수학 I 2. 방정식과 부등식

1. 복소수♥ 01) 허수단위: 제곱하여 -1이 되는 수를 i로 나타내고, 이것을 허수단위 라고 한다. i²= -1 02) 복소수: 두 실수 a, b에 대하여 a + bi꼴로 나타내어 지는 수를 복소수라 하고, a를 실수부분, b를 허수부분이라고 한다. 03) 허수: 실수가 아닌 복소수 a + bi (b≠0)를 허수라고 한다.

2. 복소수가 서로 같을 조건♥ a, b, c, d가 실수일 때 01) a = c, b = d이면 a + bi = c + di이다. 또한, a + bi = c + di이면 a = c, b = d이다. 02) a = 0, b = 0이면 a + bi = 0이다. 또한, a + bi = 0이면 a = 0, b = 0이다.

3. 켤레복소수♥ 켤레복소수: 복소수 ｚ= a + bi (a, b는 실수)에 대하여 a – bi를 켤레복소수라 하고, ｚ로 나타낸 다. 즉,ｚ= a + bi = a - bi

4. 복소수의 연산♥ a, b, c, d가 실수일 때 01) 덧셈: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i 02) 뺄셈: (a + bi) - (c + di) = (a – c) - (b - d)i 03) 곱셈: (a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i 04) 나눗셈: (a + bi) ÷ (c + di) = + ac + bd bc – ad c²+d² c²+d²

5. 복소수의 거듭제곱♥ i의 거듭제곱 값은 i, -1, -i, 1이 순환하여 나타난다.

6. 음수의 제곱근♥ 01) 음수의 제곱근 a > 0 일 때 ① -a = ai ② -a의 제곱근은 ± ai 이다. 02) 음수의 제곱근의 성질 ① a ≤ 0, b ≤ 0 일 때, a b = - ab ② a > 0, b < 0 일 때, b (음의 실수) a a = b

7. 이차방정식의 근♥ 계수가 실수인 이차방정식 ax²+ bx + c = 0의 근은 x = (b²- 4ac ≥ 0인 근을 실근, b²- 4ac ≤ 0 인 근을 허근이라 한다.) -b ± b²- 4ac 2a

8. 이차방정식의 근의 판별♥ 이차방정식 ax²+ bx + c = 0 (a≠0)에서 b²- 4ac를 판별식이라 하고 D = b²- 4ac이다. 01) D > 0이면 서로 다른 두 실근 02) D = 0이면 중근 03) D < 0이면 서로 다른 두 허근

9. 이차방정식의 근의 계수와의 관계♥ 01) 이차방정식의 근과 계수와의 관계 이차방정식 ax²+ bx + c = 0의 두 근을 α, β라 하면 ① α+β= 02) 두 수를 근으로 하는 이차방정식 두 수 α, β를 근으로 하고 x²의 계수가 1인 이차방정식 03)이차식의 인수분해 a(x –α)(x –β) = 0 - b c ②αβ= a a x²- (α+β)x +αβ= 0

10. 이차방정식과 이차함수의 관계♥ f(x) = ax²+ bx + c에 대하여 f(x) = 0의 판별식을 D라 할 때 서로 다른 두 실근 서로 다른 두 허근 f(x) = 0의 해 중근 y = f(x)의 그래프와 x축의 교점 서로 다른 두 점 한 점 없다 a > 0일 때 y = f(x) 의 그래프 x x x α β α=β α a < 0일 때 y = f(x) 의 그래프 β α=β x x x

11. 이차함수와 직선의 관계♥ 이차함수 y = ax²+ bx + c (a≠0)의 그래프와 직선 y = mx + n에 대하여 ax²+ bx + c = mx + n의 판별식을 D라 하면 다음이 성립한다. D > 0 D = 0 D < 0 서로 다른 두 점에서 만난다. 한 점에서 만난다 (접한다). 만나지 않는다.

12. 이차함수의 최대·최소♥ 이차함수 y = a(x - p)²+ q에 대하여

13. 제한된 범위의 이차함수의 최대·최소♥ α≤ x ≤β인 범위에서 이차함수 y = a(x – p)²+ q의 최댓값과 최솟값은 01) 꼭짓점이 범위에 포함되는 경우 : f(α), f(β), f(p) 중 가장 큰 값이 최댓값이고, 가장 작은 값이 최솟값이다. 02) 꼭짓점이 범위에 포함되지 않는 경우 : f(α), f(β) 중 큰 값이 최댓값이고, 작은 값이 최솟값이다

14. 삼차방정식과 사차방정식♥ 삼차방정식과 사차방정식의 풀이는 다음과 같은 방법을 생각할 수 있다. 01) 인수분해 공식 02) 치환 03) 인수정리와 조립제법

15. 삼차방정식의 근과 계수와의 관계♥ 삼차방정식 a³+ bx²+ cx + d의 세 근을 α, β, γ라 할 때 α+β+γ= αβ+βγ+γα= αβγ= b - a c a d - a

16. 삼차방정식의 허근의 성질♥ 삼차방정식 x³= 1의 한 허근을 ω라 할 때 (단, ω는 ω의 켤레복소수이다.) ① ω³= ② ω + ω 1 ω²+ ω + 1 = 0 , = -1 ωω = 1 ,

17. 미지수가 3개인 연립일차방정식♥ 다음과 같은 방법으로 문제를 해결한다. 01) 두 방정식을 더하거나 빼어 한 미지수를 없앤 후 미지수 2개인 연립방정식으로 만들어 푼다. 02) 한 방정식을 어느 한 미지수에 관하여 풀고 그것을 다른 일차방정식에 대입하여 미지수가 2개인 연립일차방정식으로 만들어 푼다.

18. 미지수가 2개인 연립이차방정식♥ { 일차방정식을 한 미지수에 관하여 풀고, 이것을 이차방정식에 대입하여 미지수가 1개인 이차방정식으로 만들어 푼다. 인수분해를 이용하여 (일차식)= 0 01) 의 꼴 (이차식)= 0 (이차식)= 0 02) 의 꼴 (이차식)= 0 { (일차식)= 0 의 꼴로 바꾸어 푼다. (이차식)= 0

19. 절댓값과 부등식♥ 실수 a, b, c, d에 대하여 01) a > b, b > c이면 a > c 02) a > b이면 a + c > b + c, a – c > b - c 03) a > b, c > 0이면 ac > bc 04) a > b, c < 0이면 ac < bc a b , > c c a b , < c c

20. 절댓값과 부등식♥ a > 0일 때 01) │x│< a 이면 -a < x < a 02) │x│> a 이면 x > a or x < -a

21. D > 0일 때, 이차부등식의 해♥ 이차방정식 ax²+ bx + c (a > 0)이 서로 다른 두 실근 α, β(α< β)를 가질 때 01) ax²+ bx + c > 0의 해는 x <α or x >β 02) ax²+ bx + c < 0 의 해는 α< x <β 03) ax²+ bx + c ≥ 0 의 해는 x ≤α or x ≥β 04) ax²+ bx + c ≤ 0 의 해는 α≤ x ≤β

22. D > 0일 때, 이차부등식의 해♥ 이차방정식 ax²+ bx + c (a > 0)이 중근 α를 가질 때 01) ax²+ bx + c > 0의 해는 x ≠α인 모든 실수 02) ax²+ bx + c < 0 의 해는 없다. 03) ax²+ bx + c ≥ 0 의 해는 모든 실수 04) ax²+ bx + c ≤ 0 의 해는 x =α

23. D > 0일 때, 이차부등식의 해♥ 이차방정식 ax²+ bx + c (a > 0)이 서로 다른 두 허근을 가질 때 01) ax²+ bx + c > 0의 해는 모든 실수 02) ax²+ bx + c < 0 의 해는 없다. 03) ax²+ bx + c ≥ 0 의 해는 모든 실수 04) ax²+ bx + c ≤ 0 의 해는 없다.

24. 이차함수의 그래프와 이차부등식의 해♥ 함수 f(x) = ax²+ bx + c (a, b, c는 실수, a > 0)에 대하여 f(x) = 0의 판별식 D > 0 D = 0 D < 0 y = f(x)의 그래프 x x x α β α=β x ≠α인 모든 실수 f(x) > 0의 해 x <α or x >β 모든 실수 f(x) ≥ 0의 해 x ≤α or x ≥β 모든 실수 모든 실수 f(x) < 0의 해 α< x <β 없다. 없다. f(x) ≤ 0의 해 α≤ x ≤β x =α 없다.

25. 연립부등식의 해♥ 각 부등식의 해를 구한 후에 이들 해의 공통부분을 구한다.