8장 운동량과 충돌 ( Momentum and Collisions)

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1 8장 운동량과 충돌 ( Momentum and Collisions)

2 선운동량의 도입 질량 m1, m2로 구성된 고립계를 고려한다. 각각의 입자에 뉴턴의 2법칙을 적용하면 2

3 선운동량의 도입: 정의 선운동량(linear momentum) : 속도 v로 움직이는 질량 m인 입자 또는 물체의 질량과 속도의 곱으로 정의한다. (벡터량) 단위: 뉴턴의 제2법칙의 일반형: 시간에 따라 질량이 변하는 경우 뉴턴의 제2법칙의 특수형: 시간에 따라 질량이 변하지 않는 경우 3

4 분석모형: 고립계의 운동량 운동량의 정의를 이용하여 두 입자계에 외력이 없으면 운동량 보존을 얻을 수 있다. 우주 U 환경 E
계 S 우주 U 환경 E 에너지 두 입자계의 총 운동량은 입자 각각의 운동량의 합이다. 운동량 고립계에 있는 두 개 이상의 입자가 상호작용할 때, 이들 계의 전체 운동량은 항상 일정하며 보존된다. 4

5 분석모형: 비고립계의 운동량 –충격량(Impulse)
계에 운동량을 전달하는 방법은 충격에 의한 것이다. 에너지 운동량 충격량(impulse)의 정의: (벡터량) 단위: 입자에 힘을 가하여 충격을 주면 입자의 운동량이 변한다. 5

6 분석모형: 비고립계의 운동량 –충격량(Impulse)
충격량-운동량 정리: 비고립계에서 운동량 보존식이며, 힘을 통해 입자에 충격량을 전달하면 입자의 운동량이 변한다. 여러 물리적 상황에서 물체에 가해지는 충격력에 관심이 있을 경우, 평균 충격력을 사용한다. (자동차 충돌시 탑승자는 에어백이 있든 없든 동일한 충격량을 받는다. 그 때 탑승자에게 충격량을 받는 시간이 길수록 더 작은 평균힘이 가해진다.) 작용하는 힘이 일정한 경우 충격량 근사: 매우 짧은 시간 동안에 일어나는 충돌시 충격력이 매우 클 때 유용한 근사로서 충격력 이외의 힘은 무시한다. 6

7 일차원 충돌 충돌(collision): 두 입자가 대단히 짧은 시간 동안 힘을 통해 상호작용하는 현상
고립계 내의 물리적 충돌에서 운동량은 항상 보존된다. 즉, 충돌시 운동에너지는 일반적으로 보존되지 않고 내부에너지로 변환될 수 있다. 탄성 충돌: 계의 운동에너지까지 보존된다. 비탄성 충돌: 계의 운동에너지가 보존되지 않는다. – 추가적인 정보가 필요 완전 비탄성 충돌: 두 물체가 충돌 후 붙어버리는 운동에너지가 최대로 내부에너지로 변환된다. 7

8 일차원 충돌: 완전 비탄성 충돌 완전 비탄성 충돌: 비탄성 충돌의 특수한 경우로서, 두 물체가 충돌 후 붙어버리는 현상으로 운동에너지가 최대로 내부에너지로 변환된다. (충돌 전) (충돌 후) 예제 8.5 완전 비탄성 충돌에서 처음 운동 에너지 중 최대의 에너지가 다른 형태로 변환된다고 주장한다. 이런 주장을 두 입자의 일차원 충돌 문제에서 수학적으로 증명하라. 8

9 일차원 충돌: 탄성 충돌 -상대속도 탄성 충돌: 두 입자의 충돌과정에서 운동량뿐 아니라 운동에너지까지 보존되는 충돌 현상
(탄성 충돌에서는 충돌 전후의 상대속력은 같고 방향은 반대이다.) 9

10 일차원 충돌: 탄성 충돌 –충돌 후 속도 10

11 일차원 충돌: 탄성 충돌 – 특수한 경우 흥미롭고 유용하게 사용할 수 있는 특수한 경우들 :
우라늄 같은 무거운 원자가 정지해 있는 가벼운 수소원자를 때릴때와 같은 현상 가벼운 구슬이 무거운 볼링공을 때릴 때와 같은 현상 11

12 예제 8.8 용수철이 개입된 두 물체의 충돌 그림처럼 마찰이 없는 수평면에서 오른쪽으로 4.00 m/s의 속력으로 움직이는 질량 m1=1.60 kg인 물체 1이 왼쪽으로 2.50 m/s의 속력으로 움직이는 용수철이 달린 질량 m2=2.10 kg인 물체 2와 충돌한다. 용수철 상수는 600 N/m이다. (A) 충돌 후 두 물체의 속도를 구하라. 탄성력은 보존력이고 마찰이 없으므로 이 경우 운동에너지의 내부에너지로의 변환이 없다. 그러므로 탄성충돌이다. (m1+m2)계에 알짜 외력이 가해지지 않으므로 탄성충돌이므로 운동에너지가 보존된다. 12

13 예제 8.8 용수철이 개입된 두 물체의 충돌 그림처럼 마찰이 없는 수평면에서 오른쪽으로 4.00 m/s의 속력으로 움직이는 질량 m1=1.60 kg인 물체 1이 왼쪽으로 2.50 m/s의 속력으로 움직이는 용수철이 달린 질량 m2=2.10 kg인 물체 2와 충돌한다. 용수철 상수는 600 N/m이다. (B) 충돌 도중 물체 1이 그림과 같이 오른쪽으로 속도 3.00m/s로 움직이는 순간 물체 2의 속도를 구하라. 충돌 중간에도 운동량 보존은 성립한다. (C) 그 순간 용수철이 압축된 거리를 구하라. 역학적 에너지 보존을 적용하면 13

14 이차원 충돌 2차원에서 충돌과 운동량 보존: 고립계의 총 운동량은 각각의 방향에서 보존된다. m2 가 초기에 정지해 있는 경우
(충돌 전) 충돌이 탄성충돌이면 운동에너지까지 보존된다. m1 = m2 일 때 (충돌 후) 14

15 예제 8.10 교차로에서 충돌 그림에서와 같이 1500 kg인 승용차가 25.0 m/s의 속력으로 동쪽으로 달리다가 북쪽으로 20.0m/s의 속력으로 달리는 2500kg인 트럭과 교차로에서 충돌했다. 충돌 후 두 자동차의 속도의 크기와 방향을 구하라. 두 자동차는 충돌 후에 서로 붙어 있다고 가정한다. 충돌 후 서로 붙어 운동하므로 완전 비탄성충돌이다. 15

16 질량중심(center of mass) 둘 이상의 입자로 이루어진 계를 하나의 입자로 다룰 수 있도록 해준다.
계의 모든 질량이 그 점에 모인 것처럼, 외력이 그 점에만 작용하는 것처럼 취급할 수 있는 가상의 점이다. 16

17 질량중심(center of mass) 수학적으로 질량중심은 계의 질량의 평균위치를 말하며 그 위치는 좌표계에 의존한다.
두 입자로 이루어진 1차원 계의 경우 여러 개의 입자로 이루어진 3차원 계의 경우 17

18 예제 8.11 세 입자의 질량중심 계는 그림과 같이 위치하는 세 입자로 이루어져 있다. 계의 질량 중심을 구하라. (단, 입자의 질량은 m1=m2=1.0 kg, m3=2.0 kg이다.) 18

19 질량중심(center of mass) 질량의 분포가 연속적인 경우 19

20 예제 8.12 막대의 질량 중심 (A) 질량이 M이고, 길이가 L인 막대의 질량 중심은 양끝 사이의 중간에 있음을 보여라. 단, 막대의 단위 길이당 질량이 균일하다고 가정한다. (B) 만일 막대가 균일하지 않아서 단위 길이당 질량이 (a는 상수)로 변할 때, 질량 중심의 x 좌표를 L값으로 구하라. 20

21 질량중심(center of mass): 기하학적 방법
대칭성을 갖고 있는 물체의 질량 중심은 대칭축과 대칭면 위에 놓인다. 모양이 불규칙한 물체의 질량중심을 결정하기 위한 실험적 방법 물체에 작용하는 중력의 알짜 효과는 무게 중심(center of gravity)이라 하는 한 점에 작용하는 단일 힘 Mg의 효과와 같다. – 알짜토크가 0인 점 g가 위치에 무관하게 일정하다면, 중력 중심은 질량 중심과 일치한다. 21

22 다입자계 운동: 질량중심 운동 둘 이상의 입자로 이루어진 계를 하나의 입자로 다룰 수 있도록 해준다.
계의 모든 질량이 그 점에 모인 것처럼, 외력이 그 점에만 작용하는 것처럼 취급할 수 있는 가상의 점이다. (계의 전체 운동량은 질량 M인 단일 입자가 질량중심의 속도로 움직이는 것과 같다.) (알짜 외력을 받아 운동하는 질량 M인 계의 질량중심은 같은 힘을 받는 질량 M인 입자 한 개의 운동과 같다.) 22

23 다입자계 운동 외력과 질량중심의 가속도 식의 양변을 유한한 시간간격에서 적분하면
(입자에 대한 충격량-운동량 정리의 다입자계로의 일반화) 알짜 외력이 0이면 다입자계의 전체 운동량도 항상 보존된다. 23

24 예제 8.13 로켓의 폭발 로켓이 연직으로 발사되어 고도 1000 m, 속력 vi=300 m/s에 도달했을 때 폭발해서 질량이 같은 세 조각으로 쪼개졌다. 폭발 후 한 조각은 v1=450 m/s의 속력으로 위쪽으로 움직이고, 다른 한 조각은 폭발 후 동쪽으로 v2=240 m/s의 속력으로 움직인다면, 폭발직후 세 번째 조각의 속도를 구하라. 폭발로 인해 붕괴하는 완전 비탄성 충돌의 역이다. 폭발 직전과 직후에 운동량 보존을 적용할 수 있다. 충격량 근사를 이용하여 폭발 직전과 직후, 중력에 의한 외력은 무시한다. 24

25 연결주제: 로켓 추진 우주 공간 또는 관성계에서의 추진을 고려하자. 운동량 보존 법칙에 의해 로켓의 추진력:
로켓에 대한 연료의 분사 속력 운동량 보존 법칙에 의해 로켓의 추진력: 25

26 예제 8.14 우주공간의 로켓 우주 공간에서 로켓이 지구에 대해 의 속력으로 멀어지고 있다. 엔진을 가동해서 로켓의 운동과 반대 방향으로 로켓에 대해 의 상대속력으로 연료를 분사한다. (A) 로켓의 질량이 점화하기 전 질량의 반으로 줄 때, 지구에 대한 로켓의 속력은 얼마인가? (B) 만일 로켓이 50kg/s의 비율로 연료를 연소하면 로켓에 작용하는 추진력은 얼마인가? 관성기준계는 근사적으로 지구이다. 로켓의 추진력은 26