파동방정식

응력 응력의 크기는 단위면 적당 작용하는 힘 P= lim ∆𝐴→0 ∆𝐹 ∆𝐴 = 𝑑𝐹 𝑑𝐴 𝑃 11 𝑃 12 𝑃 13 𝑃 21 𝑃 22 𝑃 23 𝑃 31 𝑃 32 𝑃 33 평형상태의 물체에 작 용하는 응력에서는 전 단응력에 해당하는 성 분이 같다. 𝑃 12 = 𝑃 21 𝑃 13 = 𝑃 31 𝑃 23 = 𝑃 32

변형률 변형이 매우 작은 경우 미소벡터du의 세 성분을 테일러급수로 전개하면 𝑑 𝑢 = 𝑗=1 3 𝜕 𝑢 𝑖 𝜕 𝑥 𝑗 𝑑 𝑥 𝑗 ;𝑖=1,2,3 𝑑 𝑢 1 𝑑 𝑢 2 𝑑 𝑢 3 = 𝜕 𝑢 1 𝜕 𝑥 1 𝜕 𝑢 1 𝜕 𝑥 2 𝜕 𝑢 1 𝜕 𝑥 3 𝜕 𝑢 2 𝜕 𝑥 1 𝜕 𝑢 2 𝜕 𝑥 2 𝜕 𝑢 2 𝜕 𝑥 3 𝜕 𝑢 3 𝜕 𝑥 1 𝜕 𝑢 3 𝜕 𝑥 2 𝜕 𝑢 3 𝜕 𝑥 3 𝑑 𝑥 1 𝑑 𝑥 2 𝑑 𝑥 3 , dU=TdR

변형률 T=S-A 이며 여기서 S= 1 2 𝑡 ′ +𝑡 , A= 1 2 𝑡 ′ −𝑡 대칭텐서 S의 성분 𝑒 𝑖𝑗 = 1 2 𝜕 𝑢 𝑗 𝜕 𝑥 𝑖 + 𝜕 𝑢 𝑖 𝜕 𝑥 𝑗 ; i,j=1,2,3 반대칭텐서 A의 성분 𝑤 𝑖𝑗 = 1 2 𝜕 𝑢 𝑗 𝜕 𝑥 𝑖 − 𝜕 𝑢 𝑖 𝜕 𝑥 𝑗 ; i,j=1,2,3 S= 𝑒 11 𝑒 12 𝑒 13 𝑒 12 𝑒 22 𝑒 23 𝑒 13 𝑒 23 𝑒 33 , A= 0 𝑤 12 𝑤 13 −𝑤 12 0 𝑤 23 −𝑤 13 −𝑤 23 0

변형률 Q점에서의 총 변위 ≡U+SdR−Adr S는 변형, A는 회전을 나타낸다.

변형률 체적팽창률(𝜃) ∆𝑉 𝑉 =𝜃= 1+ 𝑒 11 1+ 𝑒 22 1+ 𝑒 33 𝑑 𝑥 1 𝑑 𝑥 2 𝑑 𝑥 3 −𝑑 𝑥 1 𝑑 𝑥 2 𝑑 𝑥 3 𝑑 𝑥 1 𝑑 𝑥 2 𝑑 𝑥 3 𝑑 𝑥 𝑖 가 0에 가까운 값을 가지면 𝜃= 𝑒 11 + 𝑒 22 + 𝑒 33 𝜃= 𝜕 𝑢 1 𝜕 𝑥 1 + 𝜕 𝑢 2 𝜕 𝑥 2 + 𝜕 𝑢 3 𝜕 𝑥 3 =𝛻∙𝑢 ξ=( ξ 23 , ξ 31 , ξ 12 )= 1 2 𝛻×𝑢 체적팽창률은 u의 다이버전스, ξ 𝑖𝑗 는 u의 컬성분의 1 2

후크의 법칙 후크 법칙은 용수철과 같이 탄성이 있는 물체가 외력에 의해 늘 어나거나 줄어드는 등 변형되었을 때 자신의 원래 모습으로 돌 아오려고 반항하는 복원력의 크기와 변형의 정도의 관계를 나 타내는 물리 법칙이다. 따라서 𝑒 12 = 𝑒 21 , 𝑒 13 = 𝑒 31 , 𝑒 23 = 𝑒 32 9ⅹ9 매트릭스에서 6ⅹ6매트릭스로 축소할 수 있다. 이에 필요한 상수의 개수는 36개이다. 삼사정계의 경우 21개의 상수 필요, 등축정계의 경우 3개의 상수 필요 등방성고체의 경우 2개의 상수필요

후크의법칙 등방성물질에대한 후크의 법칙 𝑃 11 =𝐴 𝑒 11 +𝐵 𝑒 22 + 𝑒 33 =𝐵𝜃+ 𝐴−𝐵 𝑒 11 𝑃 23 =(𝐴−𝐵) 𝑒 23 여기서 𝑒 23 는 전단각의 1 2 이므로 (A-B)는 2µ(강성률) B(Lame상수)는 λ로 표시 𝑃 𝑖𝑗 =λ 𝜃 δ 𝑖𝑗 + 2µ 𝑒 𝑖𝑗 ; i,j=1,2,3 δ 𝑖𝑗 = 1 ;𝑖=𝑗 0 ;𝑖≠𝑗 즉, 등방성 물질의 탄성성질은 두 개의 탄성상수로 나타낼 수 있다.

탄성상수

파동방정식 𝑥 3 축에 직교하는 두 면 사이의 응력차에 따른 운동방정식 (𝑥 3 방향) 𝑥 3 축에 직교하는 두 면 사이의 응력차에 따른 운동방정식 (𝑥 3 방향) 𝑃 33 + 𝜕 𝑃 33 𝜕 𝑥 3 ∆ 𝑥 3 ∆ 𝑥 2 ∆ 𝑥 1 − 𝑃 33 ∆ 𝑥 2 ∆ 𝑥 1 = 𝜕 𝑃 33 𝜕 𝑥 3 ∆𝑉 나머지 2쌍의 면에서의 𝑥 3 방향의 힘까지 포함 𝜕 𝑃 33 𝜕 𝑥 3 + 𝜕 𝑃 23 𝜕 𝑥 2 + 𝜕 𝑃 13 𝜕 𝑥 1 ∆𝑉 이 힘에 의하여 밀도가ρ인 체적요소는 𝑥 3 방향으로 𝑢 3 만큼의 변 위생성

파동방정식 뉴턴에 제2법칙(F=ma)에 적용하여 운동방정식을 구하면 𝜌 𝑑 2 𝑢 3 𝑑 𝑡 2 ∆𝑉= 𝑗=1 3 𝜕 𝑃 𝑗3 𝜕 𝑥 𝑗 ∆𝑉 모든 면에 대한 운동방정식 𝜌 𝜕 2 𝑢 𝑖 𝜕 𝑡 2 = 𝑗=1 3 𝜕 𝑃 𝑖𝑗 𝜕 𝑥 𝑗 ; i=1,2,3 (응력은 측정이 어려움) 𝜌 𝜕 2 𝑢 𝑖 𝜕 𝑡 2 = 𝑗=1 3 𝜕 𝜕 𝑥 𝑗 (λ 𝜃 δ 𝑖𝑗 + 2µ 𝑒 𝑖𝑗 ) (응력대신 변형률사용) = λ 𝜕𝜃 𝜕 𝑥 𝑖 +µ 𝑗=1 3 𝜕 𝜕 𝑥 𝑗 ( 𝜕 𝑢 𝑗 𝜕 𝑥 𝑖 + 𝜕 𝑢 𝑖 𝜕 𝑥 𝑗 ); i=1,2,3,

파동방정식 𝜌 𝜕 2 𝑢 𝑖 𝜕 𝑡 2 =λ 𝜕𝜃 𝜕 𝑥 𝑖 +µ 𝑗=1 3 𝜕 𝜕 𝑥 𝑗 ( 𝜕 𝑢 𝑗 𝜕 𝑥 𝑖 + 𝜕 𝑢 𝑖 𝜕 𝑥 𝑗 ) ; i=1,2,3 라플라시안 연산자 𝛻 2 =( 𝜕 2 𝜕 𝑥 1 2 + 𝜕 2 𝜕 𝑥 2 2 + 𝜕 2 𝜕 𝑥 3 2 ) 를사용 𝜌 𝜕 2 𝑢 𝑖 𝜕 𝑡 2 =(λ+ µ) 𝜕𝜃 𝜕 𝑥 𝑖 +µ 𝛻 2 𝑢 𝑖 ; i=1,2,3 𝜌 𝜕 2 𝑢 𝜕 𝑡 2 =(λ+ µ) 𝛻𝜃+µ 𝛻 2 𝑢 (벡터로 표기)

파동방정식 𝜌 𝜕 2 𝑢 𝜕 𝑡 2 =(λ+ µ) 𝛻𝜃+µ 𝛻 2 𝑢 종파와 횡파 성분으로 분해가능 양변에 다이버전스를 해줌 𝜌 𝜕 2 𝑢 𝜕 𝑡 2 =(λ+ µ) 𝛻𝜃+µ 𝛻 2 𝑢 종파와 횡파 성분으로 분해가능 양변에 다이버전스를 해줌 𝜌 𝜕 2 𝜕 𝑡 2 (𝛻∙𝑢)=(λ+µ) 𝛻∙ 𝛻𝜃+µ 𝛻 2 𝑢(𝛻∙𝑢) 𝜃= 𝜕 𝑢 1 𝜕 𝑥 1 + 𝜕 𝑢 2 𝜕 𝑥 2 + 𝜕 𝑢 3 𝜕 𝑥 3 =𝛻∙𝑢 를대입 𝜌 𝜕 2 𝜃 𝜕 𝑡 2 =(λ+2µ) 𝛻 2 𝜃 , 1 𝛼 2 𝜕 2 𝜃 𝜕 𝑡 2 = 𝛻 2 𝜃 𝛼 2 = λ+2µ 𝜌 𝑉 𝑝 2 = λ+2µ 𝜌

파동방정식 𝜌 𝜕 2 𝑢 𝜕 𝑡 2 =(λ+ µ) 𝛻𝜃+µ 𝛻 2 𝑢 양변에 컬 을해줌 𝜌 𝜕 2 𝑢 𝜕 𝑡 2 =(λ+ µ) 𝛻𝜃+µ 𝛻 2 𝑢 양변에 컬 을해줌 𝜌 𝜕 2 𝜕 𝑡 2 (𝛻×u)=µ 𝛻 2 (𝛻×u) ξ=( ξ 23 , ξ 31 , ξ 12 )= 1 2 𝛻×𝑢 를 대입 1 𝛽 2 𝜕 2 ξ 𝜕 𝑡 2 = 𝛻 2 ξ 𝛽 2 = µ 𝜌 𝑉 𝑠 2 = µ 𝜌