Ⅵ. 평 면 도 형 1. 기 본 도 형 2. 작도와 삼각형의 합동 3. 다각형과 원 수학 2017-03-01 Ⅵ. 평 면 도 형 1. 기 본 도 형 수학 2. 작도와 삼각형의 합동 하이퍼링크 - 원하는 단원의 빨간 단추를 누르시오. 3. 다각형과 원

2017-03-01 1.기본도형 기 본 도 형 각 위치관계 하이퍼링크 - 원하는 단원의 빨간 단추를 누르시오. 평행선의 성질

3. 평면도형은 선으로, 입체도형은 면으로 둘러싸여 있다. - 교선 : 두 면이 만나서 생긴 선 2017-03-01 점, 선, 면 1. 점이 움직인 자리는 선이 된다. 2. 선이 움직인 자리는 면이 된다. 3. 평면도형은 선으로, 입체도형은 면으로 둘러싸여 있다. - 교선 : 두 면이 만나서 생긴 선 - 교점 : 두 선 또는 선과 면이 만나서 생긴 점 교선 교점

2. 선분 AB의 길이를 두 점 A, B 사이의 거리라고 한다. 직선, 반직선, 선분 1. 서로 다른 두 점을 지나는 직선은 오직 하나이다. 반직선 AB ( AB ) 선분 AB ( AB ) 직선 AB ( AB ) A B A B A B 2. 선분 AB의 길이를 두 점 A, B 사이의 거리라고 한다.

선분 AB 위의 한가운데 점을 선분 AB의 중점이라 한다. M

2017-03-01 각 용 어 설 명 각 의 분 류 하이퍼링크 - 원하는 단원의 빨간 단추를 누르시오. 해당 항목을 선택하시오

∠AOB, ∠BOA, ∠O, ∠a 변 A B a 꼭지점 O < 기 호 > 각 이란?  한 점 O에서 그은 두 반직선 OA와 OB로 이루어지는 도형 변 A B a 꼭지점  점 O를 각의 꼭지점  반직선 OA, OB를 각의 변이라 한다. O < 기 호 > ∠AOB, ∠BOA, ∠O, ∠a

 예각 : 0도 보다 크고 90도 보다 작은 각 평각 직각  직각 : 90도인 각 (∠R) 각의 분류  예각 : 0도 보다 크고 90도 보다 작은 각 평각 직각  직각 : 90도인 각 (∠R)  둔각 : 90도 보다 크고 180 도 보다 작은 각 둔각  평각 : 180도인 각 예각

평면에서 두 직선의 위치관계 공간에서 두 직선의 위치관계 평면의 결정조건 맞 꼭 지 각, 수 직 2017-03-01 위치관계 평면에서 두 직선의 위치관계 공간에서 두 직선의 위치관계 평면의 결정조건 하이퍼링크 - 원하는 단원의 빨간 단추를 누르시오. 맞 꼭 지 각, 수 직 해당 항목을 선택하시오

평면에서 두 직선의 위치 관계 한 점에서 만난다 만나지 않는다 일치한다 m l l m l,m

공간에서 두 직선의 위치 관계 1) 만난다. 2) 평행하다. l m l m 3) 일치한다. 4) 꼬인 위치 l m l=m

공간에서 한 직선과 한 평면과의 위치관계 1)한 점에서 만난다. 2)평행하다. 3)포함된다. l P l ∥ P

2) 한 직선과 그 직선 밖에 있는 한 점 3) 만나는 두 직선 4) 평행한 두 직선 1) 한 직선 위에 있지 않은 세 점 2017-03-01 평면의 결정 조건 1) 한 직선 위에 있지 않은 세 점 2) 한 직선과 그 직선 밖에 있는 한 점 3) 만나는 두 직선 4) 평행한 두 직선

 두 직선이 만나서 생기는 네 각 중에서 서로 마주 보는 각 d 맞꼭지각의 크기는 서로 같다 c a ∠a = ∠c ∠b = ∠d b

m l 수직  교각 : 두 직선이 만나서 생기는 각  직교 : 교각이 직각일 때, 기호<l⊥m>  수직 : 두 직선ㅣ과 m이 직교할 때, l ,m은 서로 수직 이라 하며 직선 l 을 직선 m의 수선이라 한다. m l

평행의 정의 동위각과 엇각 평행선의 성질 평행선의 성질 해당 항목을 선택하시오 2017-03-01 하이퍼링크 - 원하는 단원의 빨간 단추를 누르시오. 해당 항목을 선택하시오

l m 평행  한 평면 위에서 두 직선 l, m이 만나지 않을 때, 두 직선 l, m은 평행  기호: l∥m  평행선:평행한 두 직선 l m

n a e a e a e a e l d f b f b f c g e c m 동위각과 엇각 ∠b와 ∠f, ∠d와 ∠h, ∠c와 ∠g  엇 각 : 서로 엇갈린 위치에 있는 각 쌍의 두 각 ∠b와 ∠h, ∠c와 ∠e n a e a e a e a e l d f b f b f c g e c m

a l c b m 평행선의 성질1 서로 다른 두 직선이 평행하고, 다른 한 직선과 만날 때  동위각의 크기는 서로 같다. l ∥ m이면 ∠a = ∠b  엇각의 크기는 서로 같다. l∥ m이면 ∠b = ∠c a l c b m

평행선의 성질2 서로 다른 두 직선이 한 직선과 만날 때  두 직선이 평행하면 동위각의 크기는 서로 같다.  한 쌍의 동위각의 크기가 같으면 두 직선은 평행하다. 서로 다른 두 직선이 한 직선과 만날 때  두 직선이 평행하면 엇각의 크기는 서로 같다.  한 쌍의 엇각의 크기가 같으면 두 직선은 평행하다.

도형의 작도 삼각형의 작도와 결정조건 도형의 합동 2017-03-01 2. 작도와 삼각형의 합동 도형의 작도 삼각형의 작도와 결정조건 도형의 합동 하이퍼링크 - 원하는 단원의 빨간 단추를 누르시오. 해당 항목을 선택하시오

작도의 뜻 선분의 수직이등분선 각의 이등분선 각의 이동 도형의 작도 해당 항목을 선택하시오 2017-03-01 하이퍼링크 - 원하는 단원의 빨간 단추를 누르시오. 각의 이동 해당 항목을 선택하시오

도형의 작도  작도 : 눈금이 없는 자와 컴퍼스 만을 사용하여 도형을 그리는 것 - 자 : 직선을 긋거나 주어진 선분을 연장할 때 사용 - 컴퍼스 : 원을 그리거나 주어진 선분의 길이를 옮길 때 사용

2 1 1 A 선분의 수직이등분선의 작도 [1] 두 점 A, B를 중심으로 반지름의 길이가 같은 원을 두 점에서 만 나도록 그린다. A B [2] [1]의 두 교점을 지나는 직선을 긋는다.

A 2 3 1 C E B O D 각의 이등분선의 작도 [1] O를 중심으로 하는 원을 그려서 반직선OA와 OB가 만나는 점을 각각 C, D라 한다. A 2 3 E 1 C D [2] C, D를 각각 중심으로 반지름의 길이가 같은 원을 그려서 만나는 점을 E라고 한다. B O [3] 반직선 OE를 긋는다.

D B O A C D´ A´ O ´ C ´ 각의 이동 [1] O를 중심으로 하는 원을 그려서 반직선 1 OA, OB와 만나는 점을 각각 C, D라고 한다. 1 3 D B [2] O’를 중심으로 하고 [1]의 원과 반지름의 길 이가 같은 원을 그려서 반직선 O´ A´와의 교점을 C´라고 한다. O A C [3] 선분 CD의 길이를 잰다. 5 2 4 D´ [4] C’를 중심으로 반지름의 길이가 선분CD 인 원을 그려서 [2]의 원과의 교점을 D’이라고 한다. A´ O ´ C ´ [5] 반직선 O’D’를 긋는다.

삼각형에 대한 용어 삼각형의 변의 길이 삼각형의 작도 삼각형의 결정조건 2017-03-01 삼각형의 작도와 결정조건 삼각형에 대한 용어 삼각형의 변의 길이 삼각형의 작도 하이퍼링크 - 원하는 단원의 빨간 단추를 누르시오. 삼각형의 결정조건 해당 항목을 선택하시오

삼각형에 대한 용어  세 선분 AB, BC, CA로 둘러싸인 삼각형 ABC를 기호로 △ABC와 같이 나타낸다.  ∠A, ∠B, ∠C를 △ABC의 내각이라고 한다.  ∠A와 마주 보는 변 BC를 ∠A의 대변, ∠A를 변 BC의 대각이라고 한다. A B C c a b

삼각형의 변의 길이  삼각형의 두 변의 길이의 합은 나머지 다른 한 변의 길이보다 크다. - 세 변 중 길이가 최대인 변의 길이가 나머지 두 변의 길이의 합보다 크거나 같으면 삼각형이 될 수 없다.

a a a c b C B c B C a B a b c a c B 삼각형의 작도 1) 세 변 2) 두 변과 그 끼인각 3) 한 변과 그 양 끝각 a a a c b C B c B C a B a b c a c B

삼각형의 결정조건  세 변의 길이가 주어질 때  두 변의 길이와 그 끼인각의 크기가 주어질 때  한 변의 길이와 그 양 끝각의 크기가 주어질 때

합동의 뜻 합동인 도형의 성질 삼각형의 합동조건 2017-03-01 도형의 합동 합동의 뜻 합동인 도형의 성질 삼각형의 합동조건 하이퍼링크 - 원하는 단원의 빨간 단추를 누르시오. 해당 항목을 선택하시오

< 기 호 > P ≡Q B ´ A B C A ´ C´ 합동의 뜻 한 평면도형 P를 그 모양이나 크기를 바꾸지 않고 다른 평면도형Q와 포갤 수 있을 때, P와 Q를 서로 합동이라고 한다. B ´ A B C A ´ C´ < 기 호 > P ≡Q 합동인 두 도형에서 포개어지는 꼭지점, 변, 각은 서로 대응한다고 한다.

합동인 도형의 성질  합동인 두 도형은 대응하는 변의 길이는 서로 같다. 대응하는 각의 크기는 서로 같다.

≡ ≡ ≡ 삼각형의 합동조건 대응하는 세 변의 길이가 각각 같을 때(SSS 합동) 대응하는 두 변의 길이가 각각 같고, 그 끼인각의 크기가 같을 때(SAS합동) ≡ 대응하는 한 변의 길이가 같고, 그 양 끝각의 크기가 같을 때 (ASA합동) ≡

삼 각 형 다 각 형 원과 부채꼴 3. 다각형과 원 해당 항목을 선택하시오 2017-03-01 삼 각 형 다 각 형 원과 부채꼴 하이퍼링크 - 원하는 단원의 빨간 단추를 누르시오. 해당 항목을 선택하시오

내각의 크기의 합 각의 크기에 따른 분류 삼각형의 한 외각의 크기 외각의 크기의 합 2017-03-01 삼 각 형 내각의 크기의 합 각의 크기에 따른 분류 삼각형의 한 외각의 크기 하이퍼링크 - 원하는 단원의 빨간 단추를 누르시오. 외각의 크기의 합 해당 항목을 선택하시오

A P Q B C 삼각형의 내각의 크기의 합 삼각형의 세 내각의 합은 180 이다. <증명> △ABC의 꼭지점 A를 지나고 변 BC에 평행한 직선 PQ를 긋는다. ∠B=∠PAB, ∠C=∠QAC(엇각) ∠A+∠B+∠C =∠A+∠PAB +∠QAC =180° A P Q B C

예각 삼각형 직각 삼각형 둔각 삼각형 각의 크기에 따른 삼각형 분류  예각 삼각형 : 세 각이 모두 예각인 삼각형  직각 삼각형 : 한 각이 직각인 삼각형  둔각 삼각형 : 한 각이 둔각인 삼각형 예각 삼각형 직각 삼각형 둔각 삼각형

삼각형의 한 외각의 크기  외각 : 한 변의 연장선과 이웃한 변이 이루는 각 외각

삼각형의 한 외각의 크기는 이와 이웃하지 않은 두 내각의 크기의 합과 같다. 삼각형의 외각의 크기 삼각형의 한 외각의 크기는 이와 이웃하지 않은 두 내각의 크기의 합과 같다. <증명> 점C를 지나고 선분AB에 평행한 직선 CE를 그으면 ACE=A(엇각) ECD=B(동위각) ACD=ACE+ECD =A+B A B C D E 삼각형의 세 외각의 크기의 합 = 360

용 어 설 명 대각선의 총수 내각의 크기의 합 외각의 크기의 합 정다각형의 한 내각, 외각 2017-03-01 다 각 형 용 어 설 명 대각선의 총수 내각의 크기의 합 외각의 크기의 합 하이퍼링크 - 원하는 단원의 빨간 단추를 누르시오. 정다각형의 한 내각, 외각 해당 항목을 선택하시오

대각선 내각 변 외각 다각형에 관한 용어  다각형 : 여러 개의 선분으로 둘러싸인 도형  정다각형 : 모든 변의 길이가 같고 모든 내각의 크기가 같은 다각형  대각선 : 다각형에서 이웃하지 않은 두 꼭지점을 이은 선분  다각형에서 각 선분을 변, 선분의 끝점을 꼭지점, 내부에 만들어지는 각을 내각이라고 한다. 대각선 변 내각 외각

다각형의 대각선의 총수  n각형의 한 꼭지점에서 그을 수 있는 대각선의 개수  n각형의 대각선의 총수

n각형 내각의 합은 180  (n - 2) n각형의 내각의 크기의 합 내각의 합 180° 180°× 2 180°× 3 180°× 4 n각형 내각의 합은 180  (n - 2)

360° a b c d e a’ b’ c’ d’ e’ 다각형의 외각의 크기의 합 다각형의 외각의 크기의 합 - 오각형의 내부의 한 점에서 각 변에 평행한 반직선을 그어 보면 a = a’, b=b’, …, e = e’  a+b+c+d+e = a’+b’+c’+d’+e’ = 360 a b c d e a’ b’ c’ d’ e’ 다각형의 외각의 크기의 합 360°

정다각형의 한 내각의 크기와 한 외각의 크기 정 n각형의 한 내각의 크기 n 360 정 n각형의 한 외각의 크기

원, 부채꼴의 용어설명 원 의 성 질 원과 직선의 위치관계 원의 접선과 반지름 원과 부채꼴의 넓이 2017-03-01 원 원, 부채꼴의 용어설명 원 의 성 질 원과 직선의 위치관계 원의 접선과 반지름 하이퍼링크 - 원하는 단원의 빨간 단추를 누르시오. 원과 부채꼴의 넓이 해당 항목을 선택하시오

O B O A 원  원 : 평면 위에서의 한 정점 O로부터 일정한 거리에 있는 점들의 집합  반지름 : 원의 중심과 원 위의 한 점을 이은 선분  지름 : 원의 중심을 지나는 현  호 : 원 위의 두 점을 원을 따라 이은 선  현 : 원 위의 두 점을 이은 선분  활꼴 : 원의 호와 현으로 이루어진 도형 지름 반지름 O 중심 현 B 활꼴 O A 호

부채꼴  부채꼴 : 원의 두 반지름과 호로 이루어진 도형  중심각 : 부채꼴에서 두 반지름이 이루는 각 O 중심각 부채꼴

x : y = l : m x : y = S : T l : m = S : T O y x S T m l 원의 성질  중심각의 크기가 같으면 그에 대한 호의 길이도 같다  중심각의 크기가 같으면 그에 대한 현의 길이도 같다  호의 길이와 부채꼴의 넓이는 그 중심각의 크기에 각각 비례한다. O y x S T m l x : y = l : m x : y = S : T l : m = S : T

 원 O의 반지름의 길이 : r  점 O에서 직선 l 까지의 거리 : d 두 점에서 만난다 접한다 만나지 않는다 l r O 원과 직선의 위치관계  원 O의 반지름의 길이 : r  점 O에서 직선 l 까지의 거리 : d 두 점에서 만난다 접한다 만나지 않는다 l r O d 할선 d < r l r O d 접선 d = r l r O d d > r

PT 가 원 O에 접선이면 PTO = 90° T O P 원의 접선과 반지름  원의 접선은 접점을 지나는 반지름에 수직이다.  원 위의 한 점에서 그 점을 끝점 으로 하는 반지름에 수직인 직선을 그으면 그 직선은 원의 접선이다.

원주와 원의 넓이 r : 반지름의 길이, l : 원주, S : 원의 넓이 r O S l : 원주율 (= 3.141592…) p

r : 반지름의 길이, x : 중심각의 크기 l : 호의 길이, S : 부채꼴의 넓이 l S x r 부채꼴의 호의 길이와 넓이 r : 반지름의 길이, x : 중심각의 크기 l : 호의 길이, S : 부채꼴의 넓이 l x S r