조선해양공학과 김도규 조선해양공학과 이문현

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1 조선해양공학과 201829106 김도규 조선해양공학과 201829140 이문현
텐서 텐서의 활용과 텐서 관련학자들에 대해 발표를 맡게 된 18학번 김도규 이문현 입니다. 조선해양공학과 김도규 조선해양공학과 이문현

2 목차 1-1 텐서의 정의 1-2 텐서의 차수 2. 텐서의 활용 3. 텐서에 관련된 학자들의 내용
1-1 텐서의 정의 1-2 텐서의 차수 2. 텐서의 활용 3. 텐서에 관련된 학자들의 내용 목차를 설명드리면 텐서의 정의와 그에 따른 텐서의 차수를 설명하고 난 뒤, 텐서를 어디에 활용하는지 말씀드리고 텐서에 관련된 학자들의 내용을 말씀드리겠습니다.

3 텐서의 정의 먼저 텐서의 정의부터 말씀드리면, (클릭) 모든 물리 문제를 해결하려면 좌표계를 설정해야 합니다. 물체가 어느 방향으로 얼만큼의 속도로 이동했는지를 표현하려면 기준이 되는 좌표계가 있어야 합니다. 가장많이 사용하고 이해하기 쉬운 좌표계는 지금 보이는 직교 좌표계 입니다. 세개의 단위 벡터가 서로 직교하는 좌표계를 의미 합니다. 그리고 스칼라는 크기를 나타내는 물리량이고 벡터는 크기와 방향을 나타내는 물리량입니다. 텐서는 (클릭) 많은 경우에 어떤 상황을 표현하기 위해 보시는바와 같이 동시에 두개 이상의 방향을 표현할때 쓰이는 개념입니다.

4 1-1. 텐서의 정의 텐서의 어원은 탄성변형의 변형력의 일종인 장력의 영어명 ‘tension’이다. 벡터의 개념을 확장한 기하학적인 양이다. 물리 현상을 기술하기 위해 도입한 좌표계에는 무관계한 공간 또는 도형의 성질을 끝까지 추구해야 하기 때문에 이를 위해 만들어진 일반화된 좌표계이다. 수학과 물리학에서, 텐서(tensor)는 선형 관계를 나타내는 기하적대상이다. 기본적인 예는 스칼라곱과 선형 변환이 있으며 스칼라와 벡터또한 해당한다. 텐서는 기저를 선택하여 다차원 배열로 나타낼 수 있으며, 기저를 바꾸는 변환 법칙이 존재한다. 이를 말로 풀어서 설명드리면 텐서는 벡터의 개념을 확장한 기하학적인 양입니다. 물리 현상을 기술하기 위해 도입한 좌표계에는 무관계한 공간 또는 도형의 성질을 끝까지 추구해야 하기 때문에 이를 위해 만들어진 일반화된 좌표계이다. 텐서의 어원은 탄성변형(彈性變形)의 변형력(應力)의 일종인 장력(張力)의 영어명 ‘tension’이다. 수학과 물리학에서, 텐서(tensor)는 선형 관계를 나타내는 기하적대상이다. 기본적인 예는 스칼라곱과 선형 변환이 있으며 스칼라와 벡터또한 해당한다. 텐서는 기저를 선택하여 다차원 배열로 나타낼 수 있으며, 기저를 바꾸는 변환 법칙이 존재한다.

5 벡터공간V 와 그 쌍대 공간V *에 대하여 음이 아닌 정수 m, n마다 (m, n)형의
텐서는 벡터 공간의 원소(즉, 수학적 의미의 벡터)로 정의된다. 여기에서 텐서곱⊗ 은 외적의 일반화로 생각하여 대략 벡터공간V 와 그 쌍대 공간V *에 대하여 음이 아닌 정수 m, n마다 (m, n)형의 텐서는 벡터 공간의 원소(즉, 수학적 의미의 벡터)로 정의된다. 여기에서 텐서곱⊗ 은 외적의 일반화로 생각하여 대략 이와 같은 행렬의 연산으로 나타낼수있습니다. 와 같은 연산이다.

6 1-2. 텐서의 차수(3차원 직교좌표계) =>벡터를 표현하기 위한 성분 개수 *n차 텐서의 성분 개수 : 3ⁿ개
-0차 텐서 : 30, 0개의 벡터를 가진 스칼라 -1차 텐서 : 3¹, 1개의 3차원 벡터를 가진 벡터 -2차 텐서 : 3², 2개의 3차원 벡터를 가진 3*3 행렬 -3차 텐서 : 3³, 3개의 3차원 벡터를 가진 3*3*3 행렬 그리고 텐서의 활용을 말씀드리기 위해 3차원 직교좌표계인 텐서의 차수를 말씀드리면 n차 텐서의 성분개수는 3의 n승개입니다. 그러므로 0차 텐서는 0개의 벡터를 가진 스칼라라 할 수 있고, 1차 텐서는 1개의 3차원 벡터를 가진 벡터라 할 수 있고, 2차 텐서는 2개의 3차원 벡터를 가진 3*3 행렬이라 할 수 있고, 3차 텐서는 3개의 3차원 벡터를 가진 3*3*3 행렬이라 할 수 있습니다.

7 2. 텐서의 활용 2차 텐서: 역학, 전자기학등 공학에서 회전 관성이나 응력을 표현.
3차 텐서: 힐베르트 공간을 다룰 때 더 높은 차원의 텐서를 이용함 압전효과, 열전효과 등의 에너지 변환을 다루는 분야에서는 변환인자의 개념으로 3차, 4차 텐서를 사용 그 2차텐서에서는 역학, 전자기학등 공학에서 회전관성이나 응력을 표현 할수있고, 3차 텐서는 힐베르트 공간을 다룰 때 더 높은 차원의 텐서를 이용할수 있으며, 압전효과, 열전효과 등의 에너지 변환을 다루는 분야에서는 변환인자의 개념으로 3차, 4차 텐서를 사용합니다.

8 3. 텐서에 관련된 학자들의 구체적 내용 아인슈타인의 일반 상대성 이론
로렌츠 변환에서 불변이던 물리 법칙을 리만 기하학의 언어를 동원해 일반적인 좌표 변환에서도 불변이도록 바꾸면 희한한 일이 벌어진다. 이런 상황에서 벡터들 간의 내적은 보다 일반적인 내적으로 수정이 되어야 한다. 식으로는 다음과 같이 주어진다. 여기서 gij​를 메트릭 텐서라고 부른다. 평평한 시공간에서 메트릭 텐서는 g00=1, gii=−1 (i=1,2,3…), gij=0(i≠j)으로 주어지는데, 메트릭 텐서는 일반적으로 시간에 대해서도 함수다. 이러한 성질들은 메트릭 텐서가 사실 시공간의 구조를 결정해 주는 물리량이라는 것을 말해 준다. 마지막으로 텐서에 관련된 학자들의 구체적 내용을 말씀드리면 먼저 아인슈타인의 일반 상대성 이론이 있습니다. 로렌츠 변환에서 불변이던 물리 법칙을 리만 기하학의 언어를 동원해 일반적인 좌표 변환에서도 불변이도록 바꾸면 희한한 일이 벌어집니다. 어떤 희한한 일이 벌어지는지 구체적으로 잘 모르겠으나, 특수상대성이론을 일반 좌표에 적용하면 오류가 생긴다는 말 인것 같습니다. 이런 상황에서 벡터들 간의 내적은 보다 일반적인 내적으로 수정이 되어야 합니다. 식으로는 다음과 같이 주어집니다. 여기서 g I j 를 메트릭 텐서라고 부릅니다. 평평한 시공간에서 메트릭 텐서는 goo=1, gii=-1, gij=0으로 주어지는데 메트릭 텐서는 일반적으로 시간에 대해서도 함수입니다. 이러한 성질들은 메트릭 텐서가 사실 시공간의 구조를 결정해 주는 물리량이라는 것을 말해 줍니다.

9 *맥스웰 방정식 ε ijk 는 레비-치비타 기호(Levi-Civita symbol)이며 G 는 계량 텐서(metric tensor)의 행렬식(determinant)이다 또 맥스웰 방정식에도 텐서가 쓰였는데, 내용이 아주 난해해 간략하게 말씀디리면 맥스웰 방정식을 푸는 과정중 계량텐서의 행렬식이 쓰입니다. 이처럼 텐서는 복잡한 방정식을 보다 쉽게 풀어 주는 장점이 있습니다.

10 출처 출처입니다.

11 QnA 질문 받겠습니다.

12 감사합니다 감사합니다.