On the magic squares The 9th KMMCS 2006. 1. 10. Jaechil Yoo.

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1 On the magic squares The 9th KMMCS Jaechil Yoo

2 마방진의 정의 정의: N차 마방진은 1에서 NxN 까지 모든 숫자들을 한 번
이나 열이나 대각선의 합이 항상 N x ( N x N + 1 ) /2 이 되는 배열을 말한다.

3 마방진의 역사 낙서(洛書)- 황하의 지류인 ‘낙수’의 글 -하나라 우왕(B.C ) …오행설, 주역, 부적

4 마방진의 역사(중국) 양휘산법(揚輝算法) – 송나라 양휘 1275, 3 – 8방진 산법통종(算法統宗)
– 명나라 정대위 1593, 3-10방진

5 마방진의 역사(조선) 구수략(九數略) – 조선 숙종 영의정 최석정(1646-1717) - 9차 마방진 2개(직교라틴방진):
- 9차 마방진 2개(직교라틴방진): 한상근 교수의 논문 3 - 지수귀문도’(地數龜文圖)

6 마방진의 역사1(유럽) – Sator-Rotas 마방진(AD 79년 프로클루스의 침실 벽에 새겨진 것)
- 페르마( ), 오일러( ), - 가우스( ) - Bernard Frénicle(1693) – 4차 880가지

7 마방진의 역사2(유럽) – 오일러(1707-1783)의 직교라틴방진: 36장교 문제
예상: 6차, 10차 직교라틴 방진 존재하지 않음 6차 – 1900년 Tarry가 증명(경우의 수를 모두 열거) 10차 – 1959년 Ostrowski, Van Duren이 반례를 찾음 (컴퓨터를 이용해서) 최석정 – 10차의 직교라틴 방진 기술…유사한 생각 - A. Adler, S. Sessions: 마방진 사이의 연산을 통한 방법

8 마방진 관련 사이트 - 검색: yahoo.co.kr(1,680여 개) google.com(2,020,000여 개)
etc… - 연구 방향: * 마방진 만들기 * 마방진의 갯수(3차- 1, 4차- 880, 5차- 275,305,224 1973 by Richard Schroeppel using a computer backtracking prgram 6차- ? ( ) x 10^ Pinn과 Wieczerkowski, 1998 * 일반적인 수학적 성질 및 응용(통계학-Design of Experiments…)

9 마방진 만들기1(홀수차) - de la Loubere의 방법, Albrecht Durer의 방법, etc.

10 마방진 만들기2(4의 배수차) - 4차 마방진 => =>

11 마방진 만들기3(4의 배수차) - 4의 배수차 마방진 =>

12 마방진 만들기4(4의 배수가 아닌 짝수차) - Devedec의 방법 - 각 행에는 [n/4] 개의 3이 있다.
- 아래 절반은 위 절반에서, 0과 3, 1과 2를 맞바꾼 것이다. - 위의 방진에 n×n/4를 곱한 다음, 앞서 만든 n/2 차 마방진을 구분된 네 격자에 더한다.

13 마방진 만들기6(마방진의 연산) => - A. Adler의 방법 - Sessions의 방법도 비슷함
- B의 1의 자리에 해당하는 C의 작은 부분에 A를 그대로 넣는다. - B의 2의 자리에 해당하는 C의 작은 부분에 A + 9를 넣는다. - B의 3의 자리에 해당하는 C의 작은 부분에 A + 18을 넣는다…keep going. - Sessions의 방법도 비슷함

14 마방진 만들기7(직교라틴방진) - N차 라틴방진: 각 행, 열에 1부터 N까지의 수가 중복없는 배열 - 직교라틴방진: 두개의 라틴방진으로 가능한 모든 2차원 벡터 생성 2 3 1 2,1 3,3 1,2 1,3 2,2 3,1 3,2 1,1 2,3

15 마방진 만들기8(직교라틴방진) - 최석정의 9차 직교라틴방진
5,1 6,3 4,2 4,3 5,2 6,1 6,2 4,1 5,3 8,7 9,9 7,8 7,9 8,8 9,7 9,8 7,7 8,9 2,4 3,6 1,5 1,6 2,5 3,4 3,5 1,4 2,6 2,7 3,9 1,8 1,9 2,8 3,7 3,8 1,7 2,9 5,4 6,6 4,5 4,6 5,5 6,4 6,5 4,4 5,6 8,1 9,3 7,2 7,3 8,2 9,1 9,2 7,1 8,3 8,4 9,6 7,5 7,6 8,5 9,4 9,5 7,4 8,6 2,1 3,3 1,2 1,3 2,2 3,1 3,2 1,1 2,3 5,7 6,9 4,8 4,9 5,8 6,7 6,8 4,7 5,9 - 9차 마방진 생성: 같은자리에 9 x (i-1) + j의 값을 대입

16 마방진 만들기9(3^k 차) - 구정회(具精會) 선생: 집단수, 구궁수… 4 9 2 3 5 7 8 1 6 -1 4 -3 -2
2 3 -4 1

17 마방진 만들기9(3^2) - Shifted by [[3^2 x 3^2 / 2]] + 1 = 41
- In general, from 3^(k-1) to 3^k 차 마방진: 중앙수와의 차에 곱해지는 수는 9^(k-1) Shift되는 수는 [[3^k x 3^k / 2]] + 1

18 마방진 만들기9(3^3)

19 마방진 만들기9(3^3) - Shifted by [[3^3 x 3^3 / 2]] + 1 = 365

20 마방진 만들기9(5^k) - Shifted by [[5^2 x 5^2 / 2]] + 1 = 313
- In general, from 5^(k-1) to 5^k 차 마방진: 중앙수와의 차에 곱해지는 수는 25^(k-1) Shift되는 수는 [[5^k x 5^k / 2]] + 1

21 마방진 만들기9(5^k)

22 마방진 만들기9(5^k)

23 마방진 만들기9(4^k)

24 Notations 1

25 Notations 2

26 Notations 3

27 Notations 4

28 Some Lemmas-1

29 Monoid-2

30 A relation-3

31 Definition-4

32 Some Lemmas-4

33 Free Monoid-4

34 THINGS TO DO: Estimating the number of magic squares - Finding some applications