STREETER-PHELPS식 지배방정식 유도

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1 STREETER-PHELPS식 지배방정식 유도
환경공학과 정호준

2 STREETER-PHELPS식 1925년에, Streeter and Phelps6는 오하이오강의 용존산소 “sag curve”에 관한 근본적인 연구를 발표하였다. 그들은 용존성 유기물의 생화학적 산소 요구량(BOD)의 분해 때문에 하류방향의 거리에 따라 용존 산소가 감소한다는 것을 설명할 수 있었으며, 그 현상을 설명하기 위하여 이후에 Streeter-Phelps 식으로 잘 알려진, 수학적인 식을 제안하였다.

3 탄소성 산소요구량의 산화는 비록 BOD 농도7뿐만 아니라 산소 농도에 의존한다는 연구가 있었지만, 보통 1차 반응으로 기술된다

4 용존 산소의 경우에, 방정식과 같이 직접 물질수지식으로 표현이 가능하다.

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6 식 (22)의 우변의 두 개 항은 하천에 있어서 서로 반대되는 과정, 탄소성 BOD로 인한 탈산소율과 재포기율을 나타낸다
식 (22)의 우변의 두 개 항은 하천에 있어서 서로 반대되는 과정, 탄소성 BOD로 인한 탈산소율과 재포기율을 나타낸다. 는 공기-물상의 경계면에서 대기 산소로부터 수체를 재폭기하기 위한 농도 추진력이다. 식 (22)는 D.O. 결핍 식(D)로 표현하는 것이 바람직하다.

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8 D. O. 결핍이 산소 재폭기력(D. O. 농도와 부호가 반대이다
Streeter-Phelps 식을 재현하기 위하여, 식 (21)과 (23)의 연립해가 필요하다. 상미분 방정식으로 되어있지만, 식 (21)을 거리에 따라 BOD 농도 (L)에 대해 직접 풀 수 있고, L의 식을 식 (23)에 대입할 수 있기 때문에, 두 식은 분리되어 있다.

9 BOD 농도에 대한 식 (21)의 해가 아래와 같이 식 (25)와 (26)에 의해 주어져 있다. :

10 식 (26)을 식 (23)에 대입하면, 변수분리법이나 적분인자법으로 D.O. 의 부족량()를 구할 수 있다.

11 식(27)은 종속변수(D)를 포함하는 모든 항은 좌변으로, 부하함수는 우변으로 재배열할 수 있다.
적분인자법을 이용하면, 식 (28)은 다음의 형태이다.

12 0과 간격에 대하여 해를 구하면, 식 (28)과 (29)의 비교는 다음의 정의를 가능하게 한다.

13 식 (28)의 해는 식 (30)으로 주어지는 일반해로부터 결정될 수 있다.

14 식 (34)는 1차원, 정상 상태, 플러그 유동 시스템에서, 점 오염원이 BOD를 배출한 이후의, 거리에 대한 용존 산소 부족량의 최종해이다.
또한, 부족량대신 용존 산소 농도[식 (22)]를 구할 수 있다. 그 해는 식 (34) 를 치환하여, 아래에 식 (35)로 주어져 있다.

15 식 (26)과 (34)는 미분식 (21)과 (23)에 대한 해이다. 미분식에 대한 가정적인 해들을 그림 6. 3에 나타나 있다
식 (26)과 (34)는 미분식 (21)과 (23)에 대한 해이다. 미분식에 대한 가정적인 해들을 그림 6.3에 나타나 있다. 최종 BOD는 하류방향의 거리에 따라 지수함수 형태[식 (26)처럼]로 감소하리라고 예상된다. 용존 산소 부족 농도는 임계 거리에서, 최대 임계 부족량까지 증가하며, 그후 에 접근할수록 0에 가깝게 감소한다(식 (34)와 그림 6.3).

16 용존 산소 농도는 식 (35)와 그림 6. 3에 제시된, 전형적인 "D. O
용존 산소 농도는 식 (35)와 그림 6.3에 제시된, 전형적인 "D.O. sag curve"와 같이 최소치까지 감소한 후 다시 증가한다. 결국 하천은 에서 점오염원으로부터 유입된 BOD를 재폭기함으로서 자체적으로 다시 정화된다.

17 그림 6. 3에서 보여준 바와 같이, 하천의 임의 지점에서, 탈산소율을 재폭기율과 비교할 수 있다
그림 6.3에서 보여준 바와 같이, 하천의 임의 지점에서, 탈산소율을 재폭기율과 비교할 수 있다. 배출 지점과 임계 거리 사이에서, BOD 농도가 상대적으로 크고, D.O. 부족량이 아직 최고점에 도달하지 않았기 때문에, 탈산소율은 재폭기율보다 크다. 임계 거리를 지나면, 재폭기율은 탈산소율보다 크며, 용존 산소 농도는 포화 농도에 접근한다. 임계 거리에서, 재폭기율은 탈산소율과 같으며, 산소 농도와 부족량의 변화량이 0인 최고치를 갖는다. 이 사실은 일 때, 식 (23)으로부터 보여줄 수 있다 :

18 임계 거리를 지나면, 재폭기율은 탈산소율보다 크며, 용존 산소 농도는 포화 농도에 접근한다
임계 거리를 지나면, 재폭기율은 탈산소율보다 크며, 용존 산소 농도는 포화 농도에 접근한다. 임계 거리에서, 재폭기율은 탈산소율과 같으며, 산소 농도와 부족량의 변화량이 0인 최고치를 갖는다. 이 사실은 일 때, 식 (23)으로부터 보여줄 수 있다 :

19 그림 6.3 Streeter-Phelps의 전형적인 D.O. sag curve

20 위 : 최종 BOD 농도는 거리에 따라 지수적으로 감소한다. 중간 : D. O
위 : 최종 BOD 농도는 거리에 따라 지수적으로 감소한다. 중간 : D.O. 부족량은 하천내 탈산소율이 재폭기율과 같을 때, 최고점에 도달한다. 아래 : D.O. sag curve의 임계점은 거리가 일때이다.

21 그림 6.4 임계 용존 산소 부족 농도

22 탈산소에 대한 값은 보통 1.048이며, 재폭기는 1.024이다. 그러므로 온도 증가의 영향은 재폭기와 비교할 때 탈산소에 대해서 더 크며, 이것이 그림 6.4b와 같이 임계부족량 가 상류로 이동하고 증가되는 원인이 된다. 온도 증가는 또한 용존 산소 포화 농도를 현저히 감소시켜, 재폭기에 대한 추진력을 제한함으로서 용존 산소 농도를 감소시킨다.

23 재폭기 속도 상수 1958년도에, O'Conner와 Dobbins9은 하천의 재폭기 속도 상수에 관한 첫 번째 모형 식을 개발했다. 그것은 Danckwert's의 표면재생이론에 근거하고 있으며, 다음과 같이 표시할 수 있다

24 수직속도변동과 혼합길이의 가정을 이론적 근거로 한 O'Conner-Dobbins공식
영국 단위로, 최종 재폭기 속도 상수

25 STREETER-PHELPS 식의 변형 Streeter와 Phelps(1925)는 오하이오 강의 용존 산소농도에 대하여 그들의 식을 개발했다. 용존 산소의 1차적 감소는 CBOD에 의하며, 재폭기는 DO의 1차적인 발생원이었다. 그러나, 용존 산소의 몇 가지 다른 발생원과 감소원은 하천과 강에서 일반적으로 다음과 같다:

26 용존 산소의 몇 가지 다른 발생원과 감소원

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28 그러므로, 만약 하천에서 암모니움 농도가 N으로서 2.0 mg/L라면, NBOD의 농도는 9.14 mg/L일 것이다.
질산화 박테리아는 흐르는 물 어디에나 존재한다; 그들은 종종 수변이나, 돌에 부착돼 있거나, 부유하고 있을 수도 있다. 질산화 미생물은 보통 독립영양생물이고, 탄소원으로 이산화탄소를 이용한다. 그러나 미생물 배우자의 일부분인 종속영양을 하는 질산화 유기물이 있다는 보고도 있었다.

29 배경 BOD는 하천이나 강의 비점오염원의 지표이다
배경 BOD는 하천이나 강의 비점오염원의 지표이다. CBOD의 지속적인 유입은 농지로부터의 유출수, 강우 유출, 고속도로 유출수 등에 의해 일어난다.

30 이러한 배경 BOD 농도는 정상 상태의 조건에서 일반적인 배경 용존 산소의 결핍을 일으킨다
이러한 배경 BOD 농도는 정상 상태의 조건에서 일반적인 배경 용존 산소의 결핍을 일으킨다. 플러그 유동 하천의 경우, 용존 산소 소모 D를 물질평형식으로 서술할 수 있다.:

31 표 6. 3은 하천과 강에 대한 용존산소모형에서 사용될 수 있는 모형의 파라미터들이다
표 6.3은 하천과 강에 대한 용존산소모형에서 사용될 수 있는 모형의 파라미터들이다. 그것은 SOD를 포함하는데, 순 1차 생산력, 그리고 이면의 DO 부족 값에 대하여 6.3절의 Streeter-Phelps 식을 상당히 개선한 식이다. 하류에서의 농도는 다음과 같이 간단한 지수 함수에 의해서 추측된다:

32 식 (45), (46)을 보면, 표 6. 3에서와 같이 모든 모델의 매개변수는 온도와 관계가 있다
식 (45), (46)을 보면, 표 6.3에서와 같이 모든 모델의 매개변수는 온도와 관계가 있다. 세타값은 강가의 형태와 폐수배출조건에 따라 표 6.3과 같이 주어진다. 우리는 Streeter-Phelps식에 대하여 어떤 특별한 수정과 개선을 할 준비를 한 것이다.

33 표 6.3 강에서의 전형적인 온도수정 인자에 따른 20℃에서의 용존산소모형의 속도상수의 범위와 측정방법
Parameter Value , Temperature Correctiona Method of Determination CBOD deoxygenation, day-1 1.048 Figure 6.5 or lab CBOD deoxygenation plus sedimentation, 0.5-1 day-1 1.04 Figure 6.5 NBOD deoxygenation, 1.08 Semilog versus Reaeration, Slow, deep rivers day-1 1.024 Calibration, field isotopes, or Table 6.2 Typicial conditions day-1 Swift, deep rivers day-1 Swift, shallow rivers day-1 Sediment oxygen demand, Natural to low pollution g m-2 day-1 1.065 Calibration or in situ respirometer Moderate to heavy pollution 5-10 g m-2 day-1 Net primary production, Daily average value mg L-1 d-1 1.066 In situ light and dark bottles or calibration , maximum daily production 2-20 mg L-1 d-1 , respiration only 1-10 mg L-1 d-1 Background D.O. Deficit, 0.5-2 mg L-1 NA Model calibration Coliform bacteria die-away, Freshwater Saltwater 0.5-5 day-1 2-40 day-1 1.07 1.10 Lab or field semilog plot Virus particles in marine waters day-1