제 8 장 주파수 영역에서의 처리

주파수 영역 지금까지는 공간 영역에서의 영상 처리를 다루었음 공간 영역의 문제를 주파수 영역으로 변환하여 다룰 수 있음 주파수는 공간 영역에서 밝기나 색상의 변화 정도를 나타냄 영상으로부터 고주파 성분을 제거 영상이 부드러워짐 영상으로부터 저주파 성분을 제거 영상의 경계선이 강조됨 2018-12-03 영상처리

푸리에 변환 신호를 주파수 영역으로 변환하는 대표적인 방법 임의의 주기적인 신호는 연속된 사인곡선의 조합 으로 표현될 수 있다는 이론에 근거 2018-12-03 영상처리

푸리에 변환 신호의 주파수 성분 예 (a) sin(x) (b) sin(x) + sin(3x)/3 (c) sin(x) + sin(3x)/3 + sin(5x)/5 2018-12-03 영상처리

푸리에 변환 신호의 주파수 성분 예 (a) sin(x) (b) sin(x) + sin(3x)/3 (c) sin(x) + sin(3x)/3 + sin(5x)/5 2018-12-03 영상처리

복소수 기본 관계식 (복소수): 실수 + j허수 as * 주파수  (rads/s)와 위상차 를 갖는 사인형의 함수의 일반적 표현 * Phasor notation: 사인형 함수의 복소표현 Phasor Notation - Magnitude A and Phase . 2018-12-03 영상처리

푸리에 변환 신호의 주파수 성분 2018-12-03 영상처리

푸리에 변환   신호의 주파수 성분 2018-12-03 영상처리

푸리에 변환     신호의 주파수 성분 2018-12-03 영상처리

2차원 푸리에 변환식 이산 푸리에 변환(DFT)과 역변환(IDFT) M, N : 영상의 넓이와 높이 디지털 영상처리에서는 표본화된 이산 신호를 다루므로 이산 푸리에 변환을 사용 M, N : 영상의 넓이와 높이 2018-12-03 영상처리

고속 퓨리어 변환 N 개의 데이터에 대한 1차원 DFT MxN 크기의 영상에 대한 2차원 DFT 의 복잡도 많은 시간이 소요되어 실시간으로 적용하기 어려움 2018-12-03 영상처리

고속 퓨리어 변환 1차원 FFT 2차원 FFT 위에서 설명한 FFT의 제한점 N 길이의 DFT는 N/2 길이의 두 개의 DFT의 합과 같음 복잡도가 Nlog2N 로 작아져서 매우 빠름 2차원 FFT 2차원 푸리에 변환을 1차원 푸리에 변환으로 분할 적용할 수 있음 영상의 각 행에 1차원 FFT를 적용한 다음에 계산 결과의 각 열에 1차원 FFT를 적용 복잡도 = 위에서 설명한 FFT의 제한점 영상의 크기를 나타내는 M과 N의 값이 2의 지수승이어야 함 2018-12-03 영상처리

연산 예 영상의 크기 1024 x 1024 DFT FFT 2018-12-03 영상처리

1차원 FFT 알고리즘 다음과 같이 가정 1차원 DFT 변환식 여기에서 입력 신호 값 : x(0), x(1), …, x(N-1) 푸리에 변환 결과값 : X(0), X(1), …, X(N-1) 1차원 DFT 변환식 여기에서 2018-12-03 영상처리

1차원 FFT 알고리즘 짝수항과 홀수항을 분리하면 n이 짝수일 때 n=2r로 나타내고 n이 홀수 일 때 n=2r+1로 나타내면 k 2018-12-03 영상처리

1차원 FFT 알고리즘 그런데 이므로 : N개의 데이터에 대한 1차원 DFT : N/2개의 데이터에 대한 1차원 DFT 그런데 이므로 : N개의 데이터에 대한 1차원 DFT : N/2개의 데이터에 대한 1차원 DFT : N/2개의 데이터에 대한 1차원 DFT 2018-12-03 영상처리

1차원 FFT 알고리즘 N=8인 경우 X(k) 연산에 대한 흐름도 2018-12-03 영상처리

1차원 FFT 알고리즘 N=8인 경우 1차분할 후의 X(k) 연산에 대한 흐름도 2018-12-03 영상처리

1차원 FFT 알고리즘 N=8인 경우 1차분할 후의 X(k) 연산에 대한 흐름도 2018-12-03 영상처리

1차원 FFT 알고리즘 N=8인 경우 2차분할 후의 X(k) 연산에 대한 흐름도 2018-12-03 영상처리

1차원 FFT 알고리즘 N=2인 경우의 DFT 2018-12-03 영상처리

1차원 FFT 알고리즘 복잡도가 Nlog2N N=8일 경우 최종 FFT 흐름도 2018-12-03 영상처리

1차원 FFT 알고리즘 흐름도에서 각 노드는 다음 그림과 같이 나비 형태임 기본적인 나비흐름도 모든 노드에서 W값은 그림에 나타나 있는 형태를 가짐 기본적인 나비흐름도 2018-12-03 영상처리

1차원 FFT 알고리즘 의 값은 다음과 같이 계산됨 2018-12-03 영상처리

1차원 FFT 알고리즘 나비 흐름도의 계산 식은 다음과 같이 간략화 됨 2018-12-03 영상처리

1차원 FFT 알고리즘 복잡도가 (N/2)log2N 간략화된 FFT 흐름도 2018-12-03 영상처리

입력 데이터 재배열 N=8인 경우의 FFT 흐름도에서 입력 데이터의 순서 x(0), x(4), x(2), x(6), x(1), x(5), x(3), x(7)과 같이 순서가 일정하지 않음 각 인덱스의 이진수 비트들을 역순으로 표현하면 이러한 순서를 간단하게 생성할 수 있음 인덱스 이진수 표현 역순의 이진수 변환된 인덱스 000 1 001 100 4 2 010 3 011 110 6 5 101 7 111 2018-12-03 영상처리

퓨리에 변환예 7.4 (a) 7.4 (b) 7.4 (d) 7.4 (c) 입력 영상 변환 결과 입력 영상 변환 결과 2018-12-03 영상처리

퓨리어 변환 예 7.4 (e) 7.5 7.4 (f) 입력 영상 변환 결과 입력 영상 변환 결과 2018-12-03 영상처리

퓨리어 변환 예 2018-12-03 영상처리

푸리에 역변환 주파수 영역에서 공간 영역으로 변환 푸리에 변환 푸리에 역변환 2018-12-03 영상처리

주파수 영역에서의 처리 저주파 통과 필터 D0, N : 상수 고주파 성분을 제거 버터워스 저주파 통과 필터 필터 적용 방법 FFT 변환 결과에 필터의 값을 곱한 다음에 역변환 D0, N : 상수 2018-12-03 영상처리

주파수 영역에서의 처리 고주파 통과 필터 버터워스 고주파 통과 필터 2018-12-03 영상처리

잡음 제거 + 아래 그림과 같이 일정한 형태의 잡음이 들어간 영상을 제거하는 데에는 주파수 영역에서의 처리가 효율적임 잡음이 원영상 잡음 영상 2018-12-03 영상처리

잡음 영상에 대한 스펙트럼 푸리에 변환 2018-12-03 영상처리

잡음 제거 입력 영상에 대한 영상 스펙트럼 푸리에 변환 2018-12-03 영상처리

잡음성분 제거 푸리에 역변환 잡음이 제거된 영상 2018-12-03 영상처리

이산 코사인 변환(DCT)과 역변환(IDCT) 많은 영상 압축 알고리즘의 기초가 됨 푸리에 변환에 비해 DCT의 장점은 복소수 계산을 안함 2018-12-03 영상처리

2차원 DCT의 직접 계산 1차원 DCT를 이용한 구현 앞의 식을 이용하여 2차원 DCT를 직접 계산할 수 있음 많은 시간이 소요됨 1차원 DCT를 이용한 구현 각 행에 1차원 DCT를 적용한 다음에 그 결과의 각 열에 1차원 DCT를 적용하면 보다 빠르게 구현 가능 2018-12-03 영상처리

1차원 DCT 식과 IDCT식 2018-12-03 영상처리