교류회로, 전자기파 컴퓨터시뮬레이션학과, 2015년 2학기 교수 : 이 형 원 연구실 E304, hwlee@inje.ac.kr 산업경영공학과 일반 물리학 14주차 교류회로, 전자기파 컴퓨터시뮬레이션학과, 2015년 2학기 교수 : 이 형 원 연구실 E304, hwlee@inje.ac.kr

다음주 과제 기말고사 일시 : 2015년 12월 10일 6교시 장소 : E327 시험범위 : 29장 ~ 34장

제33장 교류회로 목표 교류전원 RLC 회로 교류회로의 전력

(Alternating Current Circuits) 33장. 교류 회로 (Alternating Current Circuits) 33.1 교류 전원 33.2 교류 회로에서의 저항기 33.3 교류 회로에서의 인덕터 33.4 교류 회로에서의 축전기 33.5 RLC 직렬 회로 33.6 교류 회로에서 전력 33.7 직렬 RLC 회로에서의 공명 33.8 변압기와 전력 전송 33.9 정류기와 여과기

33.1 교류 전원 전원의 극성과 크기가 주기적으로 변하는 전원을 교류 전원이라고 한다. 교류 전압의 각진동수 : (AC Sources) 전원의 극성과 크기가 주기적으로 변하는 전원을 교류 전원이라고 한다. : 전원의 최대 출력 전압 혹은 전압 진폭(voltage Amplitude) 교류 전압의 각진동수 :

33.2 교류 회로에서의 저항기 키르히호프의 법칙에 따라 저항기에 흐르는 최대 전류; 저항기 양단의 순간 전압; (Resistors in an AC Circuit) 키르히호프의 법칙에 따라 저항기에 흐르는 최대 전류; 저항기 양단의 순간 전압;

전류와 전압은 시간에 따라 똑같이 변하기 때문에 서로 일치한다 전류와 전압은 시간에 따라 똑같이 변하기 때문에 서로 일치한다. 오른쪽 그림에서 보듯이 iR 과 vR 모두 sinωt로 변하고, 같은 시간에 최대값에 도달하기 때문에 위상이 같다(in phase)라고 한다. 두 개 혹은 그 이상의 구성 요소를 가진 회로의 분석을 간단히 하기 위해 위상자 도표라 하는 그림 표현을 사용한다. 위상자(phasor)는 벡터이고, 그 길이는 나타내고자 하는 변수의 최대값에 비례한다. 위상자는 그 변수에 관계되는 각진동수와 같은 각속력으로 시계 반대 방향으로 회전한다. 위상자를 수직축에 투영하면 위상이 나타내는 순간값을 얻게 된다.

rms(root mean square) 전류(rms current) 간단한 저항 회로의 경우 한 주기에 대한 전류의 평균값은 0이다. 에너지가 저항기에 전달되는 비율인 전력을 고려하자. 시간에 대한 평균을 계산하면 이므로 rms(root mean square) 전류(rms current)

◀ rms(root mean square) 전압(rms voltage)

33.3 교류 회로에서의 인덕터 (Inductors in an AC Circuit) 교류 전원 단자에 연결되어 있는 인덕터만으로 구성된 교류 회로를 고려하자. 키르히호프의 법칙에 따라 ;인덕터에 흐르는 전류

인덕터에 흐르는 순간 전류와 인덕터 양단에 걸린 순간 전압은 위상이 90도 만큼 차이가 난다. (늦다) 유도 리액턴스(inductive reactance) XL (단위: Ω) 인덕터 양단에 걸린 순간 전압은 ;인덕터 양단에 걸린 전압

33.4 교류 회로에서의 축전기 (Capacitors in an AC Circuit) 교류 전원 단자에 연결되어 있는 축전기만으로 구성된 교류 회로를 고려하자. 키르히호프의 법칙에 따라 사인모양 전압에 대해 전류는 항상 축전기 양단의 전압보다 90°앞선다.

용량 리액턴스(capacitive reactance) XC (단위: Ω) 축전기 양단에 걸린 순간 전압은

33.5 RLC 직렬 회로 순간 전압 순간 전류 ; 전류와 전압 사이의 위상각 (phase angle) (The RLC Series Circuit) 순간 전압 순간 전류 ; 전류와 전압 사이의 위상각 (phase angle)

위상자 활용 ◀ 임피던스(impedance) Z (단위: Ω)

전류와 전압 사이의 위상각

직렬 RLC 회로 분석 예제 33.4 직렬 RLC 회로가 R=425 Ω, L=1.25H, C〓3.50㎌, f=60.0Hz 그리고 Vmax=150V를 가진다. 유도 리액턴스와 용량 리액턴스 그리고 회로의 임피던스를 구하라. 회로에 흐르는 최대 전류를 구하라. 전류와 전압 사이의 위상각을 구하라. 풀이

(D) 각 회로 요소 양단의 최대 전압을 구하라. (E) 이 회로를 분석하는 기술자가 어떠한 L을 선정하면, 전류가 걸린 전압보다 30°앞서는지 찾아 보아라. 단, 이 회로의 다른 모든 변수는 동일하다고 하자. (F) 만약 세 회로 요소 양단에 최대 전압을 합하면 어떻게 될까? 이것은 물리적인 의미가 있는가?

33.6 교류 회로에서의 전력 교류 전원에 의해 회로에 전달된 순간 전력은 전류와 인가 전압의 곱이다. (Power in an AC Circuit) 교류 전원에 의해 회로에 전달된 순간 전력은 전류와 인가 전압의 곱이다. 복잡한 시간 함수이므로 실용적인 측면에서는 유용하지 않다. 일반적으로 관심있는 것은 한 주기 이상의 평균 전력이다. sine 및 cosine 함수의 시간 평균은 0이므로 전력 인자(power factor: 역률)

위상자 도표에서 따라서, 전원에 의해 전달된 평균 전력은 직류 회로에서와 같이 저항기에서 내부 에너지로 전환된다. 교류 회로에서 순수한 축전기와 순수한 인덕터와 관련된 전력 손실이 없다.

RLC 직렬 회로에서 평균 전력 예제 33.5 직렬 RLC 회로가 R=425 Ω, L=1.25H, C〓3.50㎌, f=60.0Hz 그리고 Vmax=150V를 가진다. 평균 전력은 얼마인가? 풀이

33.7 직렬 RLC 회로에서의 공명 (Resonance in a Series RLC Circuit) 구동 진동수를 조절하여 rms 전류가 최대값을 갖도록 하면, RLC 회로는 공명 상태(resonance)에 있다고 말한다. rms 전류가 최대값을 갖기 위해 임피던스가 가장 작은 상태, 즉 XL – XC = 0을 만족하는 진동수를 회로의 공명 진동수(resonance frequency)라 한다. 이 진동수는 또한 LC 회로의 자연 진동수에 대응된다. 이 진동수에서 전류는 걸린 전압과 같은 위상에 있게 된다.

R=0일 때, 공명 상태에서 전류는 무한대가 된다. 그러나 실제 회로는 항상 어떤 저항값을 가지므로 전류는 유한한 값으로 제한된다. 직렬 RLC 회로에서 평균 전력을 진동수의 함수로써 구할 수 있다. ω 〓 ω0일 때 공명 상태에 있고 평균 전력은 최대값이며 (△Vrms)2/R을 가짐을 보여준다.

큐인자(quality factor: 양호도) Q : 진동수 대 평균 전력 그래프 곡선의 예리함을 나타내는 무차원 변수 라디오, TV 및 휴대 전화의 수신 회로는 공명 회로의 중요한 응용 예이다.

33.8 변압기와 전력 전송 (The Transformer and Power Transmission) 전력을 먼 거리까지 전송할 때 전력선에 의한 I2R 손실을 최소화하기 위하여 고전압과 낮은 전류를 사용하는 것이 경제적이다. 전력을 소비하는 소비자들은 안정성과 전기설계의 효율성 때문에 낮은 전압의 전력을 요구한다. 전달되는 전력의 큰 변화없이 교류 전압과 전류를 변화시킬 수 있는 장치가 요구된다. 교류 변압기

교류 변압기(AC transforme): 철심의 목적은 코일을 통과하는 자기선속을 증가시키기 위한 것이고, 맴돌이 전류 손실은 많은 얇은 층으로 이루어진 철심을 사용함으로써 감소시킬 수 있다. 코일과 철심에서의 에너지 손실이 영인 이상적인 변압기를 가정한다.

교류 전력의 경제성 예제 33.7 풀이 (B) 발전소가 에너지를 22kV의 원전압으로 전송하는 경우에 대해 계산을 반복하라. 전기를 만들어내는 발전소는 1.0km 떨어진 도시에 20MW의 비율로 에너지를 전달하고자 한다. 상업용 전력 발전기의 공통 전압은 22kV이지만 승압 변압기로 전송 전압을 230kV로 올린다. (A) 만약 전선의 저항이 2.0이고 에너지는 약 10센트/kWh의 비용이 든다고 하자. 하루 동안 전선 내부에서 에너지가 내부 에너지로 전환함에 의해서, 얼마의 비용이 드는가? 풀이 (B) 발전소가 에너지를 22kV의 원전압으로 전송하는 경우에 대해 계산을 반복하라.

33.9 정류기와 여과기 (Rectifiers and Filters) 교류 전류를 직류 전류로 변환시키는 과정을 정류(rectification)라 하며, 변환 장치를 정류기(rectifier)라 한다. 정류기 회로에서 가장 중요한 요소는 한 방향으로만 전류를 흐르게 하는 회로 요소인 다이오드(diode)이다. 축전기가 회로에 추가될 때, 부하 저항에 흐르는 전류에 있어 시간 변화는 작고, 회로의 RC 시간 상수에 의해 결정된다. 전류가 감소할 때 축전기는 저항을 통해 방전하므로 저항에 흐르는 전류는 변압기의 전류만큼 빠르게 감소하지 않는다. 정류 후에, 전압은 여전히 원래 교류의 주파수를 갖는 작은 교류 성분을 포함하므로(때때로 잔결전압이라 한다) 걸러야(filtering) 한다.

다른 진동수에 대해 다르게 반응하는 여과기(filter)를 설계할 수 있다. ☞ RC 고진동수 통과 여과기(high pass filter) 출력은 저항 양단의 전압이다. 각진동수의 로그 함수로서 출력 전압에 대한 입력 전압의 비의 그래프는 저진동수에서 vout은 vin보다 훨씬 적은 반면, 고진동수에선 두 전압이 같다. 회로가 저진동수 신호를 막는 반면 우선적으로 더 높은 진동수를 통과시킨다. ☞ RC 저진동수 통과 여과기(low pass filter) 출력 전압은 축전기 양단에 걸려 있다. 저진동수에서 축전기의 리액턴스와 축전기 양단의 전압은 높다. 진동수가 증가함에 따라 축전기 양단의 전압은 떨어지므로 RC 저진동수 통과 여과기(low pass filter)가 된다.

제34장 교류회로 목표 전자기파의 발생 전자기파의 전파

(Electromagnetic waves) 34장. 전자기파 (Electromagnetic waves) 34.1 변위 전류와 앙페르 법칙의 일반형 34.2 맥스웰 방정식과 헤르츠의 발견 34.3 평면 전자기파 34.4 전자기파가 운반하는 에너지 34.5 운동량과 복사압 34.6 안테나에서 발생하는 전자기파 34.7 전자기파의 스펙트럼

34.1 변위 전류와 앙페르 법칙의 일반형 앙페르(암페어) 법칙 (Displacement Current and the General Form of Ampere’s Law) 앙페르(암페어) 법칙 위의 이 식에서 I는 전도 전류이며 앙페르 법칙은 모든 전기장들이 시간에 따라 변하지 않을 때만 성립하며 맥스웰은 시간에 따라 변화하는 전기장도 포함하도록 앙페르 법칙을 수정함. 그림에서 전도 전류가 흐를 때 양(+)으로 대전된 판의 전하는 변하지만, 두 판 사이 간격에는 전도 전류가 없다. 경로 P로 둘러싸인 두 곡면 S1과 S2를 생각해 보자. 경로 P를 S1의 경계로 생각했을 때는 전도 전류 I가 S1 을 통과해서 흐르고 있기 때문에 앙페르 법칙이 성립한다. 경로 P를 S2의 경계로 생각했을 때는 흐르는 전도 전류가 없기 때문에 적분 결과는 0이 되어야 한다. 그러므로 모순이 생긴다!

맥스웰은 앙페르 법칙의 우변 항에 변위 전류(displacement current)라 불리는 Id를 포함하는 새로운 항이 더 존재한다고 가정해서 이 문제를 해결하였다. 축전기가 충전(또는 방전)되는 동안, 두 판 사이의 변하는 전기장은 도선에 서 전도 전류의 연속을 대신하는 전류와 동일한 것으로 생각할 수 있다. 축전기 판의 면적을 A라고 하면 즉, S2 를 통과하는 변위 전류 Id는 S1을 통과하는 전도 전류 I 와 똑같다. 자기장은 전도 전류와 시간에 따라 변하는 전기장 둘 다에 의해서 발생된다.

34.2 맥스웰 방정식과 헤르츠의 발견 (Maxwell’s Equations and Hertz’s Discoveries) 모든 전기와 자기 현상들의 기초로 여겨지는 네(4) 개의 방정식들은 맥스웰이 발전시켰으며, 뉴턴의 법칙들이 역학적 현상에 근본적이듯이 맥스웰의 방정식들은 전자기 현상에 근본적이다. 아인슈타인의 특수상대성 이론과도 일치함. 유전체나 자성체가 없는 자유 공간에서 ◀ 가우스의 법칙 ◀ 자기에 대한 가우스의 법칙 ◀ 패러데이의 법칙 ◀ 앙페르-맥스웰 법칙

가우스의 법칙 ; 어떤 폐곡면을 통과하는 전체 전기 선속은 그 곡면 내부의 알짜 전하를 εo 로 나눈 것과 같다 자기에 대한 가우스 법칙 ; 폐곡면을 통과하는 알짜 자기 선속은 0이다. – 자기력선은 시작점과 끝점이 없다. 자기 홑극은 없다. 패러데이의 법칙 ; 자기 선속이 변화하면 전기장을 만들 수 있다. 임의의 닫힌 경로를 따라 전기장을 선적분한 값인 기전력이 그 경로로 둘러싸인 임의의 곡면을 통과하는 자기 선속의 변화율과 같다. 시간에 따라 변화하는 자기장 속에 놓인 고리 도선에는 전류가 유도된다. 앙페르-맥스웰 법칙 ; 변화하는 전기장과 전류에 의해서 자기장이 유도된다. 임의의 닫힌 경로를 따라 자기장을 선적분한 것은 그 경로를 통과하는 알짜 전류에 μo를 곱한 것에다 그 경로로 둘러싸인 임의의 곡면을 통과하는 전기 선속의 시간 변화율에 εoμo를 곱한 것을 더한 것과 같다.

◀ 로렌츠 힘의 법칙 맥스웰 방정식들의 대칭성을 주목하라. 맥스웰 방정식들은 전자기 뿐만 아니라 모든 과학에 근본적으로 중요하다. q=0이고, I=0인 진공에서 패러데이 법칙과 앙페르-맥스웰 법칙의 해를 보면 전자기파의 진행 속력은 측정된 빛의 속력과 같다는 것을 알 수 있다. 이 결과 때문에 맥스웰은 빛이 전자기파의 일종이라는 주장을 하게 된다. 헤르츠는 오른쪽 그림과 같은 장치를 고안하여 맥스웰의 예측을 증명하는 실험들을 하였다. 또 헤르츠는 일련의 실험에서 자신의 스파크 간극 장치에서 발생된 복사(radiation)가 간섭, 회절, 반사, 굴절 그리고 편광 같은 파동적 성질을 보인다는 것을 증명하였다.

34.3 평면 전자기파 (Plane Electromagnetic Waves) 맥스웰의 셋째(패러데이 법칙)와 넷째(앙페르-맥스웰 법칙) 방정식을 결합해서 얻은 이차 미분 방정식을 풀어 전자기파의 성질을 유도할 수 있다. x-축 방향으로 진행하는 전자기파를 고려하자. 전기와 자기장이 서로 직교하는 한 쌍의 축에 평행한 방향을 향하게 제한된 이런 파들을 선형 편광파(linearly polarized waves)라고 한다. 공간의 어떤 점에서도 장들의 크기 E 와 B 는 x 와 t 에만 의존하고 y 와 z 에는 의존하지 않는다고 가정하자. yz 평면의 임의의 점에서 복사된 파동은 x-축 방향으로 진행하고, 그런 모든 파동들은 같은 위상으로 출발한다고 하자. 평면파(plane wave) : 모든 파동에서 같은 위상을 가지는 점들을 잇는 면은 기하학적 평면이 된다. 구면파(spherical wave) : 복사의 점원(point source)은 모든 방향으로 방사선 형태로 파동들을 내보낸다.

왼쪽 그림의 직사각형에 대해 패러데이 법칙을 적용하자. 직사각형의 윗변과 아랫변 부분에서는 E와 ds가 수직이기 때문에 선적분 값이 영이 된다. 직사각형의 오른쪽 변에서 의 전기장은 다음과 같이 표현할 수 있다. 왼쪽 변에서의 전기장은 이므로 또, 직사각형을 통과하는 자기선속은

(34.11) 비슷한 방법으로, 왼쪽 그림의 직사각형에 대해 앙페르-맥스웰 법칙을 적용하자. 좌변의 선적분 값은 직사각형을 통과하는 전기선속은 (34.14)

을 x에 대해서 미분하고 와 결합하면 같은 방법으로 을 x에 대해서 미분하고 와 결합하면 파동 방정식과 비교하면 ;파동방정식

이 파동 방정식의 가장 간단한 해는 k는 각파수(angular wave number), ω는 각진동수, λ는 파장, f 는 진동수이다. 식에 해를 대입하여 정리하면

전자기파 예제 34.2 진동수 40.0MHz인 사인모양 전자기파가 진공 속을 x축 방향으로 진행한다. (A) 파동의 파장과 주기를 구하라. (B) 어떤 순간에 어떤 지점의 전기장은 양의 y축 방향이고 최대값 750N/C을 가진다. 이 시각에 이 지점에서 자기장의 크기와 방향을 구하라. 풀이

34.4 전자기파가 운반하는 에너지 (Energy Carried by Electromagnetic Waves) 전자기파의 에너지 흐름률을 포인팅 벡터(Poynting vector)라 하는 벡터 S로 나타내며, 다음과 같이 정의한다. (단위: J/s · m2 = W/m2) 예를 들어, 평면 전자기파의 경우 사인모양의 평면 전자기파의 경우 S 의 한 주기 또는 그 이상의 주기 동안의 시간 평균을 파동의 세기 I 라 한다. 의 시간 평균은 1/2 ;파동의 세기

전자기파의 경우 E 와 B 가 시간에 따라 변하기 때문에, 에너지 밀도도 역시 시간에 따라 변한다. 전자기파의 순간 자기장 에너지 밀도는 순간 전기장 에너지 밀도와 같다. 전체 순간 에너지 밀도(total instantaneous energy density) u는 전기장과 자 기장에 관련된 에너지 밀도의 합과 같다. 전자기파의 세기는 평균 에너지 밀도에 빛의 속력을 곱한 것과 같다.

34.5 운동량과 복사압 (Momentum and Radiation Pressure) 전자기파는 에너지뿐만 아니라 선운동량도 전달한다. 그러므로 이 운동량이 어떤 표면에 흡수되면 그 표면에 압력이 작용한다. 여기서 전자기파가 표면 에 수직으로 입사하여 △t 시간 동안 전체 에너지 TER를 전달한다고 가정한다. 표면에 전달된 전체 운동량은 다음의 크기를 가진다. ; 완전흡수 표면에 작용하는 압력 표면이 완전한 반사체(거울같이)이고 수직 입사라면 운동량은 완전 흡수의 2배이다. ; 완전 반사 ;완전반사면에 작용하는 복사압

레이저 포인터의 압력 예제 34.4 3.0mW의 레이저 포인터가 지름 2.0mm인 점을 스크린에 만든다면, 입사하는 빛의 70%를 반사하는 스크린에 작용하는 복사압을 구하라. 일률 3.0mW는 시간에 대한 평균값이다. 풀이 만일 표면이 빔의 일부 f (즉, f는 입사빔 중 반사된 양의 비율이다) 만을 방출한다면, 방출된 빔에 의한 압력은 Pavg=f Savg /c이다. 70% 반사된 빔의 경우 압력은 레이저빔도 빔의 발산이 있어 빔의 세기는 감소한다. 또한 공기 분자들과의 산란 때문에 더 많은 에너지를 잃으므로 복사압은 더욱 감소한다.

34.6 안테나에서 발생하는 전자기파 (Production of Electromagnetic Waves by an Antenna) 정적인 전하나 정상 전류는 전자기파를 발생시킬 수 없다. 하지만, 도선 내의 전류가 시간에 따라 변할 때마다 도선은 전자기파를 발생시킨다. 이 복사의 근본적인 작동 원리는 대전된 입자의 가속이다. 대전된 입자는 가속될 때마다 에너지를 복사한다. 반파 안테나에서는 그림처럼 두 개의 전도체 막대가 교류 전압의 전원(LC 진동자 같은)에 연결되어 있다. 각 막대의 길이는 진동자가 진동수 f 로 작동할 때 방출되는 복사파 파장의 1/4과 같다. 안테나의 양끝을 오가는 전하의 운동을 나타내는 전류 때문에 생기는 자기력선은 모든 지점에서 전기력선과 수직이다. 안테나에서 아주 먼 거리에서는 시간에 따라 변하는 자기장에 의한 전기장의 연속적 유도와 시간에 따라 변하는 전기장에 의한 자기장의 유도가 복사의 원천이다.

34.7 전자기파의 스펙트럼 (The Spectrum of Electromagnetic Waves) 라디오파(radio wave) : λ 104m ~ 0.1m 라디오와 텔레비전 통신에 사용 마이크로파(microwave) : λ 0.3m ~ 10-4m 레이더, 전자레인지 등 적외선(infrared wave) : λ 10-3m ~ 7 × 10-7m 물리 치료, 적외선 촬영 등 가시광선(visible light) : λ 7 × 10-7m ~ 4 × 10-7m 사람이 인식할 수 있는 파장

자외선(ultraviolet wave) : λ 4 × 10-7m ~ 6 × 10-10m 백내장의 발생과 관련, 소독 등에 사용됨 대부분은 성층권 (stratosphere)이라 하는 층에 존재하는 오존(O3) 분자 들에 흡수된다 X-선(X-ray) : λ 10-8m ~ 10-12m 의료 분야의 진단용 도구나 암 치료에 사용 결정 구조 연구나 비파괴 검사 등에도 사용 감마선(gamma ray) : λ 10-10m ~ 10-14m 방사선 핵의 핵 반응 중에 발생 우주에서 지구의 대기권으로 들어오는 우주선의 성분 중 하나 투과성이 높으며 파장이 짧기 때문에 유전자 구조에 영향을 미친다. 원자병의 원인