3. 2차원 운동학 ; 벡터 © 2014 Pearson Education, Inc..

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1 3. 2차원 운동학 ; 벡터 © 2014 Pearson Education, Inc.

2 3장 내용 3.1 벡터와 스칼라 3.2 벡터의 덧셈-그림 방법 3.3 벡터의 뺄셈과 스칼라와 벡터의 곱셈
3.4 벡터 성분의 덧셈 3.5 포물체 운동 3.6 포물체 운동 문제 풀이 3.7 포물체운동 경로는 포물선 3.8 상대 속도 © 2014 Pearson Education, Inc.

3 3장 주요용어 벡터양(vector quantity) 성분(component) 스칼라양(scalar quantity)
3장 주요용어 . 벡터양(vector quantity) 성분(component) 스칼라양(scalar quantity) 포물체 운동(projectile motion) 합성 변위(resultant displacement) 수평 거리(horizontal range) 합성(resultant) 상대 속도(relative velocity) 벡터의 두미 연결 덧셈법(tail-to-tip method of adding vectors) 평행사변형법(parallelogram method)

4 3-1 벡터와 스칼라 벡터는 크기와 방향을 가진다. 스칼라는 크기만 가진다. 예) 변위, 속도, 힘, 운동량
예) 질량, 시간, 온도 속도의 축적 © 2014 Pearson Education, Inc.

5 3-2 벡터 덧셈 — 그림기법 1차원 벡터의 간단한 덧셈과 뺄셈이 전부이다. 그림에 나타낸 것처럼 부호를 주의 해야 한다.
결과 1차원 벡터의 간단한 덧셈과 뺄셈이 전부이다. 그림에 나타낸 것처럼 부호를 주의 해야 한다. © 2014 Pearson Education, Inc.

6 2차원에서의 운동이라면, 상황은 약간 복잡하다. 여기서, 실제로 운동한 경로는 서로 직각을 이룬다; 피타고라스의 정리를 사용하여 총 변위를 구할 수 있다.
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7 벡터를 역순으로 더해도 결과는 같다: © 2014 Pearson Education, Inc.

8 벡터가 서로 직각이 아니라도 ‘두미기법(tail-to-tip)’ 으로 더할 수 있다.
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9 평행사변형법을 사용할 수도 있다; 이때도 아니라도 ‘두미기법“tail-to-tip” 을 사용해야 한다.
틀림 © 2014 Pearson Education, Inc.

10 3-3 벡터 뺄셈과 벡터와 스칼라의 곱셈 벡터 뺄셈을 하기 위해서, 음(-)의 벡터를 정의 한다.
벡터 뺄셈을 하기 위해서, 음(-)의 벡터를 정의 한다. 음(-) 벡터; 크기는 같지만 반대방향을 가리킨다. 그리고 나서 음의 벡터를 더한다. © 2014 Pearson Education, Inc.

11 벡터 𝐕 와 스칼라 c의 곱셈; 결과 c 𝐕 는 같은 방향이지만 크기가 cV 이다.
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12 3-4 벡터의 성분 덧셈 어떠한 벡터이든 성분이라 부르는 다른 두 벡터의 합으로 표시할 수 있다. 보통은 두 성분이 서로 수직이 되도록 택한다. 𝒚 성분 𝒙 성분 © 2014 Pearson Education, Inc.

13 성분이 서로 수직이면 삼각함수를 사용하여 성분을 구할 수 있다.
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14 성분들은 효과적으로는 1차원이라서 산술적으로 더할 수 있다. :
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15 sin 과 cos 을 사용하여 각 성분을 계산하여라. 각 방향을 더하여라 다음 식으로 결과 벡터의 크기와 방향을 구하여라:
벡터 덧셈: 그림을 그리고 그림기법으로 더하라. x 축과 y 축을 선택하여라. 각 벡터를 x 성분과 y 으로 분해하여라. sin 과 cos 을 사용하여 각 성분을 계산하여라. 각 방향을 더하여라 다음 식으로 결과 벡터의 크기와 방향을 구하여라: (3-4a) (3-4b) © 2014 Pearson Education, Inc.

16 예제 우편배달부의 변위 우편배달부가 우체국을 출발하여 북쪽으로 22.0 km를 운전하고 방향을 동남쪽 60.0° 방향으로 47.0 km를 운전하였다(그림 3.15a). 우편배달부의 변위는 우체국으로부터 얼마인가? © 2014 Pearson Education, Inc.

17 ∴ 𝜃= tan −1 −0.796 =−38.5 ° © 2014 Pearson Education, Inc.

18 예제 3.2 세 개의 짧은 여행 그림 3.16a는 어떤 비행기가 중간에 2개 기착지 공항을 거쳐서 목적지 까지 가는 여정을 보여 준다. 첫 공항까지는 동쪽으로 620 km, 둘째 공항 까지는 동남쪽 45°방향으로 440 km, 그리고 목적지까지는 서남쪽 53° 방향으로 550 km를 비행하였다. 비행기의 전체 변위는 얼마인가? © 2014 Pearson Education, Inc.

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21 3-5 포물체 운동 포물체는 지구 중력의 영향을 받으며 2차원에서 운동하는 물체이다; 포물체의 경로는 포물선이다.
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22 포물체 운동을 수평 운동과 수직 운동으로 분리해서 이해할 수 있다.
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23 x-방향의 속력은 일정하고 ; y-방향의 물체 운동은 등가속도 g 인 운동이다
x-방향의 속력은 일정하고 ; y-방향의 물체 운동은 등가속도 g 인 운동이다. 사진은 두 공이 종시에 떨어지기 시작한 것을 보인다. 오른 쪽에서 하나는 x-방향의 초속력이 있다. 같은 시간에 수직위치가 같음을 다. 노랑공의 수평위치는 일정하게 증가한다. © 2014 Pearson Education, Inc.

24 수평방향과 θ0 의 각으로 물체를 발사하면, 초기속도의 수직성분이 있는 것 외에는 분석하는 게 비슷하다.
이점에서 𝐕 =𝟎 이다. © 2014 Pearson Education, Inc.

25 3-6 포물체 운동의 문제 풀이 © 2014 Pearson Education, Inc.

26 포물체 운동은 아래 방향의 가속도가 g 인 2차원의 등가속도운동이다.
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27 문제를 주의해서 읽고 분석하려는 물체를 택하라. 도표를 그려라. 원점과 좌표계를 선택하여라.
시간 간격을 정하라. 두 방향에서 이것을 모두 하여라. 물체가 등가속도 g로 운동한 시간만 고려하여라. 𝑥 방향운동과 y 방향 운동을 분리해서 설명하여라. © 2014 Pearson Education, Inc.

28 값이 주어진 변수와 미지수를 나열하여라. vx 는 변하지 않고 최고점에서 vy = 0임을 기억하여라.
어떻게 풀 것인지 생각해보아라. 적합한 방정식을 사용하여라. 그들 중 몇 식을 결합하여라. © 2014 Pearson Education, Inc.

29 예제 오토바이 타고 절벽에서 뛰어내리기 스턴트맨이 오토바이를 타고 50.0 m 높이의 절벽 끝을 향해 수평 방향으로 달려나가서 절벽 밑에서부터 90.0 m 떨어진 곳에 착지하려고 한다. 절벽을 떠날 때 오토바이는 얼마의 속도여야 하는가? 공기 저항은 무시하라. © 2014 Pearson Education, Inc.

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32 예제 3.4 발로 찬 축구공 발로 찬 축구공이 그림 3.22에서 보는 바와 같이 속도 20.0 m/s로 각도 𝜃 0 = 37.0°를 이루며 땅에서 날아오른다. 최고 도달 높이 축구공이 땅에 떨어질 때까지 걸린 시간과 날아간 수평 거리를 구하라. 공은 땅과 같은 높이에서 날아오른다고 가정하며 공기 저항과 공의 회전을 무시한다. 그림 3.22 © 2014 Pearson Education, Inc.

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35 𝑅= 𝑣 0𝑥 𝑡= 𝑣 𝑥0 2 𝑣 𝑦0 𝑔 = 2 𝑣 𝑥0 𝑣 𝑦0 𝑔 = 2 𝑣 0 2 𝑠𝑖𝑛𝜃 cos 𝜃 𝑔
수평 도달 거리 𝑅 : 포물체의 운동은 𝑦 0 = 0에서 시작해서 𝑦=𝑦 0 에서 끝난다 (그림 3.23a). 예제 3.4의 (c)에서 𝑥=𝑅= 𝑣 0𝑥 𝑡 이었다. 이때 𝑡=2 𝑣 𝑦0 /𝑔 이다. 따라서 𝑅= 𝑣 0𝑥 𝑡= 𝑣 𝑥 𝑣 𝑦0 𝑔 = 2 𝑣 𝑥0 𝑣 𝑦0 𝑔 = 2 𝑣 0 2 𝑠𝑖𝑛𝜃 cos 𝜃 𝑔 𝑅= 𝑣 0 2 sin 2𝜃 𝑔 최대 수평 거리는 sin 2𝜃 가 최댓값인 1.0일 때, 즉 2𝜃 = 90°이고, 최대 수평 거리는 2𝜃 = 45°일 때, 𝑅 max = 𝑣 0 2 /𝑔 © 2014 Pearson Education, Inc.

36 예제 3.5 포탄의 수평 거리 나폴레옹 군대가 쏜 대포의 포구 속력이 𝑣 0 = 60.0 m/s 이었다고 가정할 때 320 m 떨어진 목표물을 타격하기 위해 대포는 얼마의 각도로 목표물을 조준해야 하는가? (공기 저항은 무시한다.) ∴ 𝜃 0 =60.6°, ° ※2 sin 𝜃 0 =1 곧 𝜃 0 =45° 이면 해가 하나이지만 나머지는 해가 둘이다. © 2014 Pearson Education, Inc.

37 3-7 포물체 운동 경로는 포물선이다. 포물체 운동 경로는 포물선임을 보여주기 위해서는 곧 y = Ax – Bx2 로 나타내야 한다. 𝑥 = 𝑣 𝑥0 𝑡 𝑦= 𝑣 𝑦0 𝑡 − 1 2 𝑔 𝑡 2 𝑦= 𝑣 𝑦0 𝑣 𝑥0 𝑥 − 𝑔 2 𝑣 𝑥0 2 𝑥 2 포물선 방정식이다. © 2014 Pearson Education, Inc.

38 3-8 상대속도 이미 1차원에서 상대속력을 살펴 보았다; 벡터인 속도를 더하고 빼는 것을 제외하면 1차원의 경우와 비슷하다. 속도의 첫 첨자는 물체를 두 번째 첨자는 기준틀로 나타낸다. (다음 예 참조) © 2014 Pearson Education, Inc.

39 예를 들면 제방에 대한 물의 속도는 𝑉 𝑊𝑆 , 제방에 대한 배의 속도 𝑉 𝐵𝑆 , 그리고 물을 기준계로 한 배의 속도 𝑉 𝐵𝑊 로 나타내면 이들 사이의 관계는 .
𝑉 𝐵𝑆 = 𝑉 𝐵𝑊 + 𝑉 𝑊𝑆 (3-7) © 2014 Pearson Education, Inc.

40 3장 요약 크기와 방향을 갖는 양은 벡터이다. 크기는 있으나 방향이 없으면 스칼라이다.
벡터는 그림으로 그리거나 성분 분해를 이용해 더할 수 있다. 합은 결과벡터 또는 합벡터라 한다. 포물체운동은 중력의 영향을 받아 지표 근처에서 일어난 물체의 운동이다. © 2014 Pearson Education, Inc.