Potential Barrier & Quantum Tunneling 9조 조익수 김호영

Some classical physics m=전자의 질량, γ=감쇠 상수, N=단위 부피당 전자의 개수, w=입사파의 각 진동수, w0=고유 진동수, 아래에 있는 식은 양자 역학적 효과를 고려한 것, 한 종류의 원자는 여러 개의 고유 진동수를 가짐, 진동자 세기는 일종의 가중치

Some classical physics 복소수 굴절률? 사진에서 볼 수 있듯이 굴절률을 가지는 부분에서 진폭이 지수적으로 감소하는 것을 확인 할 수 있는데, 이는 quantum tunneling 에서도 매우 유사하게 나타남.

Potential barrier Potential (energy) Barrier

What is quantum tunneling? 특정 높이의 퍼텐셜 장벽보다 낮은 에너지를 가지고 있어 고전적으로 생각하면 장벽을 통과하지 못할 물질이, 실제로는 통과할 수도 있다는 것이 관측

Potential Barrier: 고전역학 입자 The particle in rest on a hill… …gains kinetic energy equal to the change in the potential energy difference between the hill and the ground. 언덕 Thornton (2013), p. 226 땅

Potential Barrier: 고전역학 What if the particle now encounters Hill B which is higher than Hill A? ??? 입자 …according to classical mechanics, the particle does not have enough kinetic energy to roll up to the peak of Hill B and continue on the other side. 언덕 A 언덕 B 땅

Potential Barrier: 고전 vs 양자 In classical mechanics, the particle has a well-defined energy at any given moment. In quantum mechanics, it turns out that the concept of energy is not that simple. A real, spatially localized ‘particle’ would be described by a wave packet, which is a sum of multiple waves. From this we have energy-time uncertainty principle. Recall: (Thornton (2013), p. 188 참고) Thornton (2013), p. 179 ΔEΔt ≥ ℏ 2

Potential Barrier: 고전 vs 양자 In classical mechanics, if E > V0, then no reflection occurs. If E < V0, then total reflection occurs. This is understandable when we see that a particle has a defined energy. Now, in quantum mechanics, the particle has a range of energies. Here we can compute only probabilities. For sure, if E << V0, then quantum mechanics also predicts almost total reflection, similar to classical mechanics. But what if E ~ V0? Turns out the calculation is not that trivial! Thornton (2013), p. 226-227

Potential barrier with E < V0 x V(x) Region I Region II Region III +x direction Assume: The incident particle moves along the +x direction. Region I (x < 0) V = 0 Region II (0 < x < L) V = V0 Region III (x > L) V = 0 Solving the time-independent Schrodinger equation for each region, − ℏ2 2𝑚 𝑑 2 𝛹(𝑥) 𝑑𝑥2 +𝑉(𝑥)Ψ(x) = EΨ(x), we get the wave numbers: kI = kIII = 2𝑚𝐸 ℏ (where 𝑉=0) kII = 2𝑚(𝑉0−𝐸) ℏ (where 𝑉=𝑉0)

Potential barrier with E < V0 x V(x) Region I Region II Region III +x direction We have the wave numbers as follows: kI = kIII = 2𝑚𝐸 ℏ kII = 2𝑚(𝑉0−𝐸) ℏ Solving the Schrodinger equation for three regions, we have the following wave functions: (Thornton (2013), p. 226-228 참고) Region I (x < 0) ΨI = A 𝑒 𝑖 𝑘 I 𝑥 + B 𝑒 −𝑖 𝑘 I 𝑥 Region II (0 < x < L) ΨII = C 𝑒 𝑖 𝑘 II 𝑥 + D 𝑒 −𝑖 𝑘 II 𝑥 Region III (x > L) ΨIII = E 𝑒 𝑖 𝑘 III 𝑥 + F 𝑒 −𝑖 𝑘 III 𝑥 In Region III, there are no particles initially moving along the –x direction, so G = 0.

T = [1 + 𝑉0 2 sinh2(𝜅𝐿) 4𝐸(𝑉0 −𝐸) ] −1 ,where 𝜅 = 2𝑚(𝑉0−𝐸) ℏ Because kI = kIII and G = 0,we can summarize these wave functions as follows: Incident wave ΨI (incident) = A 𝑒 𝑖 𝑘 I 𝑥 Reflected wave ΨI (reflected) = B 𝑒 −𝑖 𝑘 I 𝑥 Transmitted wave ΨIII (transmitted) = F 𝑒 𝑖 𝑘 I 𝑥 Now, the probability of particles being transmitted is determined by calculating the ratio of the appropriate Ψ *Ψ. Reflection probabilities: R = |ΨI(reflected)|2 |ΨI(incident)|2 = 𝐵∗𝐵 𝐴∗𝐴 Transmission probabilities: T = |ΨIII(transmitted)|2 |ΨI(incident)|2 = 𝐹∗𝐹 𝐴∗𝐴 And R + T = 1 (∵ The particles must be either reflected or transmitted.) Solving the above equations under the boundary conditions x → ±∞, x = 0, and x = L, we get: T = [1 + 𝑉0 2 sinh2(𝜅𝐿) 4𝐸(𝑉0 −𝐸) ] −1 ,where 𝜅 = 2𝑚(𝑉0−𝐸) ℏ

T = [1 + 𝑉0 2 sinh2(𝜅𝐿) 4𝐸(𝑉0 −𝐸) ]−1,where 𝜅 = 2𝑚(𝑉0−𝐸) ℏ (*) So we get an exponentially decreasing solution. When the barrier is thin enough, some of the probability wave "leaks" through it and continues to exist on the other side of the barrier! It effectively tunnels through it. By contrast, when the barrier is too thick or the energy gap too large, 𝜅𝐿 >> 1, and the transmission probability equation (*) reduces to T = 16 𝐸 𝑉0 (1 - 𝐸 𝑉0 ) 𝑒 −2𝜅𝐿 And T ≃ 0. So we don’t usually see tunneling effects in the macroscopic world.

History of quantum tunneling 고등학교 화학시간에 배우는 훈트 법칙의 그 훈트. 오른쪽 위 사진에 보이는 것은 파동방정식의 제일 위에 그려진 원자 퍼텐셜에서의 해. 양끝은 무한 퍼텐셜이니 일종의 정상파 상태로 존재, 양자수에 따라 에너지가 다름. 분자는 원자가 여러 개 모인 것, 예시로 NH3 고전적으로 피라미드 모형을 생각해 볼 수 있는데 가운데 있는 질소 원자는 대칭적 double-well potential안에 있게 됨. 질소의 wave function 은 위에 그려진 것 같은 형태가 됨, 그리고 어떤 odd function 과 even function 형태의 해에 대해 둘의 에너지 차이 만큼의 전자기파를 입사해주게 되면 일종의 superposition 상태가 되어 가운데 있는 일정한 높이의 퍼텐셜을 지나다님: potential barrier penetration, quantum tunneling. 이때 여기서 유도되는 진동수가 inversion frequency라 해서 분자 스펙트럼과 관련이 있는 듯 함. 최대한 이해한 것을 정리한 것이라 정확하지 않을 수 있음. Friedrich Hund 1927년 분자의 스펙트럼(molecular spectra) 을 연구하는 과정에서 원자가 고전적으로는 통과하지 못하는 potential barrier를 통과함을 제안함

History of quantum tunneling Lothar Nordheim 1927 열을 가한 금속에서 방출되는 전자와 금속 표면에서의 전자의 반사연구 위 사진은 금속 표면에서의 퍼텐셜을 모델링한 것, 파동함수 계산결과 투과와 반사가 모두 일어남 이 사각형 모델은 여러 군데에서 애용됨

History of quantum tunneling 1921 Hans geiger의 실험 Polonium 212에 알파선 산란: Uranium 238 의 쿨롱퍼텐셜의 높이가 최소 8.57Mev Uranium 238 의 알파붕괴 전과 후의 질량을 비교해서 알 수 있는 알파선의 에너지 약 4.25Mev와 비교해서 한참 높음 즉 고전적으로 생각하면 알파 붕괴는 일어나면 안 됨 산란 실험에서 어떻게 하면 퍼텐셜장벽 높이가 나오는지는 잘 모르겠음.

History of quantum tunneling George gamow, Ronald Gurney&Edward condon 1928 두 팀이 독립적으로 quantum tunneling 으로 알파붕괴를 설명할 수 있음을 제안 위의 사진은 george gamow, 아래 사진은 Ronald Gurney&Edward Condon 이 사용한 사진

Alpha decay! 알파 붕괴를 설명한는것에 교재나 인터넷 상에서 자주 사용되는 모형, 가파르게 깎이는 부분은 매우 좁은 범위 안에서만 엄청나게 강하게 작용하는 핵력, 그 바깥으로는 쿨롱 힘이 지배적. 특정한 반감기를 가지고 학률적으로 붕괴하는 알파붕괴의 특성을 잘 설명해줌.

Half-life of 238U 𝑣 2𝑅 𝑇=𝛾, 𝑙𝑛2 𝑇 1 2 =𝛾 238U⇒234Th+4He 핵 반지름≈8fm, 장벽 두께≈52fm, 알파선 에너지≈4.25𝑀𝑒𝑣, 질량≈6.64∗ 10 −27 , 속력≈1.43∗ 10 7 m/s V(r)= 2 𝑍−2 𝑒 2 4𝜋 𝜀 0 𝑟 𝑇≈ 𝑒 −2 8𝑓𝑚 60𝑓𝑚 2𝑚(𝑉 𝑟 −𝐸) ℏ 2 𝑑𝑟 𝑣 2𝑅 𝑇=𝛾, 𝑙𝑛2 𝑇 1 2 =𝛾 𝑇≈8.18∗ 10 −42 , 𝑇 1 2 ≈9.48∗ 10 19 , 실제 반감기 1.41* 10 17 𝑠 T의 근사는 WKB 근사를 쓰면 얻을 수 있다함, 자세한건 모르겠음, 교재에 있는 예제에서 얻은 값은 10^20s 조금 더 가깝게 줄이긴 했어도 여전히 실제와는 차이가 많이 남, 쿨롱 퍼텐셜 만을 고려한 것과, 여러 수치를 근사치를 사용한 점, 그리고 T를 근사해서 사용한 점 등이 영향을 미쳤다고 생각함

Diode 반도체는 valance band 와 conduction band 사이의 간격이 있지만 좁은 물질. 보통은 도핑을 하여 p 형에는 양공이, n형에는 전자가 전하 운반자 역할을 하게 됨. P형과 n형 반도체를 붙여놓으면 서로 다른 부호의 전하 운반자들이 확산을 하게되고(p형에는 전자가, n형에는 양공의 밀도가 낮기 때문) 이로인해 depletion region이라는 퍼텐셜 장벽이 생김. 왼쪽아래에서 그것을 확인해 볼 수 있음, 단 쿨롱퍼텐셜이 아닌 전자에너지를 나타낸 것이므로 퍼텐셜과는 부호반대. 순방향 전압과 역방향 전압은 각각 depletion region의 너비를 좁히고 넓혀 확산전류가 더 많이 흐르거나 적게 흐르도록 함, 그 결과 오른쪽 아래와 같은 전류 그래프가 나타나게 됨.

Tunnel diode 위의 그림의 점선이 무엇을 의미하는지는 정확히 이해못했지만 아무래도 n쪽은 점선 아래의 전자만 터널링하고, p쪽은 점선 위쪽으로만 전자가 터널링해서 들어갈 수 있는 것은 확실해 보임. 아마 일반물리학에서 가져온 두번째 사진에 있는 전자와 양공이 몰려있는 경계선이 그것이 아닐까 생각 중, 터널 다이오드는 도핑을 엄청나게 시킨 다이오드.

Reverse bias 역전압을 걸면 매우 빠르게 전류가 0가 되는 일반적인 다이오드와는 달리, 터널 다이오드는 순전압일 때와 반대 방향으로 터널링이 일어나기 때문에 반대 방향의 전류가 흐르게 된다.

Scanning Tunneling Microscopy 왜 필요한가? 가시광선을 이용하는 microscopy는 빛의 회절 때문에 해상도의 한계가 있음. (약 250 nm정도로 봄). 이에 반해 전자의 파장을 이용하면, 100KeV로 가속할 경우 이론적으로 3.80 pm 정도까지 해상도를 올릴 수 있음. STM An analogy: A stylus in the groove of a record, at the atomic level… But the ‘tip’ does not actually make physical contact with the specimen. (동영상) http://www.nanoscience.de/HTML/methods/stm.html

STM: 원리 The sample is positively or negatively biased so that a small current, the “tunneling current“, flows between the tip and the sample. (There is a vacuum in-between.) Electrons “leap” the gap between the tip of a sharp probe and the surface of the scanned sample. Variations in distance between the tip and surface alter the amount of tunneling current. As the tip is scanned over the surface, the tunneling signal is converted into a topographic map. …giving us information about the height profile, as well as magnetic and electrostatic properties, friction, hardness, etc.

STM: 예시 보라색 공들은 실리콘 원자를 나타냄. Image courtesy: UC Irvine 26개의 탄소원자와 14개의 수소원자가 모여 세 개의 benzene-like rings를 이루고 있는 모습. Image courtesy: UC Berkeley 세상에서 가장 작은 “stop motion film” https://www.youtube.com/watch?v=oSCX78-8-q0