. 충돌은 완전탄성 충돌이고 거울반사처럼 속도가 변한다.
𝑑𝑥 𝑑𝑡 = 𝑣 𝑥 , 𝑑𝑦 𝑑𝑡 = 𝑣 𝑦 속도는 벽과 충돌하는 경우에만 바뀐다. 충돌은 완전탄성 충돌이고 거울반사처럼 속도가 변한다.

125 충돌에서의 속도의 변화 𝑣 𝑖,⊥ 𝑣 𝑖 𝑣 𝑖,∥ 𝑛 𝑣 𝑓,∥ 𝑣 𝑓 𝑣 𝑓,⊥ 벽에 수직인 단위 벡터를 𝑛 이라고 한다.
벽에 수직인 단위 벡터를 𝑛 이라고 한다. 𝑣 𝑖,⊥ = 𝑣 𝑖 ⋅ 𝑛 𝑛 , 𝑣 𝑖,∥ = 𝑣 𝑖 − 𝑣 𝑖,⊥ 𝑣 𝑓,⊥ =− 𝑣 𝑖,⊥ , 𝑣 𝑓,∥ = 𝑣 𝑓,∥ 𝑣 𝑖,⊥ 𝑣 𝑖 𝑣 𝑖,∥ 𝑛 𝑣 𝑓,∥ 𝑣 𝑓 𝑣 𝑓,⊥

126 충돌시의 위치 계산 𝑣 𝑖 𝑟 𝑐 𝑛 𝑟 𝑟 𝑛 −2 𝑣 𝑖,⊥ 𝑡 𝑐 매 시간 스텝에서 범위를 벗어났는지를 검사해야 한다.
범위를 벗어난 경우 새로운 위치 계산 𝑟 𝑐 = 𝑟 − 𝑣 𝑖 𝑡 𝑐 , 𝑟 𝑛 = 𝑟 −2 𝑣 𝑖,⊥ 𝑡 𝑐 𝑣 𝑖 𝑟 𝑐 𝑛 𝑟 𝑟 𝑛 −2 𝑣 𝑖,⊥ 𝑡 𝑐

127 운동장 형 당구대 2𝛼𝑟

128 사각형 당구 대에서의 운동

129 운동장형 당구대에서의 운동

130 운동장형 당구대에서의 운동

131 카오스 운동

132 주파수영역에서의 분석: 카오스와 잡음 주파수영역에서의 분석은 시간에 따라 변하는 신호가 포함하고 있는 특정 주파수 성분의 상대적 크기를 분석한다. 주파수 분석하는 방법은 주로 FFT(Fast Fourier Transform)를 사용한다. 수치해로 구한 값을 Mathematica를 이용하여 주파수 분석을 한다.

133 주파수 분석 방법 OMEdit 툴에서 출력 형식을 csv로 설정한다.
시뮬레이션을 실시하면 클래스명_res.csv 파일이 Working Directory에 생성된다. 생성된 파일을 시뮬레이션 조건에 따른 파일명으로 수정 저장한다. Mathematica에서 이 파일을 읽어서 주파수 분석을 한다.

134 Fourier 분석 𝐹 𝐷 =0.5

135 𝐹 𝐷 =0.5

136 Fourier 분석 𝐹 𝐷 =0.95

137 Fourier 분석 𝐹 𝐷 =0.95

138 Fourier 분석 𝐹 𝐷 =1.2

139 Fourier 분석 𝐹 𝐷 =1.2

140 Fourier 분석 𝐹 𝐷 =1.35

141 Fourier 분석 𝐹 𝐷 =1.35

142 Fourier 분석 𝐹 𝐷 =1.44

143 Fourier 분석 𝐹 𝐷 =1.44

144 Fourier 분석 𝐹 𝐷 =1.465

145 Fourier 분석 𝐹 𝐷 =1.465

146 난수의 Fourier 분석

147 잡음

148 도전해 보기 연습문제 3.1~3.5 풀이하기 초기 각이 다른 두 개의 비선형진자를 같이 그리기 연습문제 3.6~3.8 풀이하기
카오스 진자에서 각의 범위를 −𝜋,𝜋 로 제한하는 프로그램 작성하기 길이가 0.1% 차이나는 강제 비선형 진자의 운동을 비교하는 프로그램 작성하기

149 도전해 보기 연습문제 3.9~3.17 풀이하기 연습문제 3.23 풀이하기 연습문제 3.27, 3.28 풀이하기
연습문제 3.36, 3.37 풀이 하기