Modified Sturm Sequence Property for Damped Systems

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1 Modified Sturm Sequence Property for Damped Systems
2001년 대한토목학회 학술발표회 Modified Sturm Sequence Property for Damped Systems 안녕하십니까. 이인원 교수님으로부터 소개받은 박사과정 학생 조지성입니다. 오늘 발표드릴 중간발표논문 제목은 “감쇠시스템을 위한 개선된 Sturm 수열 성질 ”입니다. 조지성*: 한국과학기술원 토목공학과 박사과정 고만기 : 공주대학교 토목공학과 교수 이인원 : 한국과학기술원 토목공학과 교수 Structural Dynamics & Vibration Control Lab.

2 Modified Sturm Sequence Property for Damped Systems
 Objective To develop an efficient technique for checking missed eigenpairs of a non-proportionally damped system  Proposed Method Modified Sturm Sequence Property for Damped Systems Complex eigenvalue problem Chen’s algorithm Characteristic polynomial 따라서 본 연구의 목적은 비비례 감쇠시스템에 적용할 수 있는 효율적인 누락된 고유치의 검사기법을 개발하는 것입니다. Gleyse’s theorem Check the number of eigenvalues inside some open disks Structural Dynamics & Vibration Control Lab.

3 Structural Dynamics & Vibration Control Lab.
Modified Sturm Sequence Property for Damped Systems Complex Eigenvalue Problem - Standard form Chen’s Algorithm (similarity transformations) 복소고유치문제는 앞에서 보신 식(8)과 같이 나타낼 수 있는데 이식에 파이틸데라는 새로운 벡터를 도입하면 기존의 고유치 해석을 수행할 수 있는 선형화된 식으로 변형됩니다. 그리고 이식에서 우측의 [ C M M 0]행렬의 역행렬을 각각 곱하면 식 (10)과 같은 표준화된 고유치문제로 변형됩니다. Structural Dynamics & Vibration Control Lab.

4 Gleyse’s Theorem - Characteristic polynomial - Schur Cohn matrix T:
Modified Sturm Sequence Property for Damped Systems Proposed Method Gleyse’s Theorem - Characteristic polynomial - Schur Cohn matrix T: 다음으로 Gleyse의 정리를 말씀드리겠습니다. Gleyse의 정리는 특성다항식이 식(14)와 같이 정해졌을 때 아래 그림과 같이 복소평면에서 반경이 1인 원안에 존재하는 고유치의 개수를 구할 수 있는 정리로써 그 계산식은 다음과 같습니다. Structural Dynamics & Vibration Control Lab.

5 Structural Dynamics & Vibration Control Lab.
Modified Sturm Sequence Property for Damped Systems Proposed Method The number of eigenvalues inside an unit open disk (14) N : the number of eigenvalues inside an unit open disk 2n : degree of the characteristic polynomial P S[1, d1, d2, ···, d2n]: the number of sign changes in the sequence (1, d1, d2,···, d2n) - Calculation of di 다음으로 Gleyse의 정리를 말씀드리겠습니다. Gleyse의 정리는 특성다항식이 식(14)와 같이 정해졌을 때 아래 그림과 같이 복소평면에서 반경이 1인 원안에 존재하는 고유치의 개수를 구할 수 있는 정리로써 그 계산식은 다음과 같습니다. Structural Dynamics & Vibration Control Lab.

6 Structural Dynamics & Vibration Control Lab.
Modified Sturm Sequence Property for Damped Systems Numerical Examples  Numerical Example Simple Spring-Mass-Damper System 1 2 10 k k m m m Mass: m = Stiffness: k = 1.0 Rayleigh damping:  = 0.05,  = 0.05 - Exact eigenvalues 먼저 심플 스프링 매스 댐퍼 시스템에 대한 내용입니다. 시스템 행렬들은 다음과 같습니다. Structural Dynamics & Vibration Control Lab.

7 Structural Dynamics & Vibration Control Lab.
Modified Sturm Sequence Property for Damped Systems Numerical Examples - Radius  = 1.005| 18| i dii sign(di) S e e e e e e e e e e i dii sign(di) S e e e e e e e e e e 1 2  = 18 Structural Dynamics & Vibration Control Lab.

8 Structural Dynamics & Vibration Control Lab.
Modified Sturm Sequence Property for Damped Systems Conclusions  Conclusion The proposed method is more effective than the previous methods for checking missed eigenpairs of damped systems !! 최종적으로, 본 연구의 결론을 말씀드리겠습니다. Structural Dynamics & Vibration Control Lab.