제 7 장 표본분포

표본분포 통계량의 확률분포 표본분포 (sampling distribution) 통계량 (statistic) 표본자료의 함수 즉 모집단 … … 표본 표본추출 … … 통계량 계산

통계량의 예 모집단 … … 표본 표본추출 … … 통계량 계산 [예][예] …

통계량의 예 [ 질문 ] 모집단 … … 표본 표본추출 … … 다음은 통계량인가 ? Yes/No 왜 ? 123 N

유용한 통계량 : 평균 / 비율 / 분산 모집단 … … 표본 표본추출 … … 통계량 계산 … 평균 분산 유용한 통계량 비율 또는 평균비율분산

평균의 표본분포 : 기대값 / 분산 모집단 … … 표본 … … … … …… …

평균의 표본분포의 종류 모집단의 분포가 정규분포이면 표본크기에 관계없이 표본평균의 분포는 정규분포이다. 모집단의 분포에 관계없이 표본크기가 크면 표본평균의 분포는 정규분포에 가까워진다.  중심극한정리 (central limit theorem)

표본 평균의 확률계산 1) 표본 평균을 표준화 Z 통계량 (standardized Z statistic) 으로 변환 2) (1) 표준정규분포표를 사용하여 확률계산 (2) normsdist(z) 를 사용하여 확률계산 또는 (1) normdist(x, , ,1)

예제 7.1 ( 원료사용량 분석 ) K 사의 주원료 1 일 사용량은 평균 270 ㎏, 표준편차 50 ㎏인 정규분포를 이루고 있다. 매일의 주원료 사용량이 독립적이고, 1 주일 가동일 수를 5 일, 1 개월 가동일 수를 20 일이라고 할 때 다음을 구하시오. 1) 1 주일 동안의 1 일 평균 사용량이 300 ㎏을 초과할 확률. 2) 1 개월 동안의 1 일 평균 사용량이 300 ㎏을 초과할 확률. 3) 1 주일 동안 1 일 평균 사용량이 250 ㎏ 이하일 확률. 4) 1 개월 동안의 1 일 평균 사용량이 250 ㎏ 이하일 확률.

비율의 표본분포 : 기대값 / 분산 모집단 … … 표본 … … … … …… …

비율의 표본분포의 종류 모집단의 비율 (pi) 이 0.5 이면 표본의 크기에 관계없이 비율의 표본분포는 정규분포이다. 모집단의 비율 (pi) 이 0.5 가 아닌 경우 이고 또한이면 정규분포에 접근한다.

표본 비율의 확률계산 1) 표본 비율을 표준화 Z 통계량 (standardized Z statistic) 으로 변환 2) (1) 표준정규분포표를 사용하여 확률계산 (2) normsdist(z) 를 사용하여 확률계산 또는 (1) normdist(x, , ,1)

예제 7.2 휴대폰을 보유한 우리나라 대학생의 40% 가 T 사에 가입하고 있는 것으로 알려져 있다. 다음을 구하시오. 1) 휴대폰을 보유한 대학생 100 명을 무작위 추출하는 경우 T 사에 가 입한 학생의 비율이 45% 이상일 확률. 2) 1) 의 문제에서 비율이 30% 이하일 확률. 3) 1) 의 문제에서 196 명을 표본 추출하는 경우 45% 이상일 확률. 4) 3) 의 문제에서 비율이 30% 이하일 확률.

평균의 표본분포 :  가 알려지지 않 은 경우 모집단 … … 표본 … … … … …… … … 자유도가 인 분포

t 분포 1) 모수 : 자유도 (degree of freedom) 2) 확률변수값의 범위 3) 확률밀도함수 4) 기대값 / 분산 생략

t 분포표 tdist(1.812,10,1) tinv( 확률, 자유도 ) tinv(0.1,10) tdist( 변수값, 자유도,1 or 2) 0.05

확률계산 1) 표본의 평균을 t 통계량 (t statistic) 으로 변환 2) 자유도 (n-1) 의 t 분포표를 사용하여 확률계산 tdist( t, df, 1 )

예제 7.4 H 편의점 본사에서는 서울 인근의 시 지역 가맹점의 평일 하루 평균 고객 수가 400 명, 1 인당 평균 구매액 8,000 원이라고 한다. K 씨가 3 개 가맹점에서 1 일 고객 수와 1 인당 구매금액을 조사한 결과는 첨부자료 12 ‘ 편의점 ’ 의 자료와 같다. H 편의점 본사의 주장이 사실이며, 정규분포라고 가정하고 다음을 구하시오. 각 가맹점의 고객 수 및 구매액의 표본평균의 값이 본사의 주장보다 클 경우 표본평균이 관찰된 값보다 클 확률을 구하고, 표본평균이 본사의 주장보다 작을 경우 표본평균이 관찰된 값보다 작을 확률을 구하시오.

분산의 표본분포 모집단 … … 표본 … … … … …… … 123 N 123n 123n 123n 123n … 자유도가 인 분포

Chi-square 분포 1) 모수 : 자유도 (degree of freedom) 2) 확률변수의 값의 범위 3) 확률함수 4) 기대값 / 분산

Chi-square 분포표 chidist(15.598,10)  0.1 chiinv(0.1,10) 

표본 분산 / 표준편차의 확률계산 1) 표본의 분산 / 표준편차를 카이제곱통계량 (  2 statistic) 으로 변환 2) 자유도 (n-1) 의 카이제곱분포를 사용하여 확률계산

예제 7.5 건강보조식품 P-10 을 생산하여 판매하는 인하제약은 에는 P 성분의 함량이 표준편차 0.04 ㎎으로 정규분포를 이루고 있는 것으로 알려져 있다. 12 개를 무작위로 추출하여 조사할 경우 1) 표준편차 s 가 0.05 ㎎ 이상일 확률 : P(s≥0.05 ㎎ ). 2) 표준편차 s 가 0.03 ㎎ 이하일 확률 : P(s≤0.03 ㎎ ). 3) 표준편차가 표준규격인 이상 ㎎ 이하일 확률 : P(0.025 ㎎ ≤s≤0.045 ㎎ ). 4)P(s>s*)=0.05 인 s* 의 값. 5)P(s<s#)=0.05 인 s# 의 값.

분산비율의 표본분포 두 표본 ( 표본 1, 표본 2) 에서 계산된 분산의 비율을 라고 하자. 는 분자의 자유도가이고 분모의 자유도가인 F 분포를 따른다.

F 분포 1) 모수 : 분자의 자유도 : 분모의 자유도 2) 확률변수가 취할 수 있는 범위 3) 확률함수 여기서

F 분포표 =fdist(x,df1,df2) (예)(예) =fdist(3.48,5,9)  0.05

예제 7.6 첨부자료 13 ‘ 삼성 &LG 전자 주식 ’ 은 전자업계의 우리나라 대표기업인 삼성전자와 LG 전자의 주식거래 관련 자료를 무작위로 50 일간을 수집한 자료이다. 주가 등락률이 정규분포이고 분산이 같으며 상호독립적이라는 가정하에 이 자료를 이용하여 다음을 구하시오. 삼성전자 :LG 전자 1 일 주가 등락률의 분산 비율이 1 보다 클 확률 ? 삼성전자 :LG 전자 1 일 주가 등락률의 분산 비율이 2 보다 클 확률 ?