Statistics Prof. Seewhy Lee.

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1 Statistics Prof. Seewhy Lee

2 Agenda 1. Why Statistics? 2. Statistics Basic 3. 이산확률분포 4. 이항분포
5. 연속확률분포 6. Poisson 분포 7. 지수확률분포 8. 큐잉 이론 9. 정규분포 Agenda

3 1. Why Statistics?

4 주정뱅이들의 고민

5 어떤 날은 피곤하고 어떤 날은 괜찮아~! 어떤 날이 피곤한 걸까??

6 통계학을 열심히 공부하여 그는 중요한 결론에 도달하였다!

7 술 마신 다음날은 피곤하다!

8 2. Statistics Basic

9 대수의 법칙 (The Law of Large Numbers): 충분히 많이 시행하면 수학적 평균값에 수렴한다.
몇 가지 전제(Premise) 대수의 법칙 (The Law of Large Numbers): 충분히 많이 시행하면 수학적 평균값에 수렴한다. Iid = independently and identically distributed (시행의 결과는 서로 독립적이고 동등하게 분포) Ergodicity: 1개 N회 시행 = N개 1회 시행

10 σ = 표준편차(Standard Deviation)
Glossary 돗수(Frequency) 평균(Mean) 분산(Variance) σ = 표준편차(Standard Deviation)

11 A Quiz 동전 두 번 던져 1회는 그림(1), 1회는 숫자(0). 평균과 분산은?

12 3. Discrete Probability Distribution

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14 A Simple Example 11 ?? Draw (x, p) Graph Calculate m and σ

15 4. Binomial Distribution

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17 An Example 어느 선수가 슛을 해서 골인 확률이 0.1 이 선수가 어느 경기에서 세 번 슛
0골, 1골, 2골, 3골 확률을 구하고 평균과 표준편차 계산

18 5. Continuous Probability Distribution

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20 예제

21 6. Poisson Distribution

22 푸아송 분포 이항분포에서 단일확률은 p→ 0 시행횟수는 매우 큼 n → ∞ 사건이 일어나는 평균값은 m = np
사건이 x번 일어날 확률분포 = 푸아송분포 겁먹을 필요 없음 ㅎㅎ

23 적용 사례 화소 한 개 불량 확률은 거의 제로 천만 화소 액정 패널이 불량일 확률 = 2%
수율 = 98% 화소 한 개 불량 확률은 거의 제로 천만 화소 액정 패널이 불량일 확률 = 2% 매년 운전자 1인 사고사망 확률은 거의 제로 만명 운전자 중 평균 사고사망자 수 = 5명

24 어느 지역에서 하루 평균 5명의 응급환자가 발생한다. 이 지역에서 어느 날 10명의 응급환자가 발생할 확률은?
100개 중 2개 비율로 불량. 불량이 세 개 이하일 확률은?

25 7. Exponential Distribution

26 시간 t ~ t + dt 사이에 사망할 확률은 규격화 확인: 시간 0~ t 사이에 사망 확률: 시간 t 이후에 사망할 확률 = 시간 t 까지 살아있을 확률 =

27 전화가 걸려오고 난 후 시간 t 안에 다음 전화가 걸려올 확률
제품의 수명 → 무상 A/S 기간의 결정 사망 시기 → 보험금 결정

28 Example 1 보험 계약 후 해지 확률이 지수확률밀도함수라고 가정 1년 내 해지 확률이 70% 5년 내 해지할 확률은?
계약자의 99.8%가 5년 안에 해지 5년 이후에는 해지해도 원금 돌려준다고 광고  매우 매력적으로 보임 5년 이후에 해지하여 원금 돌려받는 사람은 0.2%에 불과함

29 Example 2 조삼모사 수리를 요구하는 제품의 25%만 무상 A/S 해 주라는 회장님의 지시
제품이 고장나는 시기를 조사했더니 평균 10개월 무상 A/S 기간을 얼마로 해야 하는가? 제품의 25%가 2.9개월 안에 고장 제품의 75%는 2.9개월 이후에 고장 3개월까지는 무상 A/S라고 광고 실제로는 75%에게 무료 A/S 안해준다는 뜻 조삼모사

30 8. Queuing Theory

31 Jane Austin ( )

32 기다릴 때 사람들은 시간에 대해 제대로 판단하지 못한다.

33 Prescription 아무것도 하지 않고 기다리는 시간은 뭔가를 하면서 기다리는 시간보다 길게 느껴진다 > 은행이나 미용실에 잡지 비치함. 초조하면 기다리는 시간이 길게 느껴짐. --> 마음이 편해지는 음악은 도움을 줌 끝이 어디인지 모르는 기다림은 아는 기다림보다 길게 느껴진다. --> 번호표를 뽑게 한다든가 전방 몇 km 정체라든가 대기시간은 몇 분이라든가 알려준다. 불공평하다고 여겨지는 기다림은 더 길게 느껴진다. --> 한 줄로 서기는 위대한 발명품! 상황 설명이 없는 기다림은 더 길게 느껴진다. --> 기다림에 대한 이유를 설명

34 서버 가동률 100% Idle Time = 0 Queuing Delay = ∞

35 장사하자 (하찌와 TJ)

36 The Most Common Distribution
9. 정규분포 The Most Common Distribution

37 Probability Density Bell-Shaped Normal Distribution
Gaussian Distribution

38 Parameter Meaning x Random Variable f Probabiliy Density μ Mean σ2 Variance σ Standard Deviation 1/σ Precision

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40 Probability / Normalization

41 Standard Normal Distribution
Zero Mean Unit Variance

42 표준정규분포표 (p.398)

43 Three-Sigma Limits 1 이상 벗어나기: 세 번에 한 번 2 이상 벗어나기: 스무 번에 한 번
3 이상 벗어나기: 사백 번에 한 번

44 표준화 (Standardization)
정규분포 X : 평균 m, 표준편차 σ 표준정규분포 Z : 평균 0, 표준편차 1

45 =NORMDIST(x, mean, standard_dev, cumulative)
Using Excel =NORMDIST(x, mean, standard_dev, cumulative)

46 Example 1 철판을 제조하는데 그 두께가 m=10mm, σ=0.02mm의 정규분포를 보인다.
(a) 판의 두께 9.97mm 이하를 불량으로 할 때, 불량품의 비율은? (b) 판의 두께 10.05mm 이상을 불량으로 할 때, 불량품의 비율은? (c) 판의 두께가 10mm로부터 0.03mm 벗어나는 비율은? (d) m+c와 m-c 사이를 합격품. 불량품의 비율을 5%가 되게 하려면 c는?

47 철판을 제조하는데 그 두께가 m=10mm, σ=0.02mm의 정규분포를 보인다.
(a) 판의 두께 9.97mm 이하를 불량으로 할 때, 불량품의 비율은? (b) 판의 두께 10.05mm 이상을 불량으로 할 때, 불량품의 비율은? (a) (b)

48 철판을 제조하는데 그 두께가 m=10mm, σ=0.02mm의 정규분포를 보인다.
(c) 판의 두께가 10mm로부터 0.03mm 벗어나는 비율은? (c)

49 (d) 철판을 제조하는데 그 두께가 m=10mm, σ=0.02mm의 정규분포를 보인다.
(d) m+c ~ m-c 사이를 합격품. 불량품의 비율을 5%가 되게 하려면 c는? (d)

50 박카스 CF – 첫 출근 편

51 Example 2 사람으로부터 센서까지의 거리가 m=30cm, σ=5cm의 정규분포를 보인다.
m+c와 m-c 사이를 90%가 되게 하려면 c는?

52 어느 과수원에서 수확되는 사과의 무게가 m=500gr, σ=50gr의 정규분포를 보인다.
Example 3 어느 과수원에서 수확되는 사과의 무게가 m=500gr, σ=50gr의 정규분포를 보인다. 상위 33%를 우등품으로 판매하려고 한다. 몇 그램 이상의 사과를 우등품으로 해야 하는가?

53 Example 4 백만명 도시 일인당 월별 소득 분포가 m=150만원, σ=50만원의 정규분포.
하위 20%에게 20만원의 지원을 하려고 한다. 매달 얼마가 필요한가? 일단 인 z 값을 찾아야 한다. 즉, 인 z 값을 찾아야 한다. 실제로는 이딴 계산 할 필요 없다. 공약하고 당선된 다음 안 지키면 된다!

54 Binary | Normal

55 Summary 평균/ 분산 / 표준편차 이산확률분포 이항분포 연속확률분포 / 확률밀도함수 푸아송분포 지수확률분포 정규분포

56 Thanks! Prof. Seewhy Lee