벡터 미적분학

개요 벡터의 해석(Vector analysis) 벡터 미적분 전자기학을 전개하고 응용하는 데 꼭 필요한 중요한 것 1.1 개요 개요 벡터의 해석(Vector analysis) 전자기학을 전개하고 응용하는 데 꼭 필요한 중요한 것 벡터 미적분 발산(Divergence) 기울기(Gradient) 회전(Curl) 발산 정리 (Divergence Theorem) 스토크스 정리(Stokes’ Theorem)

벡터의 기본 연산 스칼라(scalar) 벡터(vector) 크기(magnitude)로 규정되는 양 󰃚 온도, 전하, 전압 1.2 벡터 대수 벡터의 기본 연산 스칼라(scalar) 크기(magnitude)로 규정되는 양 󰃚 온도, 전하, 전압 이텔릭체 V 로 쓴다 벡터(vector) 크기와 함께 방향도 갖는 양 󰃚 속도(velocity), 전기장(E : electric field) 벡터는 굵은 글자를 사용하여 나타냄

1.2 벡터 대수 벡터의 기본 연산 벡터 덧셈 교환 법칙 성립 결합법칙 성립 A에서 B를 뺄 때

벡터의 기본 연산 스칼라 곱셈 분배 법칙 성립 나눗셈 단위벡터(a : unit vector) 1.2 벡터 대수 벡터의 기본 연산 스칼라 곱셈 분배 법칙 성립 나눗셈 단위벡터(a : unit vector) 길이는 1이면서 A와 같은 방향을 가리키는 벡터 종류와 관계없이 크기가 같고 방향만 다름

벡터의 기본 연산 점곱(dot product) 두 벡터의 점곱을 계산하면 스칼라가 됨 1.2 벡터 대수 벡터의 기본 연산 점곱(dot product) 두 벡터의 점곱을 계산하면 스칼라가 됨 A = IAI, B = IBI 이고, θAB 는 A와 B의 사잇각 점곱은 A에 B의 A 방향성분(B의 A 위로의 정사영) B cosθAB 를 곱한 것 교환 법칙 성립 분배 법칙 성립 특별한 경우

벡터의 기본 연산 가위곱(cross product) 두 벡터의 가위곱을 계산하면 벡터가 됨 1.2 벡터 대수 벡터의 기본 연산 가위곱(cross product) 두 벡터의 가위곱을 계산하면 벡터가 됨 AⅹB의 크기인 AB sinθAB 는 A와 B가 만든 평행사변형의 면적(밑변ⅹ높이) AⅹB는 A와 B에 각각 수직

1.2 벡터 대수 직각 좌표계에서의 벡터 대수 점곱 단위벡터의 점곱 두 벡터의 점곱 특별한 경우 벡터의 크기

직각 좌표계에서의 벡터 대수 가위곱 단위벡터끼리의 가위곱 오른손 규칙을 적용하거나 xyzxyz의 순환방식에 따라 구할 수 있음 1.2 벡터 대수 직각 좌표계에서의 벡터 대수 가위곱 단위벡터끼리의 가위곱 오른손 규칙을 적용하거나 xyzxyz의 순환방식에 따라 구할 수 있음 행렬식(determinant)의 형식으로 간단히 쓸 수 있음

정의 스칼라함수의 기울기, 벡터함수의 발산, 벡터함수의 회전을 정의 벡터 미분연산자(∇) 1.4 벡터 미적분 정의 스칼라함수의 기울기, 벡터함수의 발산, 벡터함수의 회전을 정의 이 세가지 양은 스칼라장과 벡터장이 위치에 따라 어떤 식으로 변화하는지 알 수 있게 해줌 벡터 미분연산자(∇) ∇: 델(del) 또는 나블라(nabla) 벡터에 대해 연산을 할 수도 있고, 스칼라에 대해 연산할 수도 있음 스칼라함수의 기울기 벡터함수 A의 발산

1.4 벡터 미적분 정의 벡터함수 A의 회전

방향 미분(Directional Derivative) 1/2 1.4 벡터 미적분 방향 미분(Directional Derivative) 1/2

방향 미분(Directional Derivative) 2/2 1.4 벡터 미적분 방향 미분(Directional Derivative) 2/2

기울기(Gradient) 1/4 정의(Definition) 1.4 벡터 미적분 T4쪽으로 갈수록 방안에 온도가 올라가고 있음

기울기(Gradient) 2/4 스칼라함수의 기울기의 물리적 의미 1.4 벡터 미적분 기울기(Gradient) 2/4 스칼라함수의 기울기의 물리적 의미 기울기의 방향은 그 스칼라의 거리에 대한 변환율이 최대가 되는 방향 기울기의 크기는 최대 변화율 값 온도를 나타내는 스칼라 함수 T(x,y,z) 벡터 거리는 변화율 (벡터로 표현) 벡터 방향은 변화율 방향 T4쪽으로 갈수록 방안에 온도가 올라가고 있음 온도가 증가하는 방향은 T4쪽임

기울기(Gradient) 3/4 연쇄규칙(chain rule)을 이용 방향 도함수 1.4 벡터 미적분 기울기(Gradient) 3/4 연쇄규칙(chain rule)을 이용 방향 도함수 기울기와 임의의 방향 al 과의 점곱을 하면 방향 도함수, 즉 그 방향으로의 변화율이 나옴 예제 1-8

1.4 벡터 미적분 기울기(Gradient) 4/4 풀이 (a) 직각 좌표계에서 여기서 인 관계식을 사용 (b)

1.4 벡터 미적분 발산(Divergence) 벡터함수 A의 발산은 주어진 한 점에서 밖으로 빠져나가는 A의 알짜 유량(net flux)이 얼마나 되는지 나타내는 척도(기준) 발산은 단위부피당 알짜 유출 유량(net outward flux per unit volume)으로 정의됨

1.4 벡터 미적분 발산(Divergence) 예제 1-9 발산이 있는 벡터장

회전(Curl) 벡터함수의 회전은 한 점 주위의 순환(circulation)이 얼마나 되는지를 나타내는 척도 1.4 벡터 미적분 회전(Curl) 벡터함수의 회전은 한 점 주위의 순환(circulation)이 얼마나 되는지를 나타내는 척도 회전은 단위면적당 순환량(circulation per unit area)으로 정의 예제 1-10 회전이 있는 벡터장

1.4 벡터 미적분 회전(Curl)

1.4 벡터 미적분 회전(Curl)

벡터함수의 적분 선적분(line integral) ∫c F ∙ d l 을 경로 C 에 대한 벡터 F의 선적분이라 함 1.3 좌표계 벡터함수의 적분 선적분(line integral) ∫c F ∙ d l 을 경로 C 에 대한 벡터 F의 선적분이라 함 F 와 d l 의 점곱을 취해 적분

1.3 좌표계 벡터함수의 적분 예제 1-5

벡터함수의 적분 경로 C 를 나타내는 직선의 방정식을 구한다 변수에 대한 제약조건 이므로 이를 정리하면 미분에 대한 제약조건 1.3 좌표계 벡터함수의 적분 풀이 경로 C 를 나타내는 직선의 방정식을 구한다 이므로 이를 정리하면 변수에 대한 제약조건 이를 미분하면 미분에 대한 제약조건 변수 제약조건 사용 미분 제약조건 사용 C𝒂 = C𝒙 + C𝒚 + C𝒛 인 경로 C𝒂 에 대한 선적분을 계산 일반적으로, 두 점 사이의 선적분은 적분경로에 따라 달라짐

1.3 좌표계 벡터함수의 적분 경로 비의존성 벡터장 F가 다음 조건을 만족하는 특수한 종류의 벡터이면, 이 벡터는 보존적(conservative)이라 함 식(1.28a)의 좌변에 있는 선적분을 닫힌 경로 C 에 대한 벡터 F의 순환(circulation)이라 함 보존장인 경우, 선적분은 경로에 무관

벡터함수의 적분 면적분(유량) ∬s F ∙ d s 는 표면 S 를 통한 벡터 F의 유량(flux)이라 함 1.3 좌표계 벡터함수의 적분 면적분(유량) ∬s F ∙ d s 는 표면 S 를 통한 벡터 F의 유량(flux)이라 함 [그림 1-15(a)]와 같이 닫힌표면인 경우 수직방향을 표면 바깥쪽 방향으로 정의 열린표면의 경우 표면의 둘레를 따라가는 경로 C 에 대해 오른손 규칙을 적용하여 수직방향을 정의

발산 정리와 스토크스 정리(Divergence Theorem and Stokes’ Theorem) 1.4 벡터 미적분 발산 정리와 스토크스 정리(Divergence Theorem and Stokes’ Theorem) 발산정리(Divergence Theorem) 닫힌표면 S 는 부피 V 의 경계를 이루는 표면 벡터 A가 모든 곳(점)에서 발산이 없는 벡터, 즉 ∇∙A가 0인 벡터인 경우 A를 비발산장(divergenceless field) 또는 솔레노이드장(solenoidal field)이라 함 스토크스 정리(Stokes’ Theorem) 닫힌경로 C 는 열린표면 S 의 경계가 됨 벡터 A가 모든 곳에서 회전이 없는 벡터, 즉 ∇ⅹ A 가 0인 벡터인 경우 비회전장(curl-free field) 또는 보존장(conservative field)이라 함

발산 정리와 스토크스 정리(Divergence Theorem and Stokes’ Theorem) 1.4 벡터 미적분 발산 정리와 스토크스 정리(Divergence Theorem and Stokes’ Theorem) 예제 1-11 발산 정리 풀이 (a) 표면 S1에서는 F가 직각좌표로 주어졌으므로, 적분을 하려면 이를 구좌표로 변환

발산 정리와 스토크스 정리(Divergence Theorem and Stokes’ Theorem) 1.4 벡터 미적분 발산 정리와 스토크스 정리(Divergence Theorem and Stokes’ Theorem) 표면 S2에서 z = 0 이므로 F = azz2 = 0 (b) 가 성립하므로 발산 정리가 증명된다

발산 정리와 스토크스 정리(Divergence Theorem and Stokes’ Theorem) 1.4 벡터 미적분 발산 정리와 스토크스 정리(Divergence Theorem and Stokes’ Theorem) 예제 1-12 스토크스 정리 풀이 직선경로를 C1, 반원경로를 C2로 정한다 경로 C1에서는 이다

발산 정리와 스토크스 정리(Divergence Theorem and Stokes’ Theorem) 1.4 벡터 미적분 발산 정리와 스토크스 정리(Divergence Theorem and Stokes’ Theorem) 경로 C2에서는 이다 C2를 따라 선적분을 하기 위해서는 F를 원통 좌표계로 변환해야 한다 (b) C로 둘러싸인 표면 S에 대해, 이므로 이 성립하므로 스토크스 정리가 증명된다

발산 정리와 스토크스 정리(Divergence Theorem and Stokes’ Theorem) 1.4 벡터 미적분 발산 정리와 스토크스 정리(Divergence Theorem and Stokes’ Theorem) 예제 1-13 점전하의 전기장 예제 1-14 선전류의 자기장

1.4 벡터 미적분 벡터 항등식

고차 벡터 미분 함수 델(∇) 연산자 두 개를 연속해서 사용하는 양 5가지 1.4 벡터 미적분 고차 벡터 미분 함수 델(∇) 연산자 두 개를 연속해서 사용하는 양 5가지 와 두 가지 양은 어떤 스칼라함수 V 와 어떤 벡터함수 A에 대해서도 항상 0 를 줄여서 로 쓰는데, 이것을 스칼라 V 의 라플라시안이라고 함

Q & A