5장 회로망의 정리 및 해석법 5.1 회로망의 용어 5.2 직·병렬 회로망 5.3 사다리회로망 5.4 분압기의 부하 5.5 브리지 회로망 5.6 중첩의 원리 5.7 테브낭의 정리 5.8 노튼의 정리 5.9 밀만의 정리 5.10 상반정리

d 절점 또는 마디 ( node or vertex ) 회로망에서 두 개 이상의 소자가 연결되는 점 + + - - (2) 지로 또는 가지 ( branch ) 절점과 절점 사이에 연결된 회로 (3) 회로망 그래프 ( network graph ) 소자 종류에 관계없이 절점 사이를 모두 연결한 것 d

(4) 폐로 (loop) 몇 개의 지로를 통하여 일주하면서 완결되는 폐회로 (closed loop) (5) 평면 회로망 ( planner network ) 어떤 지로도 교차되지 않도록 그릴 수 있는 회로망을 말하며, 그와 같이 그릴 수 없는 것은 비평면 회로망이라 함 (6) 메시 ( mesh ) 평면 회로망에서 형성되는 작은 폐회로 (예, a → b → d, b → c → d 등) (7) 방향성 그래프 ( directed graph ) 화살표를 표시하여 전류의 방향과 전압 강하의 방향을 표시한 그래프

(8) 트리 ( tree ) 회로망 그래프에서 모든 질점을 폐로의 형성없이 연결한 부분 그래프(sub – geaph) 를 말하며, 회로망에서 트리는 여러 개 있을 수 있다. ③ ① ② (9) 링크 ( link ) 주어진 트리에 대하여 트리 지로 이외의 회로망 그래프의 모든 지로를 말하며, 링크의 수는 지로의 총 수에서 트리 지로의 총수를 뺀 값이 된다. ② ① ②

(10) 능동 회로망 ( active network ) 회로망 중에 전원을 포함하는 것 (11) 수동 회로망 ( passive network ) 회로망 중에 전원을 포함하지 않는 것 (12) 능동소자 ( active element ) 회로망 소자 중에 에너지를 공급하는 소자 (에, 다이오드, 트랜지스터 등) 신호의 증폭 및 주파수변환에 적용된다 (13) 수동소자 ( passive element ) 회로망 소자 중에 에너지를 공급할 수 없는 소자 ( 예, 저항(R), 인덕터(L), 콘덴서(C) ) 통상 시스템에서 송수신단에서 정해진 대역의 신호만을 통과시키는 필터로 주로 사용. (14) 선형소자 ( linear element ) 수동 소자의 전압, 전류 특성이 직선 이외의 형태로 나타나는 소자 (15) 선형 회로망 ( linear network ) 선형 소자만으로 구성된 회로망 (16) 비선형 회로망 ( nonlinear network ) 비선형 소자를 포함하는 회로망

5.3 사다리회로망(ladder network) 5.2 직·병렬 회로망 5.3 사다리회로망(ladder network) ► 여러 개의 임피던스를 직렬과 병렬로 반복 접속한 회로 Z1 Z2 Z3 Z4 Z5 Zn-2 Zn-1 Zn < 그림 5.1 사다리 회로망 > ☞ 사다리 회로망의 해석방법 ►두 가지 방법이 있다. ① 먼저 전체 저항과 전류를 구하는 방법과 ② 가지에서 모든 전류를 표기하고 키르히호프 법칙 적용하는 방법

① 먼저 전체 저항을 구해서 전류를 구하는 방법 아래의 회로를 보면; 6 W 1 W 5 W 4 W 2 W 240 V 1 W

∴ 6 W 5 W 240 V 3 W 5 W 240 V 6 W 1 W 5 W 4 W 2 W 240 V ∴ 5 W 에서 전압강하 ∴ 6 W 에서 전압강하 6 W × 5 A = 30 V ∴ 1 W 에서 전압강하 1 W × 10 A = 10 V ∴ 2 W 에서 전압강하

② 가지에서 모든 전류를 표기하고 키르히호프 법칙 적용하는 방법 5 W 4 W 1 W IS 240 V 6 W 6 W 2 W I1 = I2 + I3 I3 = I4 + I5 ► I5 × 3 W = I4 × 6 W , ∴ I5 = 2I4 I3 × 4 W + I4 × 6 W - I2 × 6 W = 0 I3 × 4 W + I4 × 6 W - I2 × 6 W = 0 ∴ I1 × 5 W + I2 × 6 W – 240 V = 16I2 – 240 V = 0 ∴ I2 = 15 A ∴ I1 = 30 A, I2 = I3 = 15 A, I4 = 5 A, I5 = 10 A,

►상기 전압원에 부하가 저항 RL인 부하가 걸리면, 분압은 ? 5.4 분압기의 부하 ►전압원에서 필요한 크기의 전압을 얻는 방법 VL0 : 무부하 분압 RT E + R1 R2 _ VL0 ►상기 전압원에 부하가 저항 RL인 부하가 걸리면, 분압은 ? RT E + R1 R2 _ VL 저항 R1 과 부하저항 RL 은 병렬, 합성저항 R’ 은 R’ = R1 + RL R1 · RL

5.4 분압기의 부하 ►출력전압을 적절하게 제어하기 위해서는; ① 예를 들어 아래와 같이 가변자 축을 설정하면, RT = 1 MW, 부하저항 RL = 100 W RT 10V + 100 kW 900 kW _ 100 W R’ = R1 + RL R1 · RL = 99.89 W VL = R’ + R2 R’ · E ∴ 분압 = R’ = R1 + RL R1 · RL = 99.89 W ► 가변자 축을 중앙에 설정해도, VL = ∴ 분압 = V = ☞ 유효전압 VL은 인가전압 10V에 비해 대단히 작다, 그러나 반대로

☞ 중간위치에서 유효전압 VL은 인가전압 10V에 비해 40 % 를 획득할 수 있다. ② 예를 들어 아래와 같이 가변자 축을 설정하면, RT 10V + 10 kW 90 kW _ 1 MW RT = 100 W, 부하저항 RL = 1 MW R’ = R1 + RL R1 · RL = 10 W VL = R’ + R2 R’ · E ∴ 분압 = ③ RT = RL = 100 W 가변자 축을 중앙에 설정하면, R’ = 50 + 100 50 · 100 = 33.33 W VL = R’ + R2 R’ · E ∴ 분압 = ☞ 중간위치에서 유효전압 VL은 인가전압 10V에 비해 40 % 를 획득할 수 있다. 따라서 출력전압 측정 시에는 분압 저항이 높은 위치에서 분압기 제어

5.5 브리지 회로망(bridge circuit) ►회로망 내에서 R, L, C 값을 측정하는데 보편적으로 사용 ◎ 회로의 b와 c의 전위가 같다면(평형상태라 함) → D에는 전류가 흐르지 않는다 Z1 Z4 Z2 Z3 D a c b d I1 I2 ∴ I1 Z1 = I2 Z3 / Z1 = I2 Z4 / Z2 ∴ 평형조건은

식 ②와 ③에서, 2I3 - I6 = 4I1 - 2I2 ·········· ④ 예제 5.2) 각 소자에 흐르는 전류를 구하시오. I 4W 1W 2W ► 5 W 키르히호프 법칙을 적용하면, 3 W 20V ··········① ··········② 5(I4 - I5) = 2I3 - I6 ··········③ 식 ②와 ③에서, 2I3 - I6 = 4I1 - 2I2 ·········· ④ 식 ①과 ④에서, 2I3 - I6 = I6 - 2I3 ► 2I3 = I6 , I4 = I5 , 2I1 = I2 , I = 3I1 ► I4 = I5 ,이므로 5W 에는 전류가 흐르지 않는다. 따라서 키르히호프 전압 법칙을 적용하면, ► I1 = 4/3 [A], I2 = 8/3 [A], I = 4 [A]

5.6 중첩의 원리(principle of superposition) 다수의 독립 전압원과 독립 전류원이 있을 때 회로의 전압과 전류는, 각각의 전압원과 전류원이 단독으로 있을 때의 전압, 전류를 합한 것과 같다. --> 단독이란, 다른 전압원은 단락, 다른 전류원은 개방을 의미함. ►전압원 단락의 의미 예) 1 [W] 의 저항 단자에 걸리는 전압은 몇 [V] 인가 ? 1 [W] 100 V 40 [A] 1 [W] 40 [A] -> 전압원 단락 = 1 [W] 40 [A] 0 [W] 저항이 0 [W] 인 회로이므로 전류가 모두 단락된 단자로 흘러버림

► 전류원 개방 -> 전류원 개방 개방하면, 회로가 된다. 즉, 개방된 회로는 저항이 인 회로가 1 [W] 100 V 40 [A] 1 [W] 100 V -> 전류원 개방 개방하면, 회로가 된다. 즉, 개방된 회로는 저항이 인 회로가 되므로, 전류가 흐르지 못함.

예제) 아래의 회로에서 중첩의 원리를 사용해서 3[W]의 저항에 흐르는 전류 I3 를 구하시오 12V 3[W] 10V 4[W] I3 ① 10V 전압원 단락 12V 3[W] 2[W] 4[W] ∴ ► 2[W]에 흐르는 전류는 36 / 13 A × 2 / 3 = 24 / 13 [A] ······(1) ② 12V 전압원 단락 R2 = 2[W] 3[W] 10V 4[W] ∴ I = 25 / 13 [A] ► 2[W]에 흐르는 전류는 25 / 13 A × 3 / 5 = 15 / 13 [A] ······(2) ∴ 2[W]에 흐르는 전 전류는 (1)+(2) = 24/13 [A]+15/13[A} = 3 [A]

예제) 아래 회로에서 20 [W] 에 흐르는 전류는 얼마인가 ? 40 V 10 [A] 5 [W] I ① 전류원 개방; ② 전압원 단락; 20 [W] 40 V 5 [W] 20 [W] 10[A] 5 [W] I1 I2 전저항 25 [W], 전압 40 [V] 20 [W] 에 흐르는 전류 I2 는 ; 20 [W] 에 흐르는 전류 I는 I = I1 + I2 = 1.6 [A] + 2 [A] = 3.6 [A]

예제) 아래 회로에서 20 [W] 에 흐르는 전류는 얼마인가 ? 10 V 20 [W] 3[A] 5[W] I 예제) 아래 회로에서 20 [W] 에 흐르는 전류는 얼마인가 ? ① 전류원 개방; ② 전압원 단락; 10 V 20 [W] 5[W] I1 20 [W] 3[A] 5[W] I2 20 [W]에 흘는 전류 I2 = 회로의 전저항은 전류 I1 = I= I1 + I2 = 1 [A]

예제) 아래 회로에서 1[W]에 흐르는 전류 I는 얼마인가 ? 9 [A] 1[W] 2[W] 6 V I ① 전류원 개방시의 전류; ② 전압원 단락시의 전류; 1[W] 2[W] 6 V 9 [A] 1[W] 2[W] 전저항 3[W], 전압 6 [V] I2 = 9 [A] × 1 / 3 = 3 [A] 전류 전류  전류 I 는;

5.7 테브낭의 정리 IL = 전원을 포함하는 능동 회로부는 테브낭저항과 전원의 직렬 연결된 등가회로로 바꿀 수 있음. ZTh+ ZL VTh a ZL VTh a b 능동 회로부 ZL b ZTh IL VTh 테브낭 등가회로 방법 : ① 전원을 포함하는 회로망에서 a-b 단자를 개방시킨 상태에서 단자간의 전압 VTh 를 구한다. ② 전원은 단락, 전류원은 개방시키고 단자 a-b 에서 능동회로부의 임피던스 Zab 를 구한다. ③ 테브낭 전원 VTh 과 임피던스 Zab 를 직렬로 연결하면 등가회로가 된다.

예제 5.2) 테브낭 정리를 사용하여 등가회로를 구하고 RL = 2W 일 때 전류를 구하시오. 전원을 포함하는 능동 회로부로 분리 6[W] 3[W] 9 V RL 3[W] 9 V 6[W] RL 3[W] 9 V 6[W] b a 테브낭 등가회로로 전환 2[W] 6 V b a RL ① a-b 단자의 인가 전압 VTh 를 구한다. ∴ RL = 2W 일 때 전류는 1.5 A ► a-b 단자의 인가 전압 VTh 는 6W 의 전위차와 같다. ② 전원을 단락시키고 a-b 단자의 RTh 를 구한다. 3W 과 6W 의 이므로,

문제) 다음 그림의 회로망의 단자 a, b 사이에 7 [W] 의 저항을 접속하였을 때 7 [W] 에 흐르는 전류를 구하시오. 10 V 방법 ① 전원을 포함하는 회로망에서 a-b 단자를 개방시킨 상태에서 단자간의 전압 Vab 를 구한다. 6[W] 4[W] 0.6[W] a 10 V a-b 단자가 되었으므로 전류는4[W] 과 6[W]에 흐르며, 0.6[W]에는 않는다. 따라서 저항은 10 [W] ( = 6[W] +4[W])  전류는 10 [V] / 10 [W] = 1 [A] --> ab 단자간의 전압

문제) 다음 그림의 회로망의 단자 a, b 사이에 7 [W] 의 저항을 접속하였을 때 7 [W] 에 흐르는 전류를 구하시오. 10 V 방법 ② 전원은 단락, 전류원은 개방시키고 단자 a-b 에서 바라본 임피던스 Zab 를 직렬로 연결하면 등가회로가 된다. 6[W] 4[W] 0.6[W] a a-b 단자에서 볼때, 4[W] 과 6[W]은 병렬연결, 0.6[W]은 직렬로 연결되어 있으므로, 전체 임피던스 Zab = 2.4 [W] + 0.6 [W] = 3 [W]

문제) 다음 그림의 회로망의 단자 a, b 사이에 7 [W] 의 저항을 접속하였을 때 7 [W] 에 흐르는 전류를 구하시오. 10 V a b 3[W] 6 V 7[W] 등가회로 7[W] 등가회로의 전압은 6 [V], 전체 임피던스는 10 [W],  전류 I = 0.6 [A]

a - b 단자가 개방이므로 위의 2 [W]에는 전류가 흐르지 못함 전류는 1[A] 이므로 가운데 2 [W] 양단의 전압차는 테브난 등가회로 a - b 단자가 개방이므로 위의 2 [W]에는 전류가 흐르지 못함 전류는 1[A] 이므로 가운데 2 [W] 양단의 전압차는

5.8 노튼의 정리 능동 회로부도 하나의 전류원과 하나의 임피던스가 병렬 접속된 회로부로 대체할 수 있다. 테브낭 등가회로 RL 6[W] 3[W] 9 V RL 하나의 전류원과 하나의 임피던스 회로로 대체 2[W] 6 V

예제) RL = 2[W], 4[W] 일때 RL 에 흐르는 전류를 테브낭정리와 노턴 정리를 상요해서 각각 구하시오. 9 V RL ① 테브낭정리 사용 ► 등가회로는; ② 노턴정리 사용 ► 등가회로는; 2[W] 6 V RL RL 병렬 회로 예제) RL = 2[W] 일때 1.5 A = 4[W] 일때 1 A 예제) RL = 2[W] 일때 1.5 A = 4[W] 일때 1 A ∴ 동일한 결과를 구하게 된다.

예제) 아래 회로의 테브난 등가회로의 전압과 저항은 얼마인가 ? 4 [W] 8 [W] 2 [A] b a 테브난 등가회로 전류는 2[A] 이므로 8 [W] 양단의 전압차는 16 [V]. 단자 a-b 에서 본 저항은; 전류원 개방, 전원 단락이므로, 4 [W] 8 [W] b a 4 [W] 에는 전류가 흐르지 못함. 따라서 전체 저항은 8 [W]

문제) 다음 그림의 회로망에서 20 [W] 의 전위차는 몇 [V]인가 ? 8 [A] 20 [W] 4 [W] 테브난 등가회로 전체저항은 32 [W], 전류 I = 2[A], 전위차는 40 [V]

 전전류 I =  20 [W] 인덕턴스 양단간의 전압차는 ; 문제) 다음 그림의 회로망에서 20 [W] 의 전위차는 몇 [V]인가 ? 20 [W] 4 [W] 8 [W] 8 [A] 테브난 등가회로 4 [W] 콘덴서의 저항에는 앞에 허수 , 인덕턴스는 를 해 주면 된다. 직렬 연결이므로, 전체 임피던스 Z = -j8 [W] + j20 [W] – j4[W] = j8[W]  전전류 I =  20 [W] 인덕턴스 양단간의 전압차는 ;

5.9 밀만의 정리 회로망 내에 여러 개의 전압원이 병렬로 접속되어 있는 경우에 하나의 등가 전압원으로 변환시키는 방법 a b Z1 Z2 Z3 Vab E1 E2 E3 Z1 E1 + Z2 E2 + Z3 E3 + ……. Vab = Z1 1 + Z2 1 + Z3 1 + ……. G1 + G2 + G3 + ……. G1 E1 +G2 E2 +G3 E3 + ……. =

예제) 아래 회로에서 3W에 흐르는 전류를 구하시오. 10V 16V 8V 5W 4W 2W 3W Vab = = R = = 등가회로는; 3W에 흐르는 전류는, 2.105 V / 4.053W = 0.519 A

예제) Vab 를 구하시오 ? 5[V] 5[W] 20[V] 10[W] Vab Vab = =

예제) R을 흐르는 전류가 0 이 되기 위한 조건을 구하시오 ? E1 R2 E2 R

5.10 상반정리( reciprocity theorem )  가역정리 라고도 함 ►수동 선형 회로망에서, 한쪽 단자에 기전력을 가했을 때 다른 쪽 단자에 흐르는 전류와 그 기전력의 비는, 다른쪽 단자에 기전력을 가했을 때 이쪽 단자에 흐르는 전류와 그 기전력의 비와 같다. ☞ 다른 표현으로, ►수동회로망이 선형(linear)일 때, 입출력 단자를 상호교체 하여도 순방향 입출력비와 역방향 입출력비가 같음을 의미. 예제 5.6) 아래 두 회로에서 I1 = I2 임을 보이시오. V0 R2 A R1 R3 I’1 I1 V0 R2 A R1 R3 I’2 I2 V0 I1 V0 I2 ∴ I1 = I2 ► 상반정리에 의해, =

► 상반정리를 사용하면, 예제 5.6) 아래 두 회로에서 2I1 = I2 임을 보이시오. ① ② 회로 ①에서, 전저항은 , ∴ 12V 3W A 2W 6W I’1 I1 ① 24V 3W A 2W 6W I’2 I2 ② 회로 ①에서, 전저항은 , ∴ 회로 ②에서, 전저항은 , ∴ ∴ I2 = 2I1 ► 상반정리를 사용하면, 의 관계식에서 V0 I1 V’0 I2 = 2 [A] / 12 [V] = I2 / 24 [V] ∴ I2 = 4 [A] ► ∴ I2 = 2I1

6장 축전지(콘덴서) 6.1 정전용량 6.2 콘덴서의 구조 6.3 콘덴서의 종류 6.4 콘덴서의 충전과 방전 6.5 콘덴서의 접속 6.6 콘덴서에 축적된 에너지 보충 : 복합유전체

< 평행판 콘덴서 > < 두루마리형 콘덴서 > 6.1,2 정전용량 및 콘덴서의 구조 콘덴서 (혹은 축전기); 두 개의 도체 금속판을 마주보게 놓아서, 한쪽 면에는 “+” 전하를 반대 면에는 “-” 전하를 축적하도록 고안된 장치 ► 콘덴서의 기하학적 형태 두께 d 도체판 유전체 전선 < 평행판 콘덴서 > < 두루마리형 콘덴서 > - + < 구형콘덴서 >

☞ 콘덴서의 구조 절연피막 은전극 유전체 리드선

e S d d ☞ 정전용량의 정의 및 단위 V - - - - - ① 평행판 콘덴서의 정전용량 + + + + + - - - - - d +Q -Q ① 평행판 콘덴서의 정전용량 Q = CV ;축적되는 전하량(Q) = 정전용량(C) × 전위차(V) C = d e S = 8.854 × 10-12 × [F] er S = 8.854 × [pF] d er S 표. 물질의 비유전율 물질 비유전율 er 진공 1 공기 1.0006 운모 2.5 - 6.6 파라핀 2.0 - 2.3 유리 6.0 - 10.0 종이 1.2 - 2.6 석영 8.3 물 80.7 고무 2.0 - 3.5 니크롬 150×10-8 e = e0 · er ( er ; 비유전율 ) (e0 = 8.854 × 10-12 [N ·m2/C2]) ► 정전용량을 증가시키기 위해 도체판 사이에 유전체를 삽입한다. 유전체(dielectrics)란 절연물질 중에 분극이 가능한 물질임) 예) 콘덴서 금속판 사이에 석영을 삽입하면, er = 8.3 임으로 정전용량 C는 8.3 배 증가한다.

예제) 공기 중에 평행판 콘덴서가 있다. 두 판의 간격은 2 cm, C = 8.854 × [pF] d S 면적 S = 24 cm2 = 24 × (10-2 m)2 = 2.4 × 10-3 m2 거리 d = 2 cm = 2 × 10-2 m 예제) 극판면적 4 [cm2], 정전용량이 1 [pF] 인 종이 콘덴서를 만들때 비유전율 2.5, 두께 0.01 mm 인 종이 몇장이 필요한가 ? (04, 전기기사) C = = d e S 8.854 × 2.5 × 4 × 10-4 [pF] = 1 [pF] d =8.854 × 2.5 × 4 × 10-4 [m] = 8.854 × 10-3 [m] = 8.85 [mm] --> 885 장 필요 C = 8.854 ×2.4 × 10-3 / 2 × 10-2 [pF] = 1.063 [pF]

b - a b a C = 4p e ☞ 정전용량의 정의 및 단위 ② 구형 금속판의 정전용량 a Q ► C = 4p e a = 8.854 × 4p a [pF] ③ 구형 콘덴서의 정전용량 - + b a ► 그림과 같이 두 개의 구형 금속판으로 만든다. ► 내구의 반경은 작게 만든다. ► 내구는 “+”로 대전시키고 외구는 접지한다. ► 내구 반경 a, 외구 반경 b 인 경우 전기용량 C는; b - a b a C = 4p e 정전차폐 (shield)

6.3 콘덴서의 종류 ① 고정콘덴서 : 정전용량 값이 고정 ►종이콘덴서, 마이카 콘덴서, 마일러 콘덴서, 세라믹 콘덴서 및 전해 콘덴서 ② 가변콘덴서 : 정전용량 값이 가변 ►”바리콘”이라고도 하며, 공기가변콘덴서, 폴리가변콘덴서 등이 있음 극성이 정해짐 전해콘덴서 + - 고정콘덴서 가변콘덴서

► 콘덴서의 정전용량 (capacitance) 표시법 전해 콘덴서에는 원통표면에 캐패시턴스 값이 몇 F라고 적혀있다. 세라믹과 마일라 콘덴서의 경우에는 캐패시턴스가 표면에 적혀 있다. 154J 3 F 863K 예) 103K ; 앞의 두 숫자는 값, 세번째는 10의 승수이며 문자는 오차를 표시하며 단위는 pF 임 즉, 103 = 10 × 10 3 pF = 10000 pF = 10 nF , 오차 10 % 표 오차기호와 범위 기호 허용오차 M ∓ 20 % D ∓ 0.5 % K ∓ 10 % C ∓ 0.25 % J ∓ 5 % B ∓ 0.1 % G ∓ 2 % A ∓ 0.05 % F ∓ 1 % Z ∓ 0.025 %

예) 아래 세라믹과 마일라 콘덴서의 캐패시턴스 C 와 오차범위를 구하시오 A) 세라믹콘덴서 154J = 15 × 10 4 pF = 150000 pF = 150 nF , 오차 5 % 154J 863K B) 마일라 콘덴서 863K= 86 × 10 3 pF = 86000 pF = 86 nF , 오차 10 % 표 3.1 오차기호와 범위 기호 허용오차 M ∓ 20 % D ∓ 0.5 % K ∓ 10 % C ∓ 0.25 % J ∓ 5 % B ∓ 0.1 % G ∓ 2 % A ∓ 0.05 % F ∓ 1 % Z ∓ 0.025 %

- - + + 6.4 콘덴서의 충전과 방전 R ① 콘덴서의 충전 E S S +Q - - - - - - - - - -Q R R C i R-C 직렬회로에서 콘덴서의 충전 ① 콘덴서의 충전 S - V + + + + - - - - + +q -q R - + + + + + - - - - - + S +Q -Q R V ► 시간 t 일때 도체판에 축전된 전하를 q(t) 라 하자. ► 충분한 시간이 지나면 최종적으로 Q (=CV)의 전하가 축적된다면, q(t) =CV( 1 – e ) RC - t q(t) =CV e RC - t ② 콘덴서의 방전

충전은 q(t) = CV = Q 가 되어 최대의 전하가 축적되고, 방전은 q(t) = 0 으로 전하가 모두 소실된다. ① 콘덴서의 충전 ② 콘덴서의 방전 q(t) =CV( 1 – e ) RC - t Vm 0.368Vm t V q(t) =CV e RC - t Vm 0.632Vm t 5t V 시정수 t = RC 시간이 충분히 경과하면 ≈ 0 ► 시간이 충분히 경과하면 e ≈ 0 RC - t ► 따라서 시간이 충분히 경과하면, 충전은 q(t) = CV = Q 가 되어 최대의 전하가 축적되고, 방전은 q(t) = 0 으로 전하가 모두 소실된다. ☞ 위의 그래프에서, t 를 “시정수”라 하는데, 이는 최종 전압의 63.2 % 에 도달하는데 걸리는 시간.

► 시간이 충분히 지나면, 회로에 흐르는 전류 i(t) = 0 부호가 “-” 인 것은 충전시의 전류와 반대 방향임을 의미함 ① 콘덴서의 충전과 전류 q(t) =CV( 1 – e ) RC - t ► 전류 i(t) = dt dq(t) ∴충전시에 회로의 전류 i(t)는; i(t) = e RC - t R V ► 시간이 충분히 지나면, 회로에 흐르는 전류 i(t) = 0 ② 콘덴서의 방전과 전류 i(t) = e RC - t R -V ► 시간이 충분히 지나면, 회로에 흐르는 전류 i(t) = 0 부호가 “-” 인 것은 충전시의 전류와 반대 방향임을 의미함

예) 아래의 R-C 직렬회로에서 초기 전하 q(t)t=0 =0 이다. 4W 10V C=3mF i Q =CV = 30 mC ① 최종적으로 콘덴서에 축적되는 전하량은 ? ② 시정수는? 시정수 t = RC = 12 ms ③ t = RC 일떼 콘덴서에 축적된 전하량은 ? q(t=RC) =CV( 1 – e ) = RC - RC q(t) =CV( 1 – e ) RC - t 공식에서, 30( 1- e-1) mC q(t=RC) = 30 × 0.632 = 18.96 mC e = 2.718, 따라서 1/e = 0.368 ► (1-1/e) = 0.632 ④ t = 0 일때 전류는 ? ⑤ t = RC 일때 전류는 ? i(t) = e RC - t R V i(t) = 2.5 e RC - t i(t=RC) = 2.5 × 0.368 [A] = 0.92 [A] 공식에서, i(t=0) = 2.5 [A}

 Q = Q1 + Q2 = C1 V + C2V = (C1 + C2) V = C V 6.5 콘덴서의 접속 ① 콘덴서의 병렬접속 V C1 C2 Q1 Q2 병렬연결이므로, 각 축전기에 걸리는 전압은 같다. Q1 = C1 V, Q2 = C2 V 정전용량을 각각 C1, C2 라 하면,  전체 축적되는 전하를 Q라 하면,  Q = Q1 + Q2 = C1 V + C2V = (C1 + C2) V = C V  C = C 1 + C2 C V Q  콘덴서의 병렬연결에서, 등가정전용량은 병렬연결 되어 있는 각각의 콘덴서의 정전용량을 더해주면 된다.

② 합성전하량 Q= Q1 + Q2 + Q3 = CV = 2060 mF × 48 V = 98.88 [mC] 예제6.3) ① 합성정전용량 ② 합성전하량 ③ 각 극에 축적되는 전하량을 구하시오. ( V=48V, C1 = 800 mF, C2 = 60 mF, C3 = 1200 mF 임 ) C1 C2 C3 V ① 합성정전용량 C= C1 + C2 + C3 = 2060 mF ② 합성전하량 Q= Q1 + Q2 + Q3 = CV = 2060 mF × 48 V = 98.88 [mC] ③ 각 극에 축적되는 전하량 : Q1 = C1V = 800 mF × 48 V = 38.4 [mC] Q2 = C2 V = 60 mF × 48 V = 2.88 [mC] Q3 = C3V = 1200 mF × 48 V = 57.6 [mC] 1

 n 개의 콘덴서가 직렬 연결되면, 등가정전용량 C는; 6.5 콘덴서의 접속 ② 콘덴서의 직렬접속 직렬연결이므로, 매초 흐르는 전류의 크기는 각 콘덴서에서 동일하다. --> 즉 같은 전하량이 축적된다. C1 C2 V Q 전기용량을 각각 C1, C2 라 하고, C1에 걸리는 전압을 V1 , C2 에 걸리는 전압을 V2 라면,  V = V 1 + V2 = Q C1 + C2 C 1 C = C1 + C2  등가정전용량 C는; C V Q  n 개의 콘덴서가 직렬 연결되면, 등가정전용량 C는; + · · · 1 C = C1 + C2 C3 Cn

예제 6. 4) ① 합성정전용량 ② 합성전하량 ③ 각 극에 축적되는 전하량 ④ 각극에서 전압강하를 구하시오 예제 6.4) ① 합성정전용량 ② 합성전하량 ③ 각 극에 축적되는 전하량 ④ 각극에서 전압강하를 구하시오. (C1 = 200 mF, C2 = 50 mF, C3 = 10 mF 임 ) C2 C3 60V C1 ① 합성정전용량 1 C = 1 C1 + 1 C2 + 1 C3 C = 8 mF ② 합성전하량 Q= CV = 8 mF × 60V = 480 [mC] ③ 각 극에 축적되는 전하량 : 직렬연결이므로 각극에 축적되는 전하량은 동일하다; Q1 = Q2 = Q3 = Q = 480 [mC] ④ 각극에서 전압강하는; Q1 = C1V1 = 480 [mC] ∴ V1 = 2.4 [V] Q2 = C2V2 = 480 [mC] ∴ V2 = 9.6 [V] Q3 = C3V3 = 480 [mC] ∴ V3 = 48 [V]

6.6 콘덴서에 축적된 에너지 - + V C 전위차가 V로 콘덴서를 대전시키면 q 단위로 콘덴서는 대전되고 최종적으로 전하 Q가 축적된다.  DW = q DV +q V DW  전체 한일 W = 삼각형 면적 = ½ Q V q Q 2C Q2  저장된 에너지 = ½ Q V = ½ C V2 =

보충 복합유전체 e1 e2 d1 d2 d1 e 1S d2 e 2S  직렬 연결이므로, 등가정전용량 C 는 = +  C = • 옆의 그림과 같이 판 사이에 다른 유전체를 직렬로 삽입한 경우를 보자 e1 e2 d1 d2 면적 S C1 = d1 e 1S , C2 = d2 e 2S  직렬 연결이므로, 등가정전용량 C 는 1 C = C1 + C2  C = C1 + C2 C1C2  C = e 1 d2 + e 2 d1 e 1 e 2S

e1 e2 d d e 1S1 e 2S2  병렬 연결이므로, 등가정전용량 C 는  C = d e 1 S1 +e 2S2 • 옆의 그림과 같이 판 사이에 다른 유전체를 병렬로 삽입한 경우를 보자 e1 e2 면적 S1 면적 S2 d C1 = d e 1S1 , C2 = e 2S2  병렬 연결이므로, 등가정전용량 C 는 C = C1 + C2  C = d e 1 S1 +e 2S2

예제) 정전용량이 1 [mF] 인 공기 콘덴서가 있다 예제) 정전용량이 1 [mF] 인 공기 콘덴서가 있다. 극판간의 반을 비율전율 2인 유전체를 넣었을때 전체 정전용량은 몇 [mF] 인가 ? (04 전기기사) d 공기 e0 C0 = = 1 mF d e 0S C1 = d1 e 1S , C2 = d2 e 2S 공식에서 d1 = d2 = d/2, e 1 = e 0 , e 2 = 2 e 0 e d/2 e0 C1 = = 2 mF d/2 e 0S , C2 = = 4 mF 2e 0S  C = = 4/3 [mF] C1 + C2 C1C2

d e 0S e d/2 e0 d1 e 1S d2 e 2S d1 = d2 = d/2, e 1 = e 0 , e 2 =5 e 0 예제) 정전용량 0.06 [mF] 의 평행판 콘덴서에 극판간격 ½ 두께의 유리를 끼워 넣었다. 유리의 비유전율 5 라고 할 때 정전용량을 구하시오. ? (98 전기기사) C0 = d e 0S = 0.06 [mF] e d/2 e0 C1 = d1 e 1S , C2 = d2 e 2S 공식에서 d1 = d2 = d/2, e 1 = e 0 , e 2 =5 e 0 C1 = = 0.12 [mF] d/2 e 0S , C2 = = 0.6 [mF] d/2 5e 0S  C = = 0.072/0.72 [mF] = 0.1 [mF] C1 + C2 C1C2

예제) 정전용량 C0인 평행판 공기 콘덴서에 극판면적 2/3 두께에 비유전율 er 인 유전체를 끼워 넣었다. 공기 콘덴서의 정전용량을 구하시오 ? (98 전기기사) C0 = d e 0S e e0 면적 S C1 = 3d e 0S , C2 = 2e S 공식에서 C1 = 3 C0 , C2 = 2 erC0 병렬연결이므로 등가정전용량 C = C1 + C2 = C0 3 (1+2 er)

8장 자기 회로 8.1 자기 현상 8.2 쿨롱의 법칙 8.3 자계의 세기와 자속 밀도 8.4 투자율 8.5 자기회로 8.6 히스테리시스 곡선 8.7 앙페르의 오른나사 법칙 8.8 플레밍의 법칙 8.9 비오 –사바르의 법칙

8.1 자기 현상 ☞ 자석, 자극, 자기력, 자기력선, 자화, 자속밀도, 자계 등의 용어의 이해와 이들 단위에 유의해야 함 자석은 항상 N 극과 S 극이 함께 존재 N극만 있다던가 혹은 S극만 있는 경우는 없음. N S N S N S 자석을 둘로 자르면, 둘다 자석이 됨. N극 S극 자기력: 두 자극간에 작용하는 힘 같은 극이면 척력, N극, S극 간에는 인력 r 자극(magnetic pole) 단위 : 웨버 [Wb] 자계 : 자기력선의 분포 자속밀도 : 자기력선의 밀도

►자화와 물성 • 자기유도는 물질의 특성에 의해 다음의 3 종류로 분류됨. ① 상자성체 ② 반자성체 ③ 강자성체 ① 상자성체 ( 常磁性體 paramagnetic material) ; 다른 극이 유도되는 물질 예) 백금(Pt), 알루미늄(Al) ② 반자성체 ( 反磁性體; diamagnetic material) ; 같은 극이 유도되는 물질 예) 은(Ag), 구리(Cu), 금(Au), 인(P) ③ 강자성체 ( 强磁性體; ferromagnetic material) ; 자화된 뒤에 자석을 멀리 떠어뜨려도 자성이 지속되는 물질 예) 철(Fe), 니켈(Ni), 코발트(Co), 망간(Mn) N S 상자성체 N S 반자성체

8.2 쿨롱의 법칙 자기량이 m1, m2 인 두 자극이 직선거리 r 에 놓여 있을 때 자극간에 작용하는 자기력 F 는; m1 m2 r F = · r2 m1m2 4pm 1 m = m0 · mr 로 정의 m0 ; 진공에서의 투자율로, m0 = 4p  10-7 [Wb2/N·m2] mr ; 비투자율(比透磁率), 진공에서 투자율에 대한 상대 비율임 ► m0 의 단위 : [Wb2/N·m2] = [H/m] = 6.33 × 104 [m /H] 4p m0 1 ► 암기 예) 공기 중에 6 × 10-4 [Wb] 와 3 × 10-3 [Wb] 인 두 자극이 10 [cm] 간격에 놓여 있을 때 자력을 구하시오 F = 6.33 × 104 [N·m2/Wb2] (0.1 m )2 18 ×10 -7 [Wb]2 = 11.4 [N]

표1 물질의 비투자율 구분 물질 비투자율 상자성체 진공 1 공기 알루미늄 1.000022 백금 1.000026 강자성체 철 5000 코발트 250 니켈 600 규소강 7000 78 퍼멀로이 100,000 반자성체 은 0.999974 구리 0.9999904 물 0.9999912 ◈퍼멀로이 [Permalloy] 니켈과 철의 합금으로 철보다 더 높은 자기투과도를 나타내며 얇은 판으로 만들어 변압기 자심(磁心)에 주로 사용된다. 니켈의 비율은 용도에 따라 35~90％로 다양한데 저출력 변압기에는 78％ 정도가 적당하다. 웨스팅하우스일렉트릭사의 상표명인 하이퍼닉은 니켈 함유율이 50％로 고출력변압기에 유용하다. 순수한 수소상태에서 5％의 몰리브덴을 함유한 퍼멀로이를 가열하면 훨씬 더 높은 자기투과도를 나타내는 슈퍼멀로이가 만들어진다

r 2 8.3 자계의 세기와 자속 밀도 H = · H = · r 2 m 1 m 1 H = · ①자계의 세기 ☞자계란 ; 자기의 힘이 미치는 공간을 말함 자계를 자기장이라고도 함. ► 세기가 m 인 자극에 의한 자계의 세기 H는 ; H = · r 2 m 4p m 1 자계 세기 단위는 [A/m] 혹은 [AT/m] 예) 공기 중에 +2 [Wb]의 자극이 있다. 10 [cm] 떨어진 곳에서 자계세기는 몇 [A / m] 인가 여기에 +10 [Wb] 의 자극을 두면 이 자극에 작용하는 자기력은 ? H = · r 2 m 4p m 0 mr 1 에서 공기중이므로 mr = 1 r 2 m (0.1 m)2 2 [Wb] 1 H = · = 6.33 × 104 [H/m] = 1.266 × 107 [A / m] 4p m 0 F = · = m’H = 10[Wb]× 1.266 × 107 [N] = 1.266 × 108 [N] r2 mm’ 4pm 0 1

► 자극이 m 인 경우 몇 개의 자력선이 나오는가 ? ► B = m H m 1 1  N =7.9618 × 105 개 ② 자속 밀도 ► 자극이 m 인 경우 몇 개의 자력선이 나오는가 ? · 진공(혹은 공기) 중에서는 개 m m 0 · 물질 중에서는 개 m ☞자속밀도란 ; 임의의 면적을 통과하는 자력선의 밀도 · 단면적 A를 통과해나가는 자속(자력선의 수)을 F 라면 자속밀도 B = F A 단위는 [Wb / m2] = [T] ► B = m H 예제) 공기 중에서 1 [Wb]의 자극이 방출하는 자력선 수를 구하시오 ? 공기에서 자력선 수 N = m 0 m , m =1 [Wb] 이므로 N = m 0 1 공기에서 자력선 수 m 0 = 4p × 10-7 [H/m] 이므로 m 0 1 = 4p × 10-7 = 7.9618 × 105  N =7.9618 × 105 개

8.4 투자율 8.5 자기회로 ►코일에 전류를 통해주면 자기력선이 발생하며, 직선코일과 원형코일에 대해 발생하는 자기력선의 형태는 다르다. 직선코일에 전류가 흐르면 코일 주변에 원형의 자기력선이 발생하고 원형코일에서는 중심에 직선 방향으로 자기력선이 생긴다. ►강자성물질(예, 철심)에 코일을 감고 전류를 통해주면, 자기력선은 더욱 증가한다.  솔레노이드(내부의 자속밀도가 균일함)

NI NI ① 공기중에서 코일의 자계와 자속밀도 자계 H = = nI [AT/m], n = N/l l l ► 공기중이므로 B = m 0 H = m 0 nI ② 코일에 투자율 m 인 물질의 자계와 자속밀도 자계 H = = nI [AT/m], n = N/l l NI l 권수 N 전류 I ► B = m H = m 0 mr nI 물질 비투자율 철 5000 규소강 7000 ► 철을 삽입하면 자속밀도는 공기에서 보다 5000배 증가 ► 규소강을 삽입하면 자속밀도는 공기에서 보다 7000배 증가

mNIA ③ 자기저항과 투자율 ►투자율이 크면, 자속은 증가한다. F NI 자속밀도 B = ► F = BA = m HA = = l mNIA Rm NI l 자기저항 Rm = 단위는 [AT/Wb] mA ►투자율이 크면, Rm 은 작아져서 자속 밀도 증가

솔레노이드(solenoid) ; 원통 또는 고리모양(환상環狀)의 철심에 도선을 촘촘히 감은 코일을 말함. ☞ 솔레노이드의 자계 솔레노이드(solenoid) ; 원통 또는 고리모양(환상環狀)의 철심에 도선을 촘촘히 감은 코일을 말함. • 원통형 솔레노이드 환상 솔레노이드

A) 환상솔레노이드의 자계 B) 원통형 솔레노이드의 자계 • r • l  H = l NI  H = 2pr NI

H = 500 회/ [m]  20 [mA] = 500 회/ [m]  20  10-3 [A] = 10 [A/m] 예) 반경 20 [cm] 의 환상 철심에 260 회의 코일을 감아서 5 [A] 의 전류를 흘릴 때 철심내의 자계의 세기는 얼마가 되는가 ? H = 2pr nI = = 1035 [A/m] 260  5 2  3.14  0.2 예) 단위 길이 당 권수가 500 회인 무한히 긴 솔레노이드에 20 [mA]의 전류를 흘렸을 때 내부의 자계는 얼마인가 ? H = n0 I 에서 H = 500 회/ [m]  20 [mA] = 500 회/ [m]  20  10-3 [A] = 10 [A/m]

예제8.6) 철심이 든 환상솔레노이드에서 1000 [AT]의 기자력에 의해 철심내에 5  10-5 [Wb]의 자속이 통하면 철심내의 자기저항은 ? 기자력 F = NI = 1000 [AT/m] Rm NI ► F = ∴ Rm = NI / F = 1000 / 5  105 [AT/Wb] = 2  107 [AT/Wb]

8.6 히스테리시스 곡선 ►강자성체에 자기장을 가하면, 자속밀도는 증가하고, 더 이상은 증가하지 않는 최대값에 이르게 된다. 이를 자기포화(magnetic saturation) 라 한다. H B 자화곡선 (B-H 곡선) 자기포화

☞히스테리시스 곡선 ► 자화되지 않은 강자성체를 자장 중에 놓고 자계를 ► 강자성체에 자기장을 증가시키면, 자기포화점에 도달한다. ► 자계를 감소시켜 “0” 이 되어도 자속밀도 Br이 존재하며, 이를 잔류자기(residual magnetization)라 함. ► 잔류자기를 “0”으로 만드는데 소요되는 자계 HC 를 보자력이라 함. ► 자화되지 않은 강자성체를 자장 중에 놓고 자계를 0  +Hm  0  -Hm  0  +Hm 로 변화시키면, ► 철편 중의 자속밀도 B는 0  a  b  c  d  e  f  a 와 같이 변화하며, ► 이를 히스테리시스 곡선(hysteresis loop)이라 함. Hm -Hm

► 강자성체의 히스테리시스 특성에 의해 에너지 손실이 발생하며, ► 에너지 손실은 열로 발산한다 ◎ 히스테리시스 곡선과 열손실 ► 강자성체의 히스테리시스 특성에 의해 에너지 손실이 발생하며, ► 에너지 손실은 열로 발산한다 ► 에너지 손실은 히스테리시스 곡선 면적에 비례한다. ► 히스테리시스 환을 1회 그렸을 때 에너지 손실 wk 는 wh = ∮H· dB ► 히스테리시스 내의 면적 ☞ 전자기기에서 철심을 대부분 교류에서 사용하므로, 주파수가 f 인 교류에서, f [Hz], 용적당 열손실은; Ph = f wh [W/m3] ► “히스테리시스 손실” 이라 함 ☞ wh 는 최대 자속밀도의 약 1.6 제곱에 비례 즉; wh = hBm1.6 [J/m3] : Steinmetz 실험공식 ► h는 히스테리시스 계수, 지수 1.6은 Steinmetz 상수라 함. ♦히스테리시스 손실은 규소강(silicon steel) 을 사용해서 줄일 수 있다.

8.7 앙페르의 오른나사 법칙 A) 직선 도선에 전류가 흐를 때 생성되는 자력선의 방향 직선 도선에 전류가 흐를때, 도선 주변에 생기는 자력선의 방향은 “앙페르의 오른나사 법칙”을 쓰면 된다. 엄지 손가락이 전류의 방향을 가리키고 다른 손가락이 감아 돌아가는 방향이 자력선 방향임. I 자력선

B) 원형 도선에 전류가 흐를 때 생성되는 자력선의 방향 I 직선 도선에 전류가 흐를때, 도선 주변에 생기는 자력선의 방향은 “오른손 법칙”을 쓰면 된다. 엄지와의 손가락이 감아 돌아가는 방향이 전류의 방향 엄지 손가락이 자력선의 방향임

F = B I l sin q 8.8 플레밍의 법칙 I [A] ① 플레밍의 왼손법칙 자계에 놓인 전류가 흐르는 도선에 작용하는 힘을 전자력이라 하며, 전자력의 방향은 “플레밍의 왼손 법칙”을 사용해서 구할 수 있다. 균등 자속 밀도 B [T] 에 전류 I가 흐르는 길이 l 인 도체가 자계와 q 각을 이루면, 도체에 작용하는 전자력 F는; F = B I l sin q 길이 l I [A] N S q 상기의 경우 전자력의 방향은 지면에서 밖으로 나오는 방향이며, 따라서 도체는 회전하게 된다. 응용사례  전동기

F = B I l sin q = 5[T] ×3[A] × 0.4 [m]  sin 900 = 6 [N] 예제8.7) 자속밀도 0.8 [Wb/m2] 인 평등자계내에 자계와 300 방향으로 놓은 길이 10 cm의 도체에 5 [A] 흐르면 도체에 작용하는 전자력은 ? F = B I l sin q = 0.8 [Wb/m2]  5 [A]  0.1[m]  sin 300 = 0.2 [N] 예) 자속밀도 5[T]인 균둥자계속에 수직으로 길이 40 [cm] 도선을 놓고 전류 3[A]를 흘렸을 때 도선에 작용하는 전자력을 구하시오. F = B I l sin q = 5[T] ×3[A] × 0.4 [m]  sin 900 = 6 [N]

② 플레밍의 오른손법칙 ►자속 밀도가 변하면 전압이 발생해서 도선에 전류가 흐른다. --> 발전기의 원리 ►이런 현상을 전자유도라 하고, 이때 발생한 전압을 유도기전력 ( induced emf ; electro motive force ), 유도기전력에 의한 전류를 유도전류라 함. ►운동하는 도체의 경우에는 플레밍의 오른손 법칙을 사용해서 기전력의 방향을 구할 수 있음. • 주의 가장 중요한 사실은 폐회로를 통과하는 “자속밀도”가 반드시 변해야 한다. 자속밀도 혹은 자계의 크기가 변하던가 혹은 자속밀도의 양(flux)이 변하던가 해야 하며 계속적으로 유도 기전력을 발생시키기 위해서는 연속해서 변해야 한다. ►유도 전류의 방향은? --> 렌 츠의 법칙

►유도 전류의 방향은? --> 렌 츠의 법칙 ►유도 전류의 방향은? --> 렌 츠의 법칙 ◈ 유도전류의 방향은 폐회로를 관통하는 자속밀도의 변화를 방해하는 방향으로 생긴다. 즉 관통하는 양이 증가하면 감소시키는 방향으로, 관통하는 양이 감소하면 증가시키는 방향으로 생긴다. i) N극이 고리에 접근하면 고리를 통과하는 자속밀도의 양이 증가하게 되 어 고리에는 유도 기전력이 생겨나서 전류가 흐르게 된다. 전류의 방향은 ? 예제) 금속 원형 고리에 막대 자석을 놓았을 때 원형고리에 생기는 전류의 방향은 ? N S 전류의 방향은 시계 반대 방향으로 생성되어 외부에서 고리를 관통하는 자계의 양을 감 소 시킨다.  렌쯔의 법칙

ii) N극이 고리에서 멀어지면, 고리를 통과하는 자계의 양이 감소하게 되 어 고리에는 유도 기전력이 생겨나서 전류가 흐르게 된다. 전류의 방향은 ? 예제) 금속 원형 고리에 막대 자석을 놓았을 때 원형고리에 생기는 전류의 방향은 ? N S 전류의 방향은 시계 방향으로 생성되어 외부에서 고리를 관통하는 자계의 양을 증가시키게 된다.  렌쯔의 법칙

예제) 유도기전력과 렌츠의 법칙을 코일에 적용해보자 N S

v 예제) 움직이는 도체에 생기는 기전력 --> 플레밍의 오른손 법칙 엄지; 운동방향 검지; 자속밀도 방향 중지;유도기전력 방향

► 임의의 기하학적 형태의 도선으로부터 거리 r되는 지점에서의 자계를 구하는 일반 공식을 비오 –사바르의 법칙이라 함. 8.9 비오 –사바르의 법칙 I 접선 q r dl P dH ► 임의의 기하학적 형태의 도선으로부터 거리 r되는 지점에서의 자계를 구하는 일반 공식을 비오 –사바르의 법칙이라 함. ► 그림과 같은 도선에 전류 I가 흐른다면, 선분 dl에 흐르는 전류에 의한 P점에서의 자계 dH dH = 4pr2 I dl sinq 비오 –사바르 공식

예) 원형 코일에 전류 I가 흐를 때 중심에서 자계는 ? r ► I dl dH = 4pr2 I dl sinq = I dl sin 900 ∴ dH I dl 적분하면, dl은 원주의 길가 되므로 2pr이 된다. ∴ H = ∫ dH = 2r 도선 권수가 N이면, NI

예제 8.10) 반경 40 [cm]인 원형 코일에 전류 100 [A] 가 흐를 때 중심에서 자계는 ? 2r I H = ∫ dH = ∴ H = 100 [A] / 0.8 {AT/m] = 125 [AT/m]

9.1 패러데이의 전자유도 법칙 9.2 렌츠의 법칙 9.3 자기 인덕턴스 9.4 상호인덕턴스 9.5 과도현상 9장 코일 (인덕터) 9.1 패러데이의 전자유도 법칙 9.2 렌츠의 법칙 9.3 자기 인덕턴스 9.4 상호인덕턴스 9.5 과도현상 9.6 코일의 연결 9.7 코일에 저장되는 에너지

Dt 9.1 패러데이의 전자유도 법칙9.2 렌츠의 법칙 DF ►자속 밀도가 변하면 전압이 발생해서 도선에 전류가 흐른다. --> 발전기의 원리 ►이런 현상을 전자유도라 하고, 이때 발생한 전압을 유도기전력 ( induced emf ; electro motive force ), 유도기전력에 의한 전류를 유도전류라 함. ►운동하는 도체의 경우에는 플레밍의 오른손 법칙을 사용해서 기전력의 방향을 구할 수 있음. • 주의 가장 중요한 사실은 폐회로를 통과하는 “자속밀도”가 반드시 변해야 한다. ►자속밀도(또는 자계)의 크기나 양이 (flux)이 연속적으로 변해야 계속해서 유도 기전력의 발생이 가능하다. ►유도 전류의 방향은? --> 렌 츠의 법칙에 의해 결정 9.1 패러데이의 전자유도 법칙9.2 렌츠의 법칙 N ; 코일 권수, DF ; 자속밀도 유도 기전력 크기 v = - N Dt DF

Dt DF F = BA ∴ DF = D(BA) = A·DB + B·DA N ; 코일 권수, F ; 자속 유도 기전력 크기 v = - N Dt DF F = BA ∴ DF = D(BA) = A·DB + B·DA 즉, 자속밀도의 세기가 변화 또는 자속이 통과하는 면적 크기가 변해야 유도기전력이 발생한다.

Dt DF 유도 기전력 크기 v = - N N ; 코일 권수, F ; 자속 F = BA ∴ DF = D(BA) = A·DB + B·DA 예) ①코일의 권수가 100, 면적이 100 cm2인 원형 코일에 자속밀도 B가 아래 그림과 같이 통과할 때 아래 물음에 답하시오. 4[T] t B 7 6 2 (1) 0-2초 동안의 유도기전력의 크기와 방향은 ? DF = D(BA) = A·DB + B·DA = A·DB  면적은 일정 DA =0 DB / Dt = 2 [T/s], 면적 A = 100 cm2 = 0.01m2 ∴ 유도 기전력 크기 v = 2 [V] v B ►

Dt DF F = BA ∴ DF = D(BA) = A·DB + B·DA 유도 기전력 크기 v = - N N ; 코일 권수, F ; 자속 F = BA ∴ DF = D(BA) = A·DB + B·DA 예) ①코일의 권수가 100, 면적이 100 cm2인 원형 코일에 자속밀도 B가 아래 그림과 같이 통과할 때 아래 물음에 답하시오. 4[T] t B 7 6 2 (2) 2-6초 동안의 유도기전력의 크기와 방향은 ? DF = D(BA) = A·DB + B·DA = 0  자속밀도와 면적 일정 DB = DA =0 ∴ 유도 기전력 크기 v = 0 [V] (3) 6-7초 동안의 유도기전력의 크기와 방향은 ? DF = D(BA) = A·DB + B·DA = A·DB  면적은 일정 DA =0 DB / Dt = -4 [T/s], 면적 A = 100 cm2 = 0.01m2 B ► v ∴ 유도 기전력 크기 v = -4 [V]

Dt DF F = BA ∴ DF = D(BA) = A·DB + B·DA 유도 기전력 크기 v = - N N ; 코일 권수, F ; 자속 F = BA ∴ DF = D(BA) = A·DB + B·DA 예) ②코일의 권수가 100, 면적이 100 cm2인 정사각형 코일이 자속밀도가 10 [T] 인 영역을 아래와 같이 1[cm/s]의 속도로 지나가고 있다. x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x xx x x 1[cm/s] (1) (2) (3) (1) (1)의 경우 유도기전력의 크기와 방향은 ? DF = D(BA) = A·DB + B·DA = B·DA  자속밀도는 일정 DA / Dt = 10 [cm] × 1[cm/s] = 0.01 [m/s], ∴ 유도 기전력 크기 v = 1[V] 1[cm/s] x x x x x v

DF Dt 유도 기전력 크기 v = - N N ; 코일 권수, F ; 자속 F = BA ∴ DF = D(BA) = A·DB + B·DA 예) ②코일의 권수가 100, 면적이 100 cm2인 정사각형 코일이 자속밀도가 10 [T] 인 영역을 아래와 같이 1[cm/s]의 속도로 지나가고 있다. (2) (2)의 유도기전력의 크기와 방향은 ? x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x xx x x DF = D(BA) = A·DB + B·DA = 0  자속밀도와 자속이 통과하는 면적은 일정 DB = DA =0 (1) (2) (3) ∴ 유도 기전력 크기 v = 0 [V] (3) (3)의 경우 유도기전력의 크기와 방향은 ? DF = D(BA) = A·DB + B·DA = B·DA  자속밀도는 일정 DA / Dt = 10 [cm] × 1[cm/s] = 0.01 [m/s], 1[cm/s] ∴ 유도 기전력 크기 v = -1[V] x x x x x v

예제 9. 1) 권수 1인 코일에 5[Wb]의 자속이 쇄교하고 있을 때 0 유도 기전력 크기 v = - N Dt DF ► v = 5/0.1 [V] = 50 [V]

v = - N 9.3 자기 인덕턴스 DI Dt DF Dt NF L = I ► 회로의 전류가 변하면, 코일(인덕터)을 통과하는 자속의 변화가 생겨 ► 코일에 유도기전력이 발생한다. ► 이와 같이 코일은 에너지 축적 / 방출을 통해 회로에 에너지를 공급한다. 따라서, 회로에 흐르는 전류의 변화로 인해 코일에 유도되는 기전력은 다음과 같이 정의한다; 유도 기전력 vL = - L Dt DI ► L : 자체인덕턴스 단위 [H] 또한; 관계식으로 부터 v = - N Dt DF L = I NF

예제 9.3) 지로의 길이가 1 [m], 단면적이 10 [cm2] , mg= 100, N=1000회인 회로에서 생성할 수 있는 최대인덕턴스는 ? L = I NF ► F = BA = m HA = = l mNIA Rm NI ► L = l mN2A = 4p × 10-7 × (1000)2 × 10 × 10-4 1 [H] = 4p × 10-2 [H] < 공심코일 > < 철심코일 > < 가변코일 >

9.4 상호인덕턴스 DI1 v2 = - M Dt ► 회로에 두 개의 코일이 있으면, 한쪽 코일의 자속 변화는 ► 다른 쪽 코일에 자속 변화를 유도하게 되어 유도기전력을 발생하게 된다. ► 따라서 2개 이상의 코일이 회로에 있으면 상호 유도기전력이 발생하며 ► 이를, 상호인덕턴스(mutual inductance)를 통해 정의한다. N1 N2 1차 코일 2차 코일 M I1 I2 V ► 1차 코일의 자기인덕턴스를 L1, 2차 코일의 자기인덕턴스를 L2, 상호인덕턴스를 M으로 하면, 2차코일의 유도기전력 v2는 v2 = - M Dt DI1 : 1차 코일의 전류 변화로 2차코일에 유도되는 유도기전력

= - N2 ∴M = v2 = - M Dt DI1 Dt DF I1 N2 F ► 1차 코일의 자기인덕턴스를 L1, 2차 코일의 자기인덕턴스를 L2, 상호인덕턴스를 M으로 하면 v2 = - M Dt DI1 = - N2 Dt DF ∴M = I1 N2 F [H] M2 = L1 • L2, 혹은 M = √ L1 • L2

◈ 실제회로에서는, 1차 측 코일에 전류를 흘렸을 때 생긴 자속이 모두 2차 코일을 통과하지는 못한다 ◈ 실제회로에서는, 1차 측 코일에 전류를 흘렸을 때 생긴 자속이 모두 2차 코일을 통과하지는 못한다. 마찬가지로 2차코일에 흐르는 전류로 생긴 자속이 모두 1차 코일을 통과하지는 못한다. 즉 누설되는 자속이 있다. 따라서 실제 회로에서는; M < √ L1 • L2 M = k √ L1 • L2 , 0 ≤ k ≤ 1 ( k 를 결합계수 (coupling constant) ) ① k = 0 ; 1차와 2차 코일이 전자적 결합이 없는 상태 M = k √ L1 • L2 ② 0 < k < 1 ; 1차와 2차 코일이 전자적 결합이 있는 일반적인 상태 M = √ L1 • L2 ③ k = 1 ; 1차와 2차 코일이 완전히 전자적 결합 상태

9.5 과도현상 i(t) = ( 1 – e ) q(t) =CV( 1 – e ) ☞ R-C 직렬회로에 전압을 가하면, 전하는 로 콘데너에 q(t) =CV( 1 – e ) RC - t 축적되고, 회로의 전류는 로 증가한다. 이를 콘덴서에서의 과도 현상이라함. ☞ R-L 직렬회로에 전압을 가하면, 초기에 유사한 현상이 발생하고, 이를 “R-L 과도현상”이라 한다. i ►스위치 S가 닫히는 순간에 회로에 전류가 증가하기 시작 ►회로에 흐르는 증가하는 전류로 인해 인덕터에 자속이 유도 ►코일에는 기전력이 발생하고 ►전류의 세기가 일정해지면, 코일에는 더 이상의 유도기전력은 생성되지 않는다. ►이 과정을 “과도현상”이라 하고, 코일에는 에너지가 축적된다. R E L R-L 직렬회로 S i(t) = e V 전류 i(t) = ( 1 – e ) -Lt

9.5 과도현상 전류 R E i(t) = ( 1 – e ) -Lt 예제 9.4) R-L 직렬회로에서 R = 10 [W], L = 30 [mH] 인 경우의 시정수는 몇 초인가 ? 0.632 t 5t i L 시정수 t = ① 초기에, t =0 , i(0) = 0 ② t =t 일때, i(t) = ③ t =2t 일때, i(2t) = 0.865 ④ t =3t 일때, i(3t) = 0.950 ⑤ t =5t 일때, i(5t) ≈ = 3 ms

☞ 감쇠현상 i(t) = I e 감쇠율 a = R S i t L R : 시정수 t 의 역수 L R-L 직렬회로 ① 스위치를 닫으면, 인덕터에 축적된 에너지가 회로에 공급된다.  따라서 회로에 전류가 흐르기 시작 i(t) = I e L -Rt t I 0.368 I i ② t = t 일때, i(t) = 0.368 I ► 축적 에너지 63.2 % 소모 ③ t =5t 일때, i(5t) ≈ 0 ► 축적 에너지 모두 소모

9.6 코일의 연결 ① 직렬연결 L1 L2 L 인덕턴스의 직렬 연결의 등가인덕턴스 L은; L = L1 + L2 상호인덕턴스 M 이 있으면 ; L = L1 + L2 ± 2M (1) 두 코일의 감은 방향이 같으면 ; L = L1 + L2 + 2M (2) 두 코일의 감은 방향이 같으면 ; L = L1 + L2 - 2M 예제 9.5) 어떤 2개의 코일을 직렬 접속하여 합성인덕턴스를 측정하였더니 240 [mH] 였고, 극성을 바꾸어 측정하면 190 [mH]로 나타났다. 상호인덕턴스 M 은 ? L1 + L2 + 2M = 240 [mH] ∴ 4M = 50 [mH] ► M = 12.5 [mH] L1 + L2 - 2M = 190 [mH]

9.6 코일의 연결 ② 병렬연결 L1 L2 L 인덕턴스의 병렬 연결의 등가인덕턴스 L은;  L = L1 + L2 L1L2 L = + L2 L1

◈ 인덕턴스 보충문제) 합성인덕턴스 L0를 구하시오 ? (소방기출 97,98,01,02) L L1 L2 • M • L, L1 , L2 모두 직렬연결이고 , L1 , L2 는 상호인덕턴스 M이 있다; L1 , L2 는 직렬연결이고 , 연결방향이 다르다. 따라서 L1 , L2 의 합성인덕턴스는 L1 + L2 - 2M  L0 = L1 + L2 - 2M + L

 10 보충문제) 인덕턴스가 각각 8 [mH] , 5 [mH] 인 두 코일간의 상호 인덕턴스가 4 [mH] 라 하면 결합계수 k는 얼마인가 ? (소방기출 97,04) M = k √ L1 • L2 = k (8 ×5 )1/2 [mH] = 4 [mH] k = 4 [mH] / (8 ×5 )1/2 = 0.63 보충문제) 합성인덕턴스를 구하시오 ? (상호인덕턴스는 없다고 본다) 10 5 a b  10

W = ½ L1I12 + ½ L2I22 + M I1I2 W = ½ L1I12 + ½ L2I22 - M I1I2 9.7 코일에 저장되는 에너지 ①인덕턴스 L인 코일 한 개가 있을 때, 저장되는 에너지 W는; W = ½ LI2 ② 코일이 두 개있을 때 코일에 축적되는 자계에너지 W는 ; W = ½ L1I12 + ½ L2I22 ± M I1I2 인덕터의 자계가 동일 방향이면 ; W = ½ L1I12 + ½ L2I22 + M I1I2 인덕터의 자계가 반대 방향이면 ; W = ½ L1I12 + ½ L2I22 - M I1I2 L1 L2 • W = ½ L1I12 + ½ L2I22 + M I1I2 L1 L2 • W = ½ L1I12 + ½ L2I22 - M I1I2

= ½ (20 + 40+ 28.28) × 10-3 × (0.5)2 [J] = 1.1 × 10-2 [J] 보충문제) 그림과 같은 두개의 코일이 있을 때 L1 = 20 [mH], L2 = 40 [mH] 결합계수 k =0.5 이다. 지금 두 개의 코일을 직렬로 접속하여 0.5 [A] 의 전류를 흘릴 때 이 합성 코일에 저축되는 에너지는 몇 [J] 인가 ? (전기기사 83,85) L1 L2 • 인덕터의 자계가 동일 방향이므로; W = ½ L1I12 + ½ L2I22 + M I1I2 그리고 직렬연결이므로 I1 = I2 , W = ½ L1I2 + ½ L2I2 + M I2 M = k √ L1 • L2 = 0.5 (20 ×40 )1/2 [mH] = 14.14 [mH] W = ½ L1I2 + ½ L2I2 + M I2 = ½ (20 + 40+ 28.28) × 10-3 × (0.5)2 [J] = 1.1 × 10-2 [J]