(Second-Order Linear ODEs)

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1 (Second-Order Linear ODEs)
Ch. 2 2계 선형상미분방정식 (Second-Order Linear ODEs) 자주 접하게 될 공학문제들의 상당수가 2계 미분방정식으로 표현된다. : 기계적 진동 문제, RLC 전기회로, Laplace 방정식, 열전도 방정식, 파동 방정식 등 내용 : 2계 선형미분방정식의 해법(제차, 비제차)

2 (Homogeneous Linear ODEs of Second Order)
2.1 2계 제차 선형상미분방정식 2.1 2계 제차 선형상미분방정식 (Homogeneous Linear ODEs of Second Order)

3 제차 선형상미분방정식 : 중첩의 원리 또는 선형성의 원리
2.1 2계 제차 선형상미분방정식 제차 선형상미분방정식 : 중첩의 원리 또는 선형성의 원리 제차 선형상미분방정식에 대한 기본 정리 제차 선형미분방정식에 대해, 어떤 열린구간 에서 두 개의 해의 일차결합은 다시 구간 에서 다시 제차 선형미분방정식의 해가 된다. 특히, 그러한 방정식에 대해서 해들의 합과 상수곱도 다시 해가 된다. 단, 이 정리는 비제차 선형방정식 또는 비선형 방정식에서는 성립하지 않는다. Ex.2 비제차 선형상미분방정식 의 해에 대하여 생각하자. 함수 와 는 위의 방정식의 해이지만, 이들의 합은 해가 아니다. 예를 들어 나 도 해가 아니다. Ex.3 비선형상미분방정식 의 해에 대하여 생각하자. 함수 와 는 위의 방정식의 해이지만, 이들의 합은 해가 아니다. 예를 들어 도 해가 아니다.

4 초기값 문제(Initial Value Problems) : 제차 선형상미분방정식과 두 개의 초기조건으로 구성
2.1 2계 제차 선형상미분방정식 초기값 문제 초기 조건 (Initial Conditions) : 초기값 문제(Initial Value Problems) : 제차 선형상미분방정식과 두 개의 초기조건으로 구성 Ex.4 다음 방정식의 초기값 문제를 풀어라. Step 1 일반해를 구함(Ex.1에 의하여) 일반해 : Step 2 초기조건 적용 : 특수해 :

5 일반해(General Solution) :
2.1 2계 제차 선형상미분방정식 일반해(General Solution) : 구간 에서 비례하지 않는 제차방정식의 해 와 임의의 상수 을 갖는 해이다. 특수해(Particular Solution) : 일반해의 기본형태에서 에 특정한 값을 지정하면, 구간 에서 제차방정식의 특수해(particular solution)가 얻어진다. 기저(Basis of Solution) : 를 구간 에서의 제차방정식의 기저(Basis) 또는 기본계 (Fundamental System)이라고 함. 일차독립(Linearly Independent) : 구간 에서 일 때 , 이 된다 면 두 함수 와 를 구간 에서 일차 독립(Linearly Independent)이라고 한다. 일차종속(Linearly Dependent) : 적어도 하나가 0이 아닌 상수 에 대하여 식 이 성립한다면, 이 함수들을 일차 종속(Linearly Dependent)이라고 부른다

6 차수축소법(Method of Reduction of Order)
2.1 2계 제차 선형상미분방정식 차수축소법(Method of Reduction of Order) : 한 개의 해를 알고 있을 때 1계의 미분방정식으로부터 를 구할 수 있다. 제차 선형상미분방정식 : ( 주어진 미분방정식에 대입) ( 변수분리형)

7 2.1 2계 제차 선형상미분방정식 Ex. 7 다음 상미분방정식의 해의 기저를 구하라. 첫 번째 해 : 차수축소법 적용

8 (Homogeneous Linear ODEs with Constant Coefficients)
2.2 상수계수를 갖는 제차 선형상미분방정식 2.2 상수계수를 갖는 제차 선형상미분방정식 (Homogeneous Linear ODEs with Constant Coefficients) 상수계수를 갖는 2계 제차 선형상미분방정식 : 특성방정식(Characteristic Equation 또는 보조방정식, Auxiliary Eqaution) : 일반해 특성방정식 에서 경우 이면 서로 다른 두 실근 일반해 : 경우 이라면 실 이중근 일반해 : 경우 이라면 공액복소근 일반해 :

9 Ex. 5 다음의 초기값 문제를 풀어라. Step 1 일반해 Step 2 특수해 Euler 공식 : 일반해 : 초기조건을 적용
2.2 상수계수를 갖는 제차 선형상미분방정식 Ex. 5 다음의 초기값 문제를 풀어라. Step 1 일반해 일반해 : Step 2 특수해 초기조건을 적용 특수해 : Euler 공식 :

10 2.3 미분연산자(Differential Operators)
2.3 미분연산자 2.3 미분연산자(Differential Operators) 연산자(Operators) : 함수를 다른 함수로 변형하는 변환을 의미 연산자법(Operational Calculus) : 연산자와 그에 해당하는 기법을 가르친다. 미분연산자(Differential Operator) : 항등연산자(Identity Opterator) : 2계 미분연산자의 도입

11 (Modeling : Free Oscillations(Mass-Spring System))
2.4 모델화 : 자유진동(질량-용수철 시스템) 2.4 모델화 : 자유진동(질량-용수철 시스템) (Modeling : Free Oscillations(Mass-Spring System)) 기초적인 역학계인 용수철에 매달린 질량의 운동에 대해 논의한다. 계의 모형화(수식화) 및 해를 구하고 운동의 유형에 대해 논의한다. 비감쇠 시스템 역학적 질량 – 용수철 시스템 물리적 법칙 Newton의 제 2법칙 : 질량 가속도 = 힘 Hook의 법칙 : 용수철에 작용하는 힘은 용수철 의 길이의 변화에 비례한다

12 모델화 정적 평형 상태에 있는 시스템 동정인 시스템 용수철 상수 물체의 무게 : 복원력 : (Hook의 법칙)
2.4 모델화 : 자유진동(질량-용수철 시스템) 모델화 정적 평형 상태에 있는 시스템 동정인 시스템 용수철 상수 물체의 무게 : 복원력 : (Hook의 법칙) (Newton의 제 2법칙) 조화진동 :

13 감쇠 시스템 감쇠력 : 과감쇠 : 감쇠 상수(Damping Constant) (Newton의 제 2법칙)
2.4 모델화 : 자유진동(질량-용수철 시스템) 감쇠 시스템 과감쇠 : 감쇠력 : 감쇠 상수(Damping Constant) (Newton의 제 2법칙)

14 2.4 모델화 : 자유진동(질량-용수철 시스템) 임계감쇠 저감쇠

15 2.5 오일러-코시 방정식(Euler-Cauchy Equations)
2.5 오일러-코시 방정식 2.5 오일러-코시 방정식(Euler-Cauchy Equations) 오일러-코시 방정식(Euler-Cauchy Equations) : 보조방정식 : 일반해 보조방정식 에서 경우 1 서로 다른 두 실근 일반해 : 경우 2 이중근 일반해 : 경우 3 공액복소근 일반해 :

16 (Existence and Uniqueness of Solutions. Wronskian)
초기값 문제에 대한 존재성과 유일성 정리 초기값 문제 에서 와 가 어떤 열린 구간 (1.1절 참조)에서 연속함수이고, 가 구간 내에 있다면, 초기값 문제는 구간 에서 유일한 해를 갖는다.

17 Wronskian 또는 Wronski 행렬식
해의 일차종속과 일차독립 상미분방정식이 열린 구간 에서 연속인 계수 와 를 갖는다고 가정하자. 그러면 구간 에서 제차 선형상미분방정식의 두 개의 해 가 구간 에서 일차종속이 되는 필요충분조건은 그들의 Wronskian이 구간 내의 어떤 에서 0이 되는 것이다. 더욱이, 에서 이라면, 구간 에서 이다. 그러므로, 만약 가 0이 아닌 이 구간 내에 존재하면, 구간 에서 는 일차독립이다.

18 2.6 해의 존재성과 유일성. Wronskian 일반해의 존재성 와 가 어떤 열린 구간 에서 연속이면, 제차 선형상미분방정식은 구간 에서 일반해를 갖는다. 일반해는 모든 해를 포함한다. 제차 선형상미분방정식이 어떤 열린 구간 에서 연속인 계수 와 를 갖는다 면, 구간 에서 제차 선형상미분방정식의 모든 해 는 의 형태인데, 여기서 는 구간 에서 제차 선형상미분방정식의 해의 어떤 기저 를 형성하고, 는 적당한 상수이다. 그러므로, 제차 선형상미분방정식은 특이해(Singular Solution, 즉 일반해로부터 얻을 수 없는 해)를 갖지 않는다.

19 2.7 비제차 상미분방정식(Nonhomogeneous ODEs)
2.7 비제차 상미분방정식 비제차 선형상미분방정식 : 제차방정식과 비제차방정식의 해 사이의 관계 어떤 열린구간 에서 비제차방정식의 두 해의 차는 구간 에서 제차방정식의 해이다. 구간 에서의 비제차방정식의 해와 구간 에서의 제차방정식의 해의 합은 구간 에 서 비제차방정식의 해이다. 일반해 : 여기서 는 구간 에서의 제차 상미분방정식의 일반해이고 는 구 간 에서의 임의의 상수를 포함하지 않는 비제차방정식의 어떤 해이다. 2.7 비제차 상미분방정식(Nonhomogeneous ODEs)

20 미정계수법(Method of Undetermined Coefficients)
2.7 비제차 상미분방정식 미정계수법(Method of Undetermined Coefficients) 표 2.1 미정계수방법 의 항 에 대한 선택

21 2.7 비제차 상미분방정식 미정계수법에 대한 선택규칙

22 Ex. 1 다음의 초기값 문제를 풀어라. Step 1 제차 상미분방정식의 일반해 제차 상미분방정식 : 일반해 :
2.7 비제차 상미분방정식 Ex. 1 다음의 초기값 문제를 풀어라. Step 1 제차 상미분방정식의 일반해 제차 상미분방정식 : 일반해 : Step 2 비제차 상미분방정식의 특수해 Step 3 초기조건 적용 이므로

23 (Modeling : Forced Oscillations. Resonance)
2.8 모델화 : 강제진동. 공진 2.8 모델화 : 강제진동. 공진 (Modeling : Forced Oscillations. Resonance) 자유운동(Free Motion) : 외력이 없는 경우의 운동 지배방정식 : 강제운동(Forced Motion) : 외부로부터의 힘이 물체에 작용하는 경우의 운동 입력이나 구동력(Driving Force) : 출력 또는 구동력에 대한 시스템의 응답(Response) :

24 2.8 모델화 : 강제진동. 공진 주기적인 외력을 포함하는 경우 : 미정계수법에 의한 결정

25 비감쇠 강제진동 이 출력은 두 개의 조화진동의 중첩을 나타낸다. 고유주파수 : 구동력의 주파수 :
2.8 모델화 : 강제진동. 공진 비감쇠 강제진동 이 출력은 두 개의 조화진동의 중첩을 나타낸다. 고유주파수 : 구동력의 주파수 : 공진(Resonance) : 입력주파수와 고유주파수가 정합됨으로써( ) 발생하는 큰 진동의 여기현상

26 맥놀이(Beats) : 입력주파수와 고유주파수의 차가 적을 때의 강제 비감쇠진동
2.8 모델화 : 강제진동. 공진 맥놀이(Beats) : 입력주파수와 고유주파수의 차가 적을 때의 강제 비감쇠진동

27 감쇠강제진동 과도해(Transient Solution) : 비제차 방정식의 일반해( )
2.8 모델화 : 강제진동. 공진 감쇠강제진동 과도해(Transient Solution) : 비제차 방정식의 일반해( ) 정상상태해(Steady-State Solution) : 비제차 방정식의 특수해( ) 과도해는 정상상태해로 접근한다. 실제적 공진 : 비감쇠의 경우 가 에 접근할 때 의 진폭이 무한대로 접근 하는 반면에, 감쇠의 경우에는 이와 같은 현상은 발생하지 않는다. 이 경우에는 진폭은 항상 유한하나, 에 의존하는 어떤 에 대해 최대값을 가질 수 있다. 의 진폭( 의 함수로 표현) : 의미 일 때 는 유한하다는 것을 알 수 있다. 일 때 이기 때문에, 의 값은 가 감소함에 따 라 증가하고 가 0에 접근함에 따라 무한대로 접근한다.

28 2.9 모델화 : 전기회로(Modeling : Electric Circuits)
< 저항, 유도기, 축전기를 이용한 RLC 회로 > < RLC 회로의 각 구성요소를 통한 전압강하 >

29 Kirchhoff의 전압법칙(KVL): 폐루프 위에 부여된 전압(기전력)은 루프의 다른 요소들 양단의 전압 강하의 합과 같다.
2.9 모델화 : 전기회로 Kirchhoff의 전압법칙(KVL): 폐루프 위에 부여된 전압(기전력)은 루프의 다른 요소들 양단의 전압 강하의 합과 같다. 전압법칙을 적용한 모델화 형태의 기전력 : 리액턴스(Reactance) : 임피던스(Impedance) :

30 전기량과 역학량의 상사성 완전히 다른 물리적 시스템이나 서로 다른 시스템이 같은 수학적인 모델을 가질 수 있다.
2.9 모델화 : 전기회로 전기량과 역학량의 상사성 완전히 다른 물리적 시스템이나 서로 다른 시스템이 같은 수학적인 모델을 가질 수 있다. 상사성의 실제적 중요성 : 전기회로를 조립하기 쉽고, 전기적인 양은 기계적인 것에 비하여 훨씬 빠르고 정확하게 측정될 수 있다. 전기 시스템 역학 시스템 인덕턴스 L 저항 R 커패시턴스의 역수 기전력의 미분값 전류 질량 m 감쇠계수 c 용수철 상수 k 구동력 변위 < 전기량과 역학량의 상사성 >

31 (Solution by Variation of Parameters)
2.10 매개변수의 변환에 의한 풀이 2.10 매개변수의 변환에 의한 풀이 (Solution by Variation of Parameters) 매개변수 변환법(Method of Variation of Parameter) 매개변수 변환법은 단지 특별한 우변을 가지는 상계수 방정식에만 적용된다. 일반적이나 복잡하다. 어떤 구간 에서 연속인 임의의 변수 을 갖는 미분방정식 에 적용된다 반드시 표준형으로 쓰여진 미분방정식에 적용한다. 만약 방정식이 으로 시작한다면 로 나누어라. 공식 :

32 Ex. 1 다음의 비제차 상미분방정식을 풀어라. 제차 상미분방정식의 해의 기저 : Wronskian : 매개변수변환법 적용
2.10 매개변수의 변환에 의한 풀이 Ex. 1 다음의 비제차 상미분방정식을 풀어라. 제차 상미분방정식의 해의 기저 : Wronskian : 매개변수변환법 적용 일반해 :

33 비제차상미분방정식의 특수해 : ⇒ 주어진 비제차상미분방정식에 대입 조건 : 정리하여 얻어진 식 : 방법상의 아이디어
2.10 매개변수의 변환에 의한 풀이 방법상의 아이디어 제차상미분방정식의 일반해 : 비제차상미분방정식의 특수해 : ⇒ 주어진 비제차상미분방정식에 대입 조건 : 정리하여 얻어진 식 :