Ⅷ. 도형의 닮음 1. 도형의 닮음 2. 삼각형과 평행선 3. 닮음의 응용

1) 닮음도형 2) 닮음의 중심 3) 삼각형의 닮음조건 1. 도형의 닮음 이 단원에서는 다음과 같은 내용으로 구성되었습니다. 원하는 곳을 선택하세요. 1) 닮음도형 2) 닮음의 중심 3) 삼각형의 닮음조건

1) 닮음도형  닮음도형 : 한 도형을 일정한 비율로 확대 또는 축소하거나 그대로 다른 도형에 꼭 맞게 포갤 수 있을 때, 이들 두 도형은 서로 닮았다. 또는 닮음인 관계에 있다.

△ABC ∽ △A  B  C   닮음의 기호 : ∽ ⇒ 대응하는 꼭지점끼리 같은 순서가 되도록 한다. A  B   닮음의 기호 : ∽ A  B  C  B A C △ABC ∽ △A  B  C  ⇒ 대응하는 꼭지점끼리 같은 순서가 되도록 한다.

∽  : B A AB =  : C B BC =  : A C CA ,  A Ð = ,  B Ð =  C Ð = 닮음비 닮음의 성질 A  B  C  B A C ∽  : B A AB =  : C B BC =  : A C CA 1) 대응변의 길이의 비는 일정하다. 닮음비 ,  A Ð = ,  B Ð =  C Ð = 2) 대응각의 크기는 서로 같다.

△ABC 와 △A B C 에서 1) 닮음일 때 → ∽ , △ABC ∽ △A B C 기호의 구별 △ABC 와 △A B C 에서 1) 닮음일 때 → ∽ , △ABC ∽ △A B C 2) 넓이가 같을 때 → =, △ABC =△A B C 3) 합동일 때 → ≡, △ABC ≡ △A B C

예제) AB 다음 그림의 △ABC∽△DEF 일 때, ∠E 의 크기와 의 길이를 구하여라. A B C 45º 8cm D E F

풀이) 닮은 도형에서 대응각의 크기는 서로 같으므로 ∠E=∠B= 45º 또, 대응변의 길이의 비는 일정하므로 8 : 12 = : 9 AB 72 12 AB = ) ( 6 cm AB = \

대응하는 점을 이은 직선은 모두 한 점 O를 지날때 두 삼각형은 닮음의 위치에 있고, 점 O를 닮음의 중심 이라 한다. 2) 닮음의 중심 O 닮음의 중심 대응하는 점을 이은 직선은 모두 한 점 O를 지날때 두 삼각형은 닮음의 위치에 있고, 점 O를 닮음의 중심 이라 한다.

B C A B C A 닮음의 중심

닮음의 중심

닮음의 중심

세 쌍의 대응하는 변의 길이의 비가 같을 때 (SSS닮음) 3. 삼각형의 닮음 조건 [1] A B C a b c A B C a b c 세 쌍의 대응하는 변의 길이의 비가 같을 때 (SSS닮음) ' c b a =

 , B c a Ð = 두 쌍의 대응변의 길이의 비가 같고 그 끼인각의 크기가 같을 때 (SAS닮음) [2] A B C

 , C B Ð = 두 쌍의 대응각의 크기가 각각 같을 때 (AA닮음) [3] A B C a b c A B C a

예제) 그림과 같이 ∠A가 직각인 직각삼각형ABC의 꼭지점 A에서 변 BC에 내린 수선의 발을 H라 할 때, 변 BH의 길이를 구하시오. A B C H 5 cm 4 cm

) ( 2 . 3 cm HB = \ 풀이) ∠A=∠H=90º , ∠B는 공통 △ABC ∽ △HBA (AA닮음) : BA BC 4 : 5 HB = 16 5 HB = ) ( 2 . 3 cm HB = \

1) 삼각형의 선분의 길이의 비 2) 평행선과 선분의 길이의 비 3) 삼각형의 중점연결 정리 4) 삼각형의 무게중심 2. 삼각형과 평행선 이 단원에서는 다음과 같은 내용으로 구성되었습니다. 원하는 곳을 선택하세요. 1) 삼각형의 선분의 길이의 비 2) 평행선과 선분의 길이의 비 3) 삼각형의 중점연결 정리 4) 삼각형의 무게중심

BC DE // BC DE AC AE AB AD = 일 때 1) 삼각형의 선분의 길이의 비Ⅰ A B C D E B C A A

BC DE // 일 때 A D E C A B D E B C A BC DE AB AE AC AD =

BC DE // EF DB // DB EF = \ EC AE DB AD =  ABCD는 평행사변형 1) 삼각형의 선분의 길이의 비Ⅱ BC DE // 일 때 A B C D E A D E C E F F EF DB //  ABCD는 평행사변형 EC AE DB AD = DB EF = \

DB EF = \ BC DE // EF DB // AC EC AB DB = 일 때 A B C D E B A C E F C F

예제) 일 때, 와 의 길이를 구하여라. PQ BC // AP AC A B C P Q 12cm 9cm 5cm 8cm

) ( 5 . 7 ), 6 cm AC AP =  풀이) △ABC ∽ △APQ (AA닮음) 에서 BC PQ AC AQ AB 12 8 5 9 AC AP = 60 8 , 72 12 AC AP = ) ( 5 . 7 ), 6 cm AC AP = 

a : b = c : d EF DE BC AB = n m l // 이면 l m n 2) 평행선과 선분의 길이의 비 A B C

NC AN MB AM = , 이면 BC MN 2 1 , = // △ABC 에서 3) 삼각형의 중점연결 정리Ⅰ △ABC 에서 NC AN MB AM = , 이면 A B C M N BC MN 2 1 , = // 두 변의 중점을 연결한 선분은 나머지 변과 평행하고 그 길이는 나머지 변의 길이의 반과 같다.

NC AN = BC MN MB AM // , = △ABC 에서 이면 삼각형의 중점연결 정리Ⅱ △ABC 에서 BC MN MB AM // , = 이면 A B C N M NC AN = 한 변의 중점을 지나서 다른 한 변에 평행한 직선은 나머지 한 변의 중점을 지난다.

사다리꼴과 평행선 A B C D M N (2) ( ) BC AD MN + = 2 1 BC MN // (1)

예제) 사다리꼴 ABCD에서 선분AB와 선분 DC의 중점을 각각 M, N이라 할 때, 선분 MN의 길이 를 구하여라. A B

풀이) ) ( 5 2 1 cm BC MP = ) ( 2 1 cm AD PN = ) ( 7 cm PN MP MN = + A B △ABC에서 대각선 AC를 그어 선분 MN과 만나는 교점을 P라 하면 ) ( 5 2 1 cm BC MP = △ACD에서 ) ( 2 1 cm AD PN = ) ( 7 cm PN MP MN = +

4. 삼각형의 무게중심 중선 : 삼각형의 한 꼭지점에서 그 대변의 중점을 이은 선분 ( 한 삼각형에는 세 개의 중선이 있다.) A B C CM BM = M Þ AM 중선 △ABM = △ACM 중선은 삼각형의 넓이를 이등분한다.

① GF CG GE BG GD AG : :1 2 = 삼각형의 세 중선 의 교점 삼각형의 무게중심 삼각형의 세 중선 의 교점 ① A B C :1 2 = GF CG GE BG GD AG : D E F G 무게중심은 세 중선을 꼭지점으로 부터 2 : 1 로 내분한다.

1 6 △GBD = △ABC ② 세 중선에 의하여 삼각형의 넓이는 6 등분된다. △GAF = △GBF = △GBD = △GCD E F G △GAF = △GBF = △GBD = △GCD = △GAE = △GCE △GBD = △ABC 6 1

cm AD 27 = 예제) 이고 △ABC의 무게중심 을 G라하고, △GBC의 무게 중심을 G라 할 때,

풀이) A B C G G D cm AD GD 9 3 1 = cm GD GG 6 3 2  =

1) 닮음도형의 넓이의 비 2) 입체도형의 닮음 3. 닮음의 응용 이 단원에서는 다음과 같은 내용으로 구성되었습니다. 원하는 곳을 선택하세요. 1) 닮음도형의 넓이의 비 2) 입체도형의 닮음

8㎠ 2㎠ 닮음비 = 1 : 2 넓이의 비 = 2 : 8 = 1 : 4 닮음비 = m : n n m : 넓이의 비 = 1. 닮음도형의 넓이의 비 1cm 2cm 4cm 닮음비 = 1 : 2 넓이의 비 = 2 : 8 = 1 : 4 8㎠ 2㎠ 닮음비 = m : n 2 n m : 넓이의 비 =

n m : 닮음비 = 1 : 2 부피의 비 = 60 : 480 480㎤ = 1 : 8 60㎤ 닮음비 = m : n 2) 입체도형의 닮음(부피의 비) 닮음비 = 1 : 2 3cm 4cm 5cm 6cm 8cm 10cm 60㎤ 480㎤ 부피의 비 = 60 : 480 = 1 : 8 닮음비 = m : n 3 n m : 부피의 비 =

예제) , FB DF AD = GC EG AE △ABC에서 이다. □DFGE=15cm2 일때, □FBCG의 넓이를 구하여라.

풀이) △ADE, △AFG, △ABC는 모두 닮은도형이고, 닮음비 는 1 : 2 : 3 이므로 넓이의 비는 1 : 4 : 9 이다. 또, □DFGE=△AFG-△ADE, □FBCG=△ABC-△AFG 이므로 □DFGE와 □FBCG의 넓이의 비는 3 : 5 따라서 □FBCG의 넓이를 x라하면 15 : x = 3 : 5 3x = 75 ∴ x =25(cm2)