어떤 수열 (數列 sequence).

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1 어떤 수열 (數列 sequence)

2 등차 수열 1, 4, 7, 10, ....

3 등차 수열 등차수열: 연속하는 두 항의 차이가 모두 일정한 수열 두 항의 차이는 이 수열의 공차
수열의 첫항을 a1 , 공차를 d 라고 하면 등차수열의 n번째 항an : 초항부터 n번째 항까지의 합 :

4 등비 수열 1, 4, 16, 64, ....

5 등비 수열 등비수열: 각 항이 그 앞 항과 일정한 비를 가지는 수열. 공비(共比): 그 일정한 비
첫 항이 a이고 공비가 r인 등비수열 초항부터 항까지의 합: 또는

6 또 다른 수열 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ....

7 피보나치 (Fibonacci, 1170~1250Leonardo Pisano)
Bonaccio 의 아들 계산판의 책 (Liber Abaci), 1202 인도-아라비아 숫자와 0을 유럽에 소개 4칙 연산, 분수 계산, 환전, 제곱근, 세제곱근 피보나치 수열 Leonardo de Pisa Filus = son 알고리스무스

8 피보나치 수열 1, 1, 2, 3, 5, 8,13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987 … a1 = 1 a2 = 1 an+1 = an + an-1

9 피보나치 나선

10 식물과 피보나치 수열 꽃잎의 개수는 주로 피보나치 수열의 한 항 즉 1,3,5,8,13… 모든 꽃이 그런 것은 아니다

11 미나리 아제비5 붓꽃3 델피니움

12 시네라리아13 pyrethrum 치커리21 Ragwort 13

13 예외 모든 꽃이 그런 것은 아니다

14 최적의 수학적 해법 식물의 씨앗이나 잎이 먼저 나온 씨나 잎을 비집고 새로 자라면서 환경에 적응하기 위해 “최적의 성장 방법”으로 피보나치 수열 선택 씨앗: 최소 공간에 최대의 씨앗을 촘촘하게 배치하기 위해 꽃 머리에서 왼쪽과 오른쪽 두 개의 방향으로 엇갈리게 나선 모양 데이지: 34개와 55개의 나선 해바라기: 55개와 89개의 나선 솔방울: 8개와 13개의 나선

15 해바라기

16 해바라기 씨앗

17 솔방울

18

19 빨강:8 노랑:13 흰:21

20 프랙탈 구조 피보나치수열 돌림

21 로마네스코 브로콜리 13 21

22 식물의 최적의 해법 식물의 잎차례(:줄기에서 잎이 나와 배열하는 방식) 잎차례 t/n: t번 회전하는 동안 잎이 n개
잎이 바로 위의 잎에 가리지 않고 햇빛을 최대한 받을 수 있는 수학적 해법 잎차례 t/n: t번 회전하는 동안 잎이 n개 벚꽃 사과는 2/5 포플러 장미 배 버드나무는 3/8 갯버들과 아몬드는 5/13 전체 식물의 90%가 피보나치 수열의 잎차례

23 137.5 o 227.5° 배추나 시금치 등이 자라며 잎을 낼 때에도 처음 잎과 그 다음에 자라는 잎이 만드는 각도가 137.5도라는 것을 알 수 있습니다. 원 전체를 한 바뀌 돌면 그 각도는 얼마입니까? 여러분들은 그 각도가 360도 라는 것을 다 잘 알고 있을 겁니다. 이 전체 각도에서 도가 차지하는 부분을 황금분할 이라 부릅니다. 디 각도는 가장 편안한 방향을 가리킵니다. 자연의 현상을 이해하고 나면, 미래를 예측할 수 있고, 모방하거나 창조할 수 있습니다.

24 피보나치 수열 1, 1, 2, 3, 5, 8,13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987 … a1 = 1 a2 = 1 an+1 = an + an-1

25 ‘황금비 (GoldenRatio)’ 호주의 조각가 로저스 예루살렘 기증 50톤의 돌과 금 피보나치 수열
Australian sculptor Andrew Rogers's 50-ton stone and gold sculpture, entitled Golden Ratio, is installed outdoors in Jerusalem. Rogers donated the sculpture. The height of each stack of stones, beginning from either end and moving toward the center, is the beginning of the Fibonacci sequence: 1, 1, 2, 3, 5, The Golden Ratio sculpture by Andrew Rogers in Jerusalem.

26 황금 분할 신용카드, 담배갑, 보안관, 장군

27 황금비 기하학적으로 조화를 이룬 분할 인간이 보편적으로 가지는 심미안에 가깝고 미적 감각이 뛰어나 가장 아름답고 이상적인 분할
유클리드: 외중비 루카 파치올리: 신성한 비율 마틴 옴: 황금 비율 4가지 다른 색의 선 들은 모두 각각 황금비를 이룬다.

28 황금 비율(golden ratio) Divine ratio

29

30 러 꼬르뷔지에: 러 모듈로

31 X 황금비? 롭 제노프

32 X

33 X http://www.math.nus.edu.sg/aslaksen/teaching/maa/markowsky.pdf
황금비에 대한 잘못된 개념

34 사람들은 모든 것을 수학으로 생각하기 좋아하지만 모든 것이 그들의 주장대로 맞는 것은 아니다.

35 황금비에 대한 잘못된 개념