옆의 그림과 같이 ∠ C=90° 인 직각삼 각형 ABC 에 대하여 세 변의 길이를 각각 한 변의 길이로 하는 정사각형 ADEB, ACHI, BFGC 를 그린다. 점 C 에서 변 AB 에 내린 수선의 발을 M, 그 연장선과 변 BE 와 만나는 점 을 N 이라고 하자. □ ACHI = 2 △ ACI ‥‥‥ (1) 유클리드의 증명법 두 변의 길이와 그 끼인각의 크기가 각각 같으므로, △ ABI ≡ △ ADC ‥‥‥ (3) 또, 밑변의 길이와 높이가 각각 같으므로, △ ACI = △ ABI ‥‥‥ (2)
밑변의 길이와 높이가 각각 같으므로, △ ADC = △ ADM ‥ (4) 또, □ ADNM = 2 △ ADM ‥ (5) (1), (2), (3), (4), (5) 에서 □ ACHI = □ ADNM ‥ (6) 같은 방법으로 □ BFGC = □ BENM ‥ (7) (6), (7) 에서 □ ADEB = □ ACHI + □ BFGC ∴ 유클리드의 증명법
이 그림은 레오나르도 다 빈치 (Leonardo da Vinci, ) 가 고안했던 것이라고 한다. 그림에서 AC // JG, BC // FJ 되게 하면 △ ABC ≡ △ CID ≡ △ FJG □ IDEH ≡ □ EABH ≡ □ CAFJ ≡ □ JGBC ∴ ABHIDE = CAFJGB ∴ ABHIDE - 2 △ ABC = CAFJGB - 2 △ ABC ∴ □ ACDE + □ CBHI = □ AFGB 도형 분할을 이용한 증명법
이 그림은 인도의 수학자이자 천문학자인 바스카라 (Bhaskara : 1114~1185) 의 증명 인데, 그는 두 개의 그림을 나란히 그려놓고 ' ' 보라 !' 는 말 이외에는 더 이상의 설명을 제시하지 않았다. 물론, 간단한 대수로 이것을 증명할 수 있다. 바스카라 (Bhaskara) 의 증명법 ∴ c 2 = a 2 + b 2
△ ABC 에서 변 BC 를 한 변으로 하는 정사각 형의 넓이는 4a+b 가 됨에 주목한다. 단 O 는 변 AC 를 한 변으로 하는 정사각형 의 중심이며, O 를 지나고 선분 BC 에 평행 또는 수직인 선분으로 정사각형을 4 등분한 것이다. ( 이 절단은 1830 년경 영국인 주식 중매인이 자 아마추어 수학가인 헨리 페리갈에 의해 발견되어 1837 년에 그에 의해 처음 발표되 었다. 이것은 절단함으로써 피타고라스의 정리를 논증할 수 있는 여러 가지 방법 중에 서 가장 훌륭한 방법의 하나이다.) 페리갈 (Perigal) 의 증명법
수학의 천재들 ►오승재▬경문사 기하학원론►유클리드, 토마스히드 ▬교우사 참 고 문 헌참 고 문 헌참 고 문 헌참 고 문 헌 피타고라스로 돌아가기