제5장 이산시간 신호와 시스템의 푸리에 표현

5.1 서론 이산시간 신호 1) 원래 연속시간 신호를 샘플링하여 얻은 것 2) 원래부터 이산시간 신호인 것 연속시간 신호 : (예) 공학에서 디지털 신호처리, 연속시간 신호의 컴퓨터 시뮬레이션 또는 처리 등을 위하여 어떤 시간 간격으로 시스템의 출력 전압을 A/D 변환하거나 이의 추상적인 상태변수, 전류 등을 주어진 시간 간격마다 기록하여 메모리 등에 기억시켜 얻은 수열(sequence) 2) 원래부터 이산시간 신호인 것 : (예) 수학에서 등비수열, 등차수열, 급수 등과 같이 변수가 정수로 정의되는 함수 연속시간 신호 (5.1) 이산신호 0.5초 간격이면 식은 다음의 (5.2a): 그림 5.1(b) (5.2a) 0.25초이면 (5.2b): 그림 5.1(c) (5.2b) 그림 5.1  연속시간 신호와 이산시간 신호 (b) (a)를 0.5초 간격으로 샘플링한 이산시간 신호 (c) (a)를 0.25초 간격으로 샘플링한 이산시간 신호

같은 연속시간 신호를 샘플링하더라도 샘플링 간격에 따라 서로 다른 이산시간 신호(그림 5.1) 연속시간 신호에 대한 정보가 없이(샘플링을 몇 초 간격으로 했는가에 대한 정보가 없이) 다만 그림 (b)와 (c)만이 처음부터 주어진 경우 x축은 더 이상 시간의 의미를 갖는 것은 아니며 수열의 몇 번째 샘플 값이 얼마인가를 나타내기 위한 수단 즉, 메모리 0번지에 0, 1번지에 1, 2번지에 다시 0,… 등과 같은 의미를 가지며 컴퓨터 내부에서는 더 이상 시간의 의미가 없어지고 그 컴퓨터나 프로그램의 속도에 따라 처리 속도는 달라진다. 입력의 샘플링 주파수를 아는 경우 디지털 신호 처리 후에 다시 연속시간 신호로 D/A 변환할 때 대부분의 경우 입력 샘플링 주파수를 참조하여 같은 속도로 출력시킨다. 결국, 엄밀히 말하면 이산시간 신호는 전압, 전류 등과 같이 실제로 물리적으로 나타나는 ‘신호’가 아니라 수학적으로 또는 컴퓨터 프로그램으로 정의할 수 있는 수열로 간주 이산시간 신호의 주파수 표현 : 물리적인 주파수라기보다 수열의 변화가 얼마나 빠른가를 나타내는 상대적인 척도 이산시간 신호의 주파수는 샘플링 주파수와 관계 있는 어떤 상대적인 값 : 이산시간 신호에서 가장 높은 주파수는 이며 다른 주파수는 이에 상대적인 값 식 (5.1)의 연속시간 신호를 다시 1초 간격으로 샘플링한 경우(그림 5.2) (5.3) 그림 5.2 를 1초 간격으로 샘플링하여 얻은 이산시간 신호

5.2  선형시불변 이산시간 시스템의 주파수 응답 임펄스 응답을 이라 할 때 선형시불변 시스템에서는 입력 과 출력 사이에는 다음과 같은 중첩 합(convolution sum) 관계가 성립 (5.4) 이 선형시불변 시스템에 입력되었을 때 그 출력은 그림 5.3에서 보는 바와 같이 에 에 관한 함수 가 곱해진 형태 (바로 이 함수가 이 시스템의 주파수 응답) 입력 일 때 입출력의 중첩 합 관계식 (5.5) 어떤 선형시불변 시스템의 임펄스 응답 이 주어진 경우 이 시스템의 주파수 응답 (5.6) [식(5.6)의 의미] 이 시스템의 입력이 주파수 인 사인파 일 때 출력은 이므로, 주파수는 변하지 않고 크기는 , 위상은 ∠ 로 변한다 그림 5.3  이산시간 선형 시불변 시스템에서 사인파가 입력된 경우의 출력

(예) 그림 5.4와 같은 3탭 FIR 필터(Finite Impulse Response)가 주어진 경우 : 임펄스 신호가 들어가면 이의 출력 즉, 임펄스 응답은 바로 탭 계수 가 된다 그림 5.4  선형 시불변 FIR 필터 입력이 와 같이 연속으로 들어오는 경우 : 아래 표로부터 임을 알 수 있고 따라서 식 (5.4)의 중첩 합 식을 확인 표 5.1  시간 n에 따른 그림 5.4의 FIR 필터의 상태 변화와 출력 이산시간 시스템과 신호의 경우에 주파수가 실제의 주파수가 아니라 수열의 변화도가 가장 빠른 를 기준으로 하여 상대적으로 얼마나 빠른가를 나타내는 척도 n (시간) A B C 출력                                                                                                       1                      2                                  3 4 5

단순히 입력들에 어떤 상수를 곱하여 더하여 그 주파수 성분을 변화시키는 예 (예) 어떤 이산신호가 나타내는 값이 그날 그날의 주가지수라 하자. 그 변화가 매우 심해서 오늘부터 과거 사흘치 값들을 항상 평균해서 출력해 주는 하드웨어 : 그림 5.4와 같이 두 개의 레지스터(D)와 곱셈기, 덧셈기로 구현하고 각 는 모두 1/3 이 시스템은 주파수 영역에서 해석해 보면 저대역 필터 (예) 그림 5.5가 저대역 필터임을 확인 필터의 입출력 관계식 (5.7) 그림 5.5  저대역 FIR 필터

[시간 영역에서 해석] 시스템에 다음과 같은 DC 입력(주파수 성분이 에만 있다)이 입력되는 경우 (5.8) 그 출력은 일 때( 인 경우는 천이 상태이므로 고려하지 않도록 한다.) (5.9) : 입력이 그대로 전달되어 DC 이득 = 1 입력이 인 사인파일 때, 즉 이면 (5.10) : 시스템은 이득 = 0 그 사이 주파수를 갖는 입력 일 때, 출력은 (5.11) : 중간 주파수 에 대해서는 크기를 반으로 줄이고 위상은 90도 변화

[주파수 영역에서 해석] 식 (5.6)으로부터 그림 5.5의 FIR 필터의 주파수 응답 (5.12) : 크기와 위상 응답 (5.14) (5.15) 입력의 주파수가 0이면 그 값은 그대로 전달되고, 주파수가 인 사인파는 크기가 1/2 로, 위상은 로 변함을 알 수 있다. 입력 주파수가 인 신호는 출력의 크기가 0 임의의 주파수에 대해서도 시간영역에서의 어려운 계산없이 출력의 크기와 위상을 쉽게 예측 (b) 그림 5.6  그림 5.5와 같은 FIR 필터의 주파수 응답

5.3 이산시간 신호의 푸리에 표현 입력이 이고 출력이 인 시스템의(임펄스 응답이 인 시스템의) 주파수 응답 (5.19) 5.3  이산시간 신호의 푸리에 표현 입력이 이고 출력이 인 시스템의(임펄스 응답이 인 시스템의) 주파수 응답 (5.19) 는 다음과 같이 임펄스 응답이 인 시스템의 주파수 응답 (5.20) : 즉, 이라는 “시스템”이 아닌 출력 “신호”의 스펙트럼 또한 와 같은 것이다. 정리하면, 임의의 에 대하여 무한 합이 가능한 경우, 이의 푸리에 변환은 식 (5.20)으로 정의된다. 비주기 이산시간 신호의 푸리에 변환과 역변환 (5.27) (5.28) 위의 정의에서 보는 바와 같이 신호가 무한히 계속되며 그 값이 작아지지 않는 경우 푸리에 변환이 존재하지 않는다. (예) 음성 신호가 계속 샘플링되어 들어오는 경우 이에 대한 푸리에 변환은 존재하지 않음, 만약 계산이 가능하더라도 음성신호나 영상신호와 같이 무한 시간 동안의 주파수 분포가 매 시간 조금씩 변하는 신호에 대해서는 많은 정보를 주지 않는다. 결국 식 (5.27)은 유한한 길이의 신호 또는 무한 길이 중에 위의 합이 수렴하는 경우에만 적용 이산신호의 푸리에 변환이 중요한 이유: 실제 응용분야에 적용될 이산 푸리에 변환(DFT-Discrete Fourier Transform)의 기초이기 때문이다. 즉, 앞의 음성신호의 주파수 분석과 같은 실제 응용 분야에서는 위에서 언급한 이유로 무한 시간동안의 푸리에 변환을 구하지 않고 적절한 구간으로 끊어서 블록 별로 푸리에 변환을 구하게 되는데 이것이 이산 푸리에 변환이며 식 (5.27)의 이산시간 푸리에 표현이 이의 이론적인 근거를 제공한다.

입력 , 임펄스 응답 , 출력 의 푸리에 변환을 각각 라고 하면 이들 사이의 관계식 (5.29) (예) 어떤 신호의 푸리에 변환을 하면 그림 5.9와 같이 원하는 신호 부분과 잡음 부분이 뚜렷이 구분된다고 하자. 그러면 식 (5.29)로부터 여기서 잡음을 제거하는 방법 [해] 그림 5.10과 같은 주파수 응답을 갖는 시스템을 찾는 것이다. 즉, 그림 5.10과 같은 주파수 응답을 갖는 시스템에 입력이 들어가면 출력은 그림 5.9에서 원하는 신호부분만이 남고 잡음은 제거 그림 5.9  원하는 신호와 잡음이 섞인 의 푸리에 변환 그림 5.10  이상적인 저대역 필터

[실제의 경우] : 실제 여러 응용분야에서 의 완전한 주파수 분포를 구할 수 없다. 즉, 식 (5.27) 자체가 계산이 안되거나 시간에 따라 주파수 분포가 변화하는 등의 이유로 자체를 모를 수도 있다. 따라서 이산 푸리에 변환이나 여러 스펙트럼 추정 기법으로 정해진 구간마다의 대략적인 주파수 분포를 추정 또 한가지 이유는 그림 5.9에서와 같이 원하는 신호와 잡음이 분리되어 있는 경우는 거의 없고 이들이 섞여 있는 주파수 영역도 있다는 것이다. 가 식으로 구해질 수 있는 몇 가지 전형적인 이산시간 신호에 대해서는 위와 같이 컴퓨터의 도움을 받지 않고도 식 (5.29)를 이용하여 출력의 주파수 분포와 각 에 대한 를 얻는 것이 가능하다. 즉, 와 를 곱하여 를 얻고 이의 역변환을 이용하여 을 계산하는 것이다. 식 (5.27)의 이산시간 푸리에 변환에 대한 역변환은, 앞에서 본 바와 같이 식 (5.30)로 정의된다.                                    (5.30) 그러나 위의 식으로 역변환이 가능한 경우는 거의 없으며 또한 매우 어렵다. 따라서 실제로 역변환은 7장에서 z 변환을 이용하여 이루어지므로 이에 대한 학습은 7장으로 미루도록 한다. 여기에서는 FIR 시스템의 예만 살펴보았는데 IIR 시스템에 대해서는 5장의 마지막 절에서 살펴보도록 한다. 실제 상황의 이산시간 신호의 처리 1. 입력 신호로부터 식 (5.27)을 이용하여 입력 신호의 이산시간 푸리에 표현 을 구한다. 이의 계산이 불가능한 경우 이산 푸리에 변환을 이용하여 의 근사치를 구한다. 2. 의 분포를 보아 제거하고 싶은 영역이 있거나 이를 다른 형태로 만들기 원하면 여기에 원하는 모양의 주파수 분포 를 갖는 FIR 또는 IIR 필터를 설계하여 그 임펄스 응답, 즉 필터 계수 을 구한다. 3. FIR인 경우 그림 5.5와 같은 형태로 필터를 구성하고 입력을 여기에 통과시킨다.

5.4  주요 이산시간 신호의 푸리에 변환 푸리에 변환식 (5.27)에 의하여 합이 유한한 경우에만 푸리에 변환이 존재 다음의 특별한 신호에 대해서 임펄스 함수를 이용하여 합이 무한한 경우에도 푸리에 표현이 가능 5.4.1   임펄스 신호 푸리에 변환 결과가 1(모든 주파수에서 값이 일정)이며, 연속시간 신호의 경우와 마찬가지로 모든 주파수 성분을 갖는 신호                                    (5.31) 반대로 시간 영역에서 1인 함수는 주파수 영역에서 어떤 분포를 갖는가? : 시간 영역에서 1 = DC 신호. 따라서 이의 주파수 성분은 에만 존재하고 연속시간 신호에서의 경우와 마찬가지로 가 될 것 그러나 이산시간신호의 경우에는 이것이 를 주기로 반복되어야 하므로 의 형태가 될 것이다. 이 관계는 결국 다음 식과 같이                                    (5.32) 크기도 조절해야 한다. (식 (5.30)의 역 변환 참조) 5.4.2   푸리에 변환                                    (5.33) 이므로 위의 식은 다음 값으로 수렴하고 따라서 다음 식이 의 푸리에 변환                                    (5.34)

5.4.3   계단함수 푸리에 변환                                    (5.35) 위 수열은 가 1이므로 수렴하지 않는다. 그러나 임펄스 함수를 이용한 푸리에 표현이 가능 연속시간 함수의 경우에 에 대한 푸리에 변환은 이것이 다음과 같은 signum 함수와 상수함수의 합이라고 생각하여 구한다. 즉, 그림 5.11과 같은 두 함수를 더한 것을 로 보았다.                                    (5.36)                                    (5.37) 마찬가지로 은 다음과 같은 표현이 가능    (5.38) 그림 5.11  (a) (b)

5.4.4 사각형 함수(사각형 윈도우 함수) sgn함수의 정의에 따라 이 성립                                    (5.39)                                    (5.40) 식 (5.38)의 의 푸리에 변환                                    (5.41) 5.4.4   사각형 함수(사각형 윈도우 함수) 그림 5.12의 푸리에 변환                                    (5.42) 그림 5.12  사각형 함수(사각형 윈도우 함수) 어떤 신호에서 원하는 만큼의 길이를 취하려는 경우에 원신호에 이와 같은 함수를 곱하면 그 결과가 원하는 길이의 신호이므로 이를 사각형 윈도우 함수라 부르기도 한다. 간혹 이와 같은 임펄스 응답을 갖는 필터가 사용되기도 하며 또한 뒤에서 배울 듀얼 특성에 의해 주파수 영역에서 이러한 사각형 응답을 갖는 필터의 임펄스 응답을 구하는 데에도 이 함수의 푸리에 변환을 이용할 수 있다.

식 (5.27)에 의해 이의 푸리에 변환                                     (5.43) : 결국 그 절대값은 그림 5.13과 같은 싱크 함수 형태 그림 5.13  그림 5.12의 푸리에 변환의 절대값 ( )

5.4.5 복소 사인파 5.4.6 코사인, 사인 함수 주파수가 인 복소 사인파 의 푸리에 변환은? 5.4.5   복소 사인파 주파수가 인 복소 사인파 의 푸리에 변환은? [해] 이는 앞에서 1의 푸리에 변환이 식 (5.32)가 된다는 이치로 생각하여 얻을 수 있다. 즉, 1이란 신호는 DC 성분이어서 주파수 0에만 어떤 값이 있고 나머지는 모두 성분이 0이어서 임펄스 함수가 된 것이다. 마찬가지로 는 주파수 외에서는 성분이 0이고 오로지 의 성분만 갖고 있는 신호다. 이것이 를 주기로 반복되므로 식 (5.32)와 같은 형태로 이의 푸리에 변환은 다음과 같이 나타난다.                                    (5.44) 5.4.6  코사인, 사인 함수 코사인 함수 이므로 식 (5.44)로부터 쉽게 다음 결과를 얻을 수 있다.                                 (5.45) 사인 함수의 경우도 마찬가지로 복소 사인파를 이용하여 구한다.

5.5 이산시간 푸리에 변환의 특성 5.5.1 선형성 5.5.2 시간지연 5.5.3 변조(Modulation) 성질 5.5  이산시간 푸리에 변환의 특성 5.5.1 선형성                                    (5.46) 5.5.2 시간지연                                    (5.47) [증명] 단, 는 유한한 값이라는 가정이 있어야 한다. 푸리에 변환식에 대신에 를 넣으면                                    (5.48) 는 유한한 값이므로 이라 하면 위의 식은   (5.49) 5.5.3 변조(Modulation) 성질   (5.50) 5.5.4 중첩 합의 성질   (5.51)   (5.52)

5.5.5  Parseval의 관계   (5.53) 그러나 앞에서도 강조한 바와 같이 이산시간 신호는 실제의 신호가 아니므로 식에서 보는 바와 같은 에너지가 실제의 에너지는 아니다. 따라서 주파수 영역에서는 한 주기에서 만의 적분이 이루어져야 등식이 성립한다.(실제 에너지라면 주파수 영역에서의 에너지는 무한대가 된다.) 물론, 이산시간 신호가 원래 연속시간 신호를 샘플링 하여 얻은 것이라면 이산시간 신호의 푸리에 변환의 에너지와 연속시간 신호의 푸리에 변환의 에너지는 밀접한 관계가 있다. 이는 6장에서 샘플링에 관한 학습을 할 때 다루기로 한다. 5.5.6  대칭 특성 공학에서 대부분의 경우에 입력 신호는 복소수가 아닌 실수인데, 이 때 이의 푸리에 변환은 에서 대칭이 된다는 것이다. 푸리에 변환의 결과는 식 (5.27)에 의하여 입력이 실수이거나 복소수이거나 일반적으로 복소수(복소 함수)가 되는데, 입력이 실수인 경우 출력의 실수부는 우함수(좌우 대칭 함수-even function)가 되며 허수부는 기함수(원점 대칭 함수-odd func-tion)가 된다. [증명] 복소수 신호 의 켤레 신호 의 푸리에 변환   (5.54)

입력 이 실수 신호인 경우 이 성립한다. 따라서 가 성립한다 입력 이 실수 신호인 경우 이 성립한다. 따라서 가 성립한다. 여기서 일반적으로 는 복소함수이므로 이를 다음과 같이 실수부와 허수부로 나눌 수 있다.   (5.55) 여기서 가 성립하기 위해서는   (5.56)   (5.57) 따라서 는 우함수, 는 기함수가 된다. 그리고, 의 크기와 위상은 각각 다음과 같이 나타낼 수 있으므로 (5.58)   (5.59) 결국 의 크기는 우함수, 위상은 기함수임을 알 수 있다 이산시간 푸리에 변환뿐만 아니라 앞에서 학습한 연속시간 푸리에 변환, 8장에서 학습할 이산 푸리에 변환의 경우도 마찬가지로서 결국 어떤 실함수의 푸리에 변환을 구했을 때 그 절반만으로도 모든 정보를 표현할 수 있음을 의미한다.

(예) 신호의 푸리에 변환과 이의 주파수 응답   (5.60) [해] 이의 푸리에 변환은 식 (5.27)로부터 다음과 같다.   (5.61) 크기와 위상   (5.62)   (5.63) 그림 5.14 의 푸리에 변환

5.6  IIR 시스템의 표현과 주파수 전달함수 FIR 시스템: 임펄스 입력 에 대하여 출력이 유한번 나오고 멈추는 시스템으로서, 연속시간 시스템의 경우에서는 피동 소자들로 이루어진 경우 그 예를 찾기가 매우 힘들다. 예) weighted average IIR 시스템: 임펄스 입력 에 대한 출력이 이론상으로 무한히 계속 나오는 시스템 예) 고교 수학에 나오는 “점화식” : 1차 차분방정식   (5.64) 이 시스템에서 입력 이 인 경우 시간 n 에서의 출력 은 입력이 없고 초기치가 1인 경우 (5.65) 이것이 임펄스에 대한 출력이므로 이 시스템 (5.64)의 임펄스 응답이고, n 이 매우 커도 그 값이 0이 되지 않음을 알 수 있다. 따라서 IIR 시스템이라 부른다. 시스템 (5.64)는 low-pass filter인가 high-pass filter인가? : 이 시스템이 안정된 시스템이려면 이어야 함 정성적으로 해석해보면 이면 출력은 과거의 결과에 a를 곱하여 계속 누적시키는 형태이므로 low-pass filter라고 추정할 수 있다 즉, 이므로 입력 에 대한 출력 (5.66) 따라서 앞의 FIR 시스템과는 달리 윈도우의 길이가 무한대이고 그 안에 있는 데이터에 가장 최근의 값 에 가장 큰 값 1을 곱하고 과거의 데이터에는 차츰 작은 값을 곱하는 weighted averaging임

원하는 주파수 응답을 갖는 시스템을 설계하려면 FIR 시스템을 가정하고 이의 계수를 여러 설계방법을 이용하여 구현하면 되는데 굳이 IIR 시스템이 필요한 경우는 무엇인가? : 1) passband와 stopband사이의 거리가 매우 작은 필터를 설계하는데 있어서 IIR 필터가 더 유리하기 때문이다. 즉, IIR 필터는 짧은 차수로도 “sharp transition band”를 만들 수 있기 때문에 선형위상이 문제가 되지 않는다면 IIR 필터를 사용하는 것이 유리하다. 2) IIR 시스템의 존재 이유는 기존의 아날로그 필터, 즉 연속시간 시스템을 대체할 때 이것이 IIR 시스템으로 근사화되기 때문이다. 즉, 미분방정식으로 표현되는 연속시간 시스템을 컴퓨터 시뮬레이션한다는 것은 미분방정식을 IIR 디지털 시스템으로 근사화하는 것이다. (예) 가장 간단한, RC 필터와 같은 1차 미분방정식의 시뮬레이션 (5.77) 이를 시뮬레이션하기 위해서는 다음과 같은 미분의 정의를 이용하면 (5.78) 따라서 식 (5.77)은 다음과 같이 근사화 (5.79) 따라서 이라 하면 식 (5.79)는 다음과 같은 차분방정식으로 표현된다. (5.80) : 원래 이 되어야 하지만 △가 매우 작다고 가정하여 위와 같이 으로 대신하였다. 따라서 1차 미분방정식을 대체할 수 있는 이산시간 시스템은 식 (5.64)와 같은 형태의 1차 차분방정식이 된다. 결국, 입력 를 △간격으로 샘플링한 을 위의 시스템에 입력시키면 출력 은 의 값을 근사화한 것이다.

(예제) 차분방정식으로 표현된 이산시간 시스템의 임펄스 응답과 주어진 입력에 대하여 출력을 계산하는 방법 [해] 1) 식 (5.64)와 같은 1차 차분방정식의 경우, 즉 시스템이 인 경우 이의 주파수 응답은 식 (5.64)와 식 (5.65)의 경우로부터 임펄스 응답은 2차 차분방정식의 경우 주파수 응답 앞의 식을 로 치환하여 를 부분변수의 합으로 표현 시스템의 임펄스 응답