인도. 인도 수학의 탄생 인도의 가장 오래된 역사는 5000 년 전에 폐허가 된 모헨조다로의 한 도시에 보존되어 있음 - 이 사람들은 쓰고, 셈하고, 무게를 달고, 측량을 하는 체계를 가지고 있었음 기원전 6 세기경 다리우스 왕의 페르시아 군대가 인도를 침입했으나 영구히.

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1 인도

2 인도 수학의 탄생 인도의 가장 오래된 역사는 5000 년 전에 폐허가 된 모헨조다로의 한 도시에 보존되어 있음 - 이 사람들은 쓰고, 셈하고, 무게를 달고, 측량을 하는 체계를 가지고 있었음 기원전 6 세기경 다리우스 왕의 페르시아 군대가 인도를 침입했으나 영구히 정복하지는 못함 - 새끼의 규칙 ’ 이라는 뜻에서 새 끼를 꼬아 제단을 건축할 수 있는 기하학적 법칙 을 구체적으로 설명하고 있고, 피타고라스 3 쌍을 알고 있음을 보여줌

3 인도 숫자의 기원 기원전 3 세기 중엽 브라만 숫자 등장 600 년 경 9 개의 기호만을 사용한 위치적 기수법의 수 체 계 탄생 작은 원으로 0 을 표시 알콰리즈미가 인도 숫자 소개하는 책 저술 피보나치의 에서 인도 숫자와 계산법 전파

4 굽타시대 : 산스크리트 르네상스의 황금시대를 열었으며 인도가 학문, 예술, 의학의 중심지가 되었고, 대학이 세워 짐 - 5 세기 초에 이라는 천문학 책이 나옴. 원주율, 사인함수 - 인도 수학이 종교보다는 천문학에 공헌하게 됨 - 6 세기에 천문학자 바라하미히라가 지은 에는 초기 인도 삼각법의 개요와 프톨레마이오스의 현 표로부터 만들어졌을 것으로 생각되는 사인표를 싣고 있 음

5 인도 수학은 그리스, 바빌로니아, 중국의 수학과 상호 영 향을 주었을 것임 아리아바타 (Āryabhata) : 6 세기에 활약, 라는 천문학 책을 저술함. 제곱근과 세제곱근, 도형 측도, 원주율, 등차수열, 시간 계산, 구면삼각법, 부정방정식의 해법 브라마굽타 (Brahmagupta) : 7 세기의 가장 뛰어난 수학자, 를 저술함. 사각형의 네 변의 길 이를 알 때 넓이 공식 ( 원에 내접할 때만 성립 ), 이차방정식 의 일반적인 해법, 무리수도 해로 간주, 양수와 음수에 관 한 계산 법칙 제시, 2 차 부정방정식 해법 마하비라 (Mahāvira) : 850 년경에 활약, 수학에 관한 저술 을 함 바스카라 (Bhāskara) : 천체계의 왕관 이라는 뜻. 부정방정식, 원주율 계산에 몰두. 0 으로 나누 는 것 시도. 릴리바티

6 1907 년 인도 수학회가 발족되었고 2 년 뒤에 마드 라스에서 인도 수학회 논문집이 출간되었으며, 1933 년부터 인도 통계학 논문집인 가 출간되기 시작함 스리니바사 라마누잔 (1887-1920) : 현대의 인도 수학자로서 복잡한 수의 관계를 빠르고 깊게 통찰 하는 능력을 소유하고 있었음

7 셈법 계산이 끝난 숫자는 지워버리게 고안되 었음 초기 인도의 덧셈은 왼쪽에서 오른쪽으 로 더해가는 것이었음 곱셈에 대해서도 여러 방법이 사용됨 - 간단한 곱셈은 왼쪽에서 오른쪽으로 계산을 함 - 복잡한 곱셈은 분해하여 계산을 함

8 산술과 대수 인도 산술에 관한 대부분의 지식은 바스카라의 에서 유래된 것임 역산법 ( 逆算法, 거꾸로 계산하는 것 ) 을 선호하기도 함 - 바스카라의 에 나오는 문제 “ 반짝이는 눈을 가진 아가씨, 역산의 올바른 방법을 안다면 내 말을 들 어봐요. 어떤 수에 3 을 곱해서 3/4 을 증가시키고 7 로 나눈 다음, 그 나 눈 것의 1/3 을 빼서 그 자신을 곱한 뒤 52 를 다시 빼고 그것에 제곱근 을 취해서 8 을 더하고 10 으로 나누면 2 가 된다오. 그 수는 얼마이겠 소 ?” 위 문제는 산술문제를 시가 ( 詩歌 ) 형태로 표현하는 인도인들의 관습을 보여줌 등차수열과 등비수열의 합을 구했으며, 단리, 복리, 할인, 조합 등에 관 한 상업적 문제를 풀었음

9 인도의 대수는 약어 대수였음 - 덧셈 : 보통 옆으로 나란히 나타냄 - 뺄셈 : 감수 위에 점을 찍어 표시함 - 곱셈 : 인수 뒤에 ‘bba' 을 썼음 - 나눗셈 : 피제수 밑에 제수를 썼음 - 제곱근 : ‘ka’ 를 그 수 앞에 써서 표시함 - 미지수 : 브라마굽타는 yā 로 표시함 - 기지수 : rū 로 미리 고정함 => 8xy+√10-7= yā kā 8 bha ka 10 rū 7

10 2 차방정식의 대수적 해법 ( 인도해법 ) 부정방정식에서 모든 가능한 정수해를 찾으려 노력함 아리아바타와 브라마굽타는 부정 1 차방정식 ( 단, 는 정수 ) 의 정수해들을 구함 부정방정식에 관한 인도인들의 연구가 너무 늦게 알려져 어떤 영향을 끼치지는 못함

11 기하학과 삼각법 논증이나 공준적 전개는 찾기 어려움. 경험에 의존, 측량과 연계 - 초기 인도인들이 재단을 건축하는데 기하학을 이용했다는 것과 그 때 피타고라스의 관계식을 이용했음을 보여줌 - 원적문제의 해 브라마굽타와 마하비라 - 삼각형의 넓이를 세 변으로 구하는 헤론의 공식 제시 - 순환사각형의 면적을 구하는 공식 ( 여기서 a, b, c, d 는 사각형의 네 변이고, s=(a+b+c+d)/2 임 ) 을 제시

12 ‘ 브라마굽타의 정리 ’ 인도의 측량공식 중에는 부정확한 것들이 많음 - 아리아바타는 피라미드의 부피를 밑면과 높이의 곱의 반 으로 구함 - π=3 또는 √10 을 빈번히 사용함 바스카라의 피타고라스 정리 증명 [ 그림 52]-p.205 인도인들은 삼각법을 천문학에 대한 도구로 간주하였음 도, 분, 초의 분각법을 사용함 사인 (sine) 표를 제작함 천문학에서 평면과 구면삼각형에 관한 문제를 풀었음 인도의 삼각법은 기하학적이라기보다 산술적이었음

13 인 도그 리 스그 리 스 수학은 천문학의 시녀 역할 을 함 그리스 수학은 수학 그 자 체를 위해 연구됨 전적으로 승려들에 의해 연 구됨 수학이 누구에게나 개방 되어 있었음 숙달된 계산가뛰어난 기하학자 모호하고 신비스런 언어로 작품을 씀 명료하고 논리적으로 표 현함 증명이나 유도과정이 없는 경험적 엄밀한 논증을 바탕으로 함 질적 수준이 고르지 않음훌륭한 질을 보존하려 함

14 아라비아

15 이슬람 문화 ① 바그다드는 인도와 그리스의 중간지역으로 문화의 전파나 교류의 유리한 위 치 확보. ②역대 회교왕들은 학문, 예술을 장려 ⇒ 세계문화의 많은 부분을 보존. ＊알 - 만수르 : 약 776 년 브라마굽타의 저작들이 왕의 후원 아래 아라비아어로 번역 ⇒ 인도숫자가 아라비아 수학에 전해진 계기. ＊알 - 라시드 : 그의 후원 아래 과학에 관한 여러 그리스 고전이 아라비아어로 번역됨. ⇒유클리드 도 번역됨 ＊알 - 마문 : 809 년부터 833 년까지 통치했으며 학문의 후원자이며 천문학자로 지구의 자 오선을 측정해냄. 가 아라비아어로 번역되고 이 완역됨. ⇒모하메드 이븐 무사 알 - 화리즈미는 대수와 인도숫자에 관한 책을 써서 12 세 기경 유럽에 엄청난 영향을 끼쳤다. ⇒타비트 이븐 코라는 을 최초로 아라비아 번역본을 만들었고 천문학, 원추곡선, 초등대수, 마방진, 친화수 등에 관해서도 저술.

16 수학자 아부르 - 웨파 (940~998) : 디오판투스의 작품 ( 탄젠트 함수를 삼각법에 소 개 ) 을 번역하였고, 사인과 탄젠트표를 만듦 아부 카밀 : 피보나치에게 도움을 줌 알 - 카르히 : 대수에 관한 가장 학술적인 회교저작의 하나인 를 씀 오마르 하이얌 ( 약 1100 년 ) : 3 차방정식의 기하학적 해에 관한 저서와 개 량달력을 만듦 나시르 에드 - 딘 ( 약 1250 년 ) : 구면삼각법에 관한 저작을 쓴 최초의 인물 울루그 베그 : 1́ 간격으로 소수 여얿 자리 이상 정확한 사인과 탄젠트표를 만듦 알 - 카시 : π 의 정확한 근사값을 주었고, ‘ 파스칼의 삼각형 ’ 형태로 이항정 리를 다룬 최초의 아라비아 저자.

17 산술과 대수 ∙ 마호메트 이전의 아라비아인들은 숫자를 말로 적음. ⇒ 정복지에 관한 광대한 관리문제로 간단한 기호법 도입의 필요성을 느낌. ⇒ 많은 지역을 대상으로 하는 상업 ( 무역 ) 을 위한 통일된 숫 자가 필요. ⇒ 인도 숫자 채택. ∙ 알 - 콰리즈미 이후 많은 산술책이 쓰여짐 ⇒ ‘ 구거법 ’, ‘ 임시 위치법 ’ 과 ‘ 이중 임시위치법 ’ 등과 제곱근, 세제곱근, 분수, 3 수법 ( 논증, 결실, 요구 ) 등이 설명되고 있 다. ∙ 회교 수학자들은 기하학적 대수 분야에 가장 훌륭한 공헌 ⇒오마르 하이얌의 3 차방정식이 체계적으로 분류되고 있음.

18 ∙ 부정해석학에 관심을 보임 ⇒두 양의 정수의 세제곱의 합이 한 정수의 세제곱이 되는 두 정수를 구하는 것이 불가능하다는 정리의 증명을 줌 ( 페르마의 ‘ 마지막 정리 ’ 의 한 특별한 경우 ) 또 알 - 카르히는 처음 n 개의 자연수의 제곱과 세제곱의 합을 구하는 정리를 증명한 최초의 아라비아 저자

19 기하학과 삼각법 아라비아인들이 기하학에 있어서 행한 중요한 역할 ⇒ 발 견보다는 기록의 보존 아부르 - 웨파 : 벌림이 고정된 컴파스를 이용하여 정다면체 의 꼭지점을 그의 외접구에 위치시키는 방법을 보임. 알 - 하이탐 (965~1039 년경 ) : 이슬람교의 계율 엄격 ⇒ 하루에도 여러 차례 일정한 시간 에 메카 ( 성지 ) 를 향해 예배 ⇒ 시각과 방향에 대해서 매우 관심이 큼 ⇒ 천문학, 지리학, 수학의 발달 계기 ⇒ 여섯 개의 삼각함수를 모두 이용하였고 구면삼각형 의 공식의 유도 과정을 개선

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21 몇 가지 어원 별 이름 ( 특히 희미한 별이름 ) ⇒ 아라비아어 대수 (algebra) : 알 - 화리즈미의 논문으로부터 유래 제목을 그대로 번역하면 “ 재결합과 대립의 과학 ”, 혹은 “ 이항과 소거 의 과학 ” ⇒ 유럽에 라틴어 번역본으로 알려지면서 ‘ 방정식의 과학 ’ 과 동의어 로 단어 ‘al-jabr' 또는 ’algebra' 가 만들어짐. 알고리즘 (algorithm) : 인도 숫자의 이용에 관한 알 - 화리즈미의 책이 1857 년에 라틴어 번역본이 발견됨. “ 알 - 화리즈미 ” 의 이름 ⇒ “ 알고리트미 (algoritmi)" 로 변함 ☞ 어떤 특별한 방법으로 계산하는 기술을 의미하는 ‘ 알고리즘 ' 이 됨 삼각함수 이름 ⇒탄제트, 코탄젠트, 시컨트, 코시컨트 함수들은 여러 가지 이름으로 불리다가 뒤늦게 16 세기 말엽부터 현재의 이름으로 사용되었다.

22 아라비아의 기여 수학의 발전에 있어 아라비아인들의 기여에 대한 평가 ⅰ ) 대수와 삼각법 분야에서 높은 독창성과 천재성을 부여 ⅱ ) 학식은 있으나 창조적이지 못하며 저작이 그리스나 현대 의 저자들의 어느 쪽과 비교하든지 간에 질과 양에 있어서 훨씬 뒤떨어진다고 하기도 함 ①아라비아인들이 중세의 암흑시대에 세계의 많은 지적 재산 을 관리하여 후대의 유럽인들에게 넘겨 줌으로써 인류 지성 사의 발전에 크게 기여. ②아라비아인들은 상업을 본업으로 하는 민족이기에 생각이 매우 현실적이기에 세금만 내면 종교의 자유를 보장하고, 학문의 보호와 장려, 동서의 이질적 문화를 무리 없이 한데 섞는 밑바탕이 돼주어서 이슬람권의 수학이 발달한 이유가 된다.